東京工業大学 |2018年度大学入試数学

2018/03/06 2019/03/06

●２０１８年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東京工業大学です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１８年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０１８年大学入試（国公立）シリーズ。
東京工業大学です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

東京工業大学
（試験時間180分、５問、記述式）

１．全体総評～昨年と変化なし。質の高いじっくり系の多いセット～

昨年と変化なしで、数IIIの割合は３／５問でした。

相変わらず、どれも計算量、思考力を問う問題が多いですが、昨年に比べると少しだけ計算量が減ったかな、という印象です。ただし、答えにたどり着くまではかなり長いので、論証力や段階を追って考える能力が必要。

試験時間180分に対し、
標準回答時間は200分。

（過去６年平均：184分）

2017年：200分

2016年：170分
2015年：195分
2014年：165分
2013年：175分
2012年：243分
2011年：330分(制限時間150分)　平均計算にはのぞきました。
2010年：130分(制限時間150分)　平均計算時には１．２倍しました。

２．合格ライン

第１問の複素数平面は文字計算がやや煩雑だが、正解したい。
第２問の整数問題は（２）がキー問題。2文字を設定して一般解を出せたか。
第３問は（１）は取れる。（２）はキー問題。はさみうちに持ちこめるか。
第４問は楕円中内に回転体が絡む問題、（１）も意外と考えにくく、意図がつかめないと（２）が厳しい。
第５問は漸化式と確率。（２）までは取りたい。

第１問は押さえて、第２，３，４，５問を前半まで全体的につまみぐいし、どれか完答出来るものを探して集中したい。４つ中、２完できればボーダーを超えるかと。

６０％強ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

第１問・・・【複素数平面】方程式の複素数平面上での位置関係（BC,35分、Lv２）

最初は複素数平面で、文字計算は煩雑ですが、コツコツ計算していくだけの計算力重視の問題です。必要な原則やテクニック的なものはそこまでなく、計算してくれ、って感じの問題。

（１）は、ａ，ｂが等しければ４解が一直線上、そうでなければ、いわゆる等脚台形が出来ます。等脚台形は対角の和が180°ですから、円に内接します。円の中心は実軸上にありますので、（ｋ、０）とでも置いて、あとは他の点で距離が等しいという式を作り、コツコツ計算するしかありません。

（２）は、（１）で求めた円周上に③の解があるようにすればＯＫですが、これもコツコツ計算するだけです。共通項が多く、意外とキレイになります。ここまで計算できたかどうかですね。

※KATSUYAの解答時間17分。ただ計算するだけやな。

☆第２問・・・【整数】３元１次不定方程式の一般解の考察（BC、35分、Lv.3）

ありそうでなかった、３元1次不定方程式の一般解の問題です。

３文字に対して式は１つなので、文字は2つのこります。整数解の場合は、２つの整数ｍ、ｎなどを用いて、ｘ＝○ａ＋△ｂ＋□、、、などとおけるということです。

解き方はいろいろあるかと思いますが、例えば91ｙ+65ｚ＝13(７ｙ＋５ｚ)なので、７ｙ＋５ｚを一度まとめておき、３５ｘ＋１３Ｙ＝３　などとして一般解を出せばＯＫです。　＝３ですが、＝１で具体例を探して3倍すればＯＫです。

Principle Piece Ａ-62

ax+by=k　の整数解　k=1での具体解を利用する

（拙著シリーズ(白) 数学Ａ整数 p.40）

ｘ＝ー１３ｋ＋９、Y＝３５ｋ－２４などと出ます。

次に、７ｙ＋５ｚ＝３５ｋ－２４　となる一般解を探すことになりますが、いつもの要領でこのまま１組見つければOK。

ｙ＝５ｋ－２、ｚ＝－２　などでいいでしょう（３５ｋ、－２４で別々に探してみましょう）。これが具体解なので、辺々引いて同じように一般解に変えます。文字がもう一つ増え、ｙ＝５ｊ＋５ｋ－２、ｚ＝－７ｊ－２　などとすれば完了です。

一般解が出たら、（２）は簡単です。｜ｘ｜｜ｙ｜が最小になるようにｊ、ｋを調整しましょう。独立に近い動きを取れます。

2文字なら楽勝すぎますが、３文字となると経験の有無で差がついたでしょうか。なんとか経験がなくても、2文字で表すことには気づきたい。

※KATSUYAの解答時間16分。これは2文字で表すだけやからそんなに難しくないかな。意外と差がつく？

☆第３問・・・【極限＋微分法の応用】方程式の解、解の和と極限（C、45分、Lv.３）

数IIIの微分法からで、（２）などは東工大らしさが濃く出ています。

（１）は1-sinｘ＝e^-x　などと変え、ｆ（ｘ）＝e^-x+sinx－１　とおきます。増減を調べなくても、正の値と負の値を無限に取り続けることを示せば、後半の証明は可能です。前半は微分すれば単調性が見えますね。

不等式における原則ですが、差をとって微分するという原則を使っています。

Principle Piece III-39

不等式は差をとって微分する

（拙著シリーズ(白) 数学III 微分法の応用 p.44-47）

（２）は東工大らしい極限です。指数に三角まで混じった方程式なので、当然解を出すことは出来ませんので、はさみうちを思いついてほしいところです。

解の現われ方は、やはりｙ＝１－sinｘと　ｙ＝e^-x　の交点でとらえると分かりやすいでしょう。角解が、1-sinxのグラフのどの「部位」に現れるのかを考えると評価できそうです。

たとえば、１解目はπ~１．５π、２解目は１．５π~２πの間にあるなどです。もっと広げて、1解目は０．５π~１．５π、２解目は１．５π~２．５π、・・・でも大丈夫です。幅を一定にしておけば、和をとってもｎの1次式、n^2で割ればゴミです。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間23分。（２）の幅をどこからどこにすればいいかについて、最初０．５πの幅で取りましたが、ｎの偶奇で分ける必要が出てくるので、やめてπの幅に変えました。場合分けはないほうがいい。