九州大学 理系 | 2018年度大学入試数学
●２０１７年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は九州大学(理系)です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１８年 大学入試数学の評価を書いていきます。
入試シーズン中、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。
２０１８年大学入試（国公立）シリーズ。
九州大学(理系)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
九州大学（理系）
（試験時間150分、5問、記述式）
１．全体総評～難化傾向続く。後半が難し目～
今年の九大は昨年の難化を引き継いだ格好ですが、これが例年の九大です。前半は言われたことをコツコツ計算、確率は単純に量が膨らみ、後半は長めの論証といった感じで、標準回答時間的にはちょうどですが、ここ最近で対策をしていると多く感じたかもしれません。数IIIが５問中３問あることも原因でしょう。
試験時間150分に対し、
標準回答時間は155分。
（過去８年平均：140分）
2017年：145分
2016年：130分
2015年：140分
2014年：150分
2013年：135分
2012年：160分
2011年：130分
2010年：125分
今年は適量です。これが例年並みと思っておいた方がいいでしょう。
２．合格ライン
第１問は双曲線が絡む問題で、対策が薄いところを狙われた格好になると差がつきそう。
第２問は軌跡と積分の融合。コツコツ計算して（３）まで合わせたい。
第３問は確率と漸化式だが、そうでないものも混じっている。九大理系受験者ならおさえたい。
第４問はキー問題。（１）と（２）はおさえたいが、（３）はまあまあ長い答案に。
第５問は複素数平面で本セットダントツ最難問。誘導もゼロなので方針が立ちにくい。残りに時間をかけたい。
第１、２、３、４問勝負になるかと思うので、逆に時間はたっぷりのはず。３完分ぐらい取って６０％にしたい。第４問の（３）と、第１問が分かれ目か。
３．各問の難易度
☆第１問・・・【式と曲線＋空間＋図形】定点と双曲線上の動点を結ぶ線分（B,20分、Lv.２）
難易度に迷いましたが、そこまで式と曲線のネタが入っているわけでもなく、やることも比較的明白だと思うので、Bとしました。
空間上での線分と平面の交点ですので、ベクトルの利用が見えます。１－k、kの係数で設定しつつ、x＝dになるようにkを決めるだけです。
それよりも、双曲線上の点をどうおくかですが、楕円と同じように媒介変数表示でいくとすっきりしそうです。気づいたでしょうか。
（拙著シリーズ(白) 数学III 式と曲線 p.32）
それは楕円の原則だろ、とツッコまれそうですが、同じ２次曲線と考えれば、同じ考え方に発想が行って欲しいところです。双曲線のパラメータ表示は九大理系受験者であれば、覚えてるはず。。。果たして。
すると交点の軌跡にはsin、cosしか残りませんので、円だと分かります。θの範囲には気をつけましょう。上半分だけですね。
なお、パラメータ表示をしなくても解き進めることは、もちろんできます。Kさんは普通に文字で、Yさんはパラメータ表示ですね～。
※KATSUYAの解答時間７分。パラメータ表示でさくっと終了。思ったより簡単でした。
☆第２問・・・【図形と式＋式と曲線＋積分法の応用】軌跡、回転体の体積（B、35分、Lv.2）
第１問に引き続き、軌跡の問題です。
そして、使う知識も同じ（1番でパラメータ使ったので）。円周上なのでパラメータ表示します。ちょっと偏ってますね＾＾；
（１）、（２）はともにこのパラメータ表示で一瞬で解決です。面積は楕円と円。楕円の面積πabは使ってもいいかと。メインは（３）なので。
（３）は（１）の楕円と（２）の円の間の部分をy軸回転する問題です。円や楕円は、どっちに回転してもあんまり変わりありませんが、円のほうは中心が回転軸からずれているので、上側、下側と式を分けておきましょう。
（拙著シリーズ(白) 数学III 積分法の応用 p.36 プラスを上側、マイナスを下側の意味で用いています）
円や楕円自体は簡単で（２）までは正解者多数と考えると、積分計算は慎重にやってしっかり合わせて差を付けたい。
※KATSUYAの解答時間20分。最後は慎重にやり、2回見直しました。
第３問・・・【確率＋数列】カードの数字の積を４で割った余り（B、25分、Lv.２）
確率と漸化式からの出題です。あまり難しくないと判断したのか、余り０、１、２、３の場合全部答えてね、という量だけ膨らんだ問題です。
あまりが０の場合はいいでしょう。積が４の倍数になるということなので、余事象です。
（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.14-15）
４の倍数でない場合は、「全部奇数」か「１枚だけ２、あと奇数」のときです。そして後者がそのまま４で割って２余る場合となります。これで２つ完了。
残りは余り１と３の場合で、ここに漸化式を用いるといいでしょう。こちらの原則だけで済みますので、これは余裕ですよね。
（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39-43）
漸化式をつくると、同じ式になることがわかります。さらに最初も同じなので、１余る確率と３余る確率は等しいということです。漸化式を解きに行くというよりは、帰納的に等しいことを示した形になります。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間９分。個人的には、ちょっと物足りない確率と漸化式のパターンでした。
☆第４問・・・【整数＋複素数と方程式】方程式の整数解、有理数解について（C、30分、Lv.３）
今年の整数は方程式の有理数解のパターンからです。確率と漸化式のパターンの問題ですが、普段とちょっと違うタイプで、少し慎重になる必要があります。
（１）は正直、なんのためにあるのかちょっと分かりかねましたが、点数稼ぎとしてもらっておきましょう。（１）の結果ではなく、その途中で示すことになる「3の倍数でない整数の平方は３で割ると１余る」性質は使えます。
（２）は、整数解mがあるとすると、その整数解が１かー１しかないとわかります。mでくくって定数項だけ移項する常套手段ですね。（拙著は原則化されていないな。改善の余地あり。）
正の解はないので、a^2=2b^2+1 まで持ってこれます。先ほどの余りの事実で不合理が導けます。
（拙著シリーズ(白) 数学A 整数 p.28-29）
（３）は有理数解ということなので、有理数を設定しましょう。
（拙著シリーズ(白) 数学A 整数 p.65-66）
これで方程式に代入すると、まずは分母＝２がすぐにわかります。こちらも、端っこの項だけ移項してくくる手法です。そのあと、逆端を移項すると分子＝ー１もわかります。
あとはａ，ｂの整数解問題です。掛け算の形にすればOK。
（拙著シリーズ(白) 数学A 整数 p.45-）
※KATSUYAの解答時間17分。（３）は比較的答案量が多いが、手順がきっちり把握できていればただの作業です。
☆第５問・・・【複素数平面】複素数方程式を満たす複素数を表す（D、50分、Lv.MAX）
最後に複素数平面から難問を持ってきました（絶対値記号が入っているので、複素数「平面」です）。抽象度が高く、受験生が非常に苦手とするタイプの問題です（私も苦手なので、言えた立場ではないです・・・）。
さらに、求めたい「z」以外に、定数の複素数「α」まで登場します。これがさらに方針を立ちづらくしています。これといった決まった解き方もないので、総合的に難問確定です。
ポイントとしては、｜z｜が実数であるということです。zやzバーなどとは質が異なります。｜z｜は一旦定数の実数だと思い込んで、複素数zバーに関する１次式だとみなすと、少し見えてきます。
「zバー＝実数倍×αｉ」とできますので、実数＝k とおきつつ、今一度方程式に突っ込むと因数分解ができます。ここまで持ってこれると、あとは進められます。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間３２分。 やはり最初は方針立たず。因数分解もそのままでは無理。成分でおいたりするが、zの解はαで表さないといけないので、無理と判断。
４．対策
頻出分野は、微積分、確率、整数です。今年も全て出ています。融合されていることが多いため、バランスが取れた出題と言えます。また、複素数平面も２年連続です。5問中４問が分野確定に近いです。
これらの頻出分野の対策をしっかりしていれば、合格点は望めそうです。青チャートレベルの例題はしっかりマスターしましょう。公式の証明がたまに出ますので、基本から隅々まで見ておきましょう。
入試標準レベルまでこなしたら、過去問演習を行いましょう。九大の問題は独特な印象を受けますので、過去問を多く演習して、自分の中で傾向を掴んでいきましょう。単科長年タイプのものが効果的です。
量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいでしょう。
以上です＾＾
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■関連する拙著シリーズ■
★ 数学A 確率 (第３問)
★ 数学A 整数 (第４問)
★ 数学B ベクトル (第１問)
★ 数学B 数列 (第３問)
★ 数学III 式と曲線 (第２問)
★ 数学III 積分法の応用 (第２問)
★ 数学III 複素数平面 (第５問)
5番は２年連続で複素数平面。
