同志社大学 理工学部 | 2019年大学入試数学

   

●2019年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は同志社大学(理工学部)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2019年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2019年大学入試(私大)シリーズ。

同志社大学(理工学部)です。



問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。



同志社大学(理工学部)
(試験時間100分、4問、ハイブリッド型)

1.全体総評~計算量や難易度は例年並みに戻る~

数IIIの割合が少し戻り、第1問(2)で極限、第2問、第3問です。第4問も説明しにくく時間がかかり、全体としては昨年より難化していますが、これで例年並みの印象です。





試験時間120分に対し、
標準回答時間は125分【113分】(←穴埋め考慮)

2018年:101分【89分】(←穴埋め考慮)

2017年:142分【128分】(←穴埋め考慮)

2016年:112分【101分】(←穴埋め考慮)

2015年:130分【110分】(←穴埋め考慮)

2.合格ライン

第1問の10個の穴埋め。(1)の「オ」は意外と難しい。(2)は文字なのでメンドウだが、典型的なタイプ。本学部受験者ならおさえたい。

第2問も数IIIの計算だが、普段に比べるとラクかと。おさえたい。

第3問も言われた通り計算するだけで、この積分も本学受験者なら出来るはず。

第4問は残り時間でどこまで記述出来るか。(3)ぐらいまでならいけるはず。(5)(6)の説明はメンドウ。

 

第2問と第3問は計算力で押さえたい。第1問も7割以上は確保。これで第4問であまり出来なくても大丈夫でしょう。逆にここまでで計算ミスを多発するようだと、第4問の正解で差をつけることを強いられそう。 65%ぐらいでしょうか。

 

3.各問の難易度

第1問(1)・・・【図形と式+空間ベクトル+三角関数】面積、外接円、内積、三角方程式(B、12分【8分】、Lv.2)

いろいろ聞いてきますが、全部独立している印象で、融合問題・・・とは言い難いかな^^;

A,B,Cは空間座標表示ですが、この3つならxy平面の話なので、面積は1/2|ad-bc|、円の半径も教科書にある3点からの円決定のタイプです。一般形でおいて連立するか (Principle Piece II-25 図形と式 p.39)垂直2等分線の交点などから円を特定しましょう。

「ウ」は半角を用います。「エ」はsin、cosの2次式のみがあるので、2θに変形して合成ですね。(Principle Piece II-76 図形と式 p.52-53) 一応「ウ」はヒントのつもりでしょう。

最後の方程式は意外と難しいです。合成するとsin (2θ-α)の値は出ますので、sin2θ=sin{(2θーα)+α)}で計算として加法定理を用いるのが一番いいかと思います。あまりないタイプの三角方程式ですね。

 

 

第1問(2)・・・【確率】確率と漸化式(B、15分【10分】、Lv.2)

今年の確率は漸化式絡みです。漸化式が絡む問題が比較的多いです。文字になっているので少々計算はメンドウですが、いつも通りの原則を用いましょう。 (Principle Piece A-41-43 確率 p.39-43)

まずは、n回目とn+1回目の遷移を調べます。「n回目金貨→表出る」「n回目銀貨→裏出る」のいずれかです。出る効果は金貨か銀貨しかないので、確率は当然足せば1になります。

この手の漸化式では、極限があるのであれば、出来た漸化式の特性方程式の解が極限値となります。穴埋めから極限の存在が保証されているので、特性方程式の解さえ出せば「ケ」は終わりです。

文字係数もある中で一般項まで出すのは少しメンドウなので、この方法は知っておいて損はないでしょう。

qnはpnで表せます(金で表 or 銀で表)ので、極限値もそのまま代入です。

※KATSUYAの解答時間計17分。(1)で時間を持ってかれた^^;

☆第2問・・・【微積分総合】不等式、解の個数、回転体の体積、極限(B、25分、Lv.2)

いろいろとやりますが、同志社理工としては普通の計算量です。方針が立たないものはないと思いますので、ここは計算を合わせられるかどうかですね。

(1)は教科書にも載っているレベル。「左辺ー右辺を微分、まだよくわからないのでまた微分」でいきましょう。 (Principle Piece III-38,39 数学III  微分法の応用 p.41-47) 

(2)は解の個数なので、定数分離されていますし、そのまま視覚化すればOK。 (Principle Piece I-34 数学I 2次関数  p.48) グラフでx→∞の様子を調べるのに、(1)の結果が使えます。

(3)は(4)のために、先に不定積分を出してほしいということです。定積分で部分積分するとミスしやすいので、先に不定積分を出すというのは、比較的自然な流れです。2回部分積分しましょう。

極限はa→+0のとき、p→+0、q→∞になることを利用して求めましょう。ここでも(1)の結果は使えます。これで特殊な式変形も必要なく、最後まで求められます。

※KATSUYAは15分で解答しています。ミスもなくすんなり行けました。

第3問・・・【微分法+積分法の応用】特殊な積分、弧長(B、25分、Lv.2)

第2問に続いて微積分の問題。√t^2+1 の積分を利用し、弧長の長さの計算をしていきます。こちらも誘導が丁寧なので、落ち着いて合わせたいところです。

(1)、(2)の前半は積分計算のための準備です。(2)の前半の結果から、√t^2+1=・・・の式に直していきます。それを積分すると考えると、(1)の結果も出てきますので、積分が進みますね。

(3)はいいでしょう。xーy=tとおくと、x+yが出ます。あとは連立です。

(4)はただの2次関数の最大・最小です。これは何なんでしょう^^;

(5)は、PQ間の積分。(2)が出来ていれば、落ち着いて正解したいですね。

※KATSUYAは16分で解答しています。(4)必要ですかね?「t=-1~t=1における弧長を求めよ」でいいのでは?

☆第4問・・・【複素数+図形と式+数列など】条件を満たす複素数の個数(C、45分、Lv.3)

最後は論証に近いタイプの問題です。条件を満たす複素数の個数を一般的に考察する問題。

(1)はただの計算ですが、(4)につながる問題です。

(2)は計算し、0≦実部≦5、0≦虚部≦5 とすればOK。

(3)の前半は(2)を図示し、格子点を数えます。(3)は改めて図示しなおしてもいいですが、m_5から境界線上を除けばOK。

(4)は(1)が使えます。5=(1+2i)(1-2i)、5i=(1+2i)(2+i)と変形し、z+5、z+5iが(1+2i)(●+▲i)(●、▲は整数)の形に出来ることを示せばOK。

それを逆にすれば、z+5、z+5iがLに属するなら、zもLに属します。この対偶を取れば後半もOKですね。

(5)がメインでしょうが、説明がかなり大変です。

m_10についてですが、(3)で示した領域(単位領域と読んでおきます)が正方形が縦横2個ずつ並ぶイメージです。境界線上にない点は、実部を+5、or 虚部を+5するたびに、隣の正方形の同じ部分に移ります。従って、境界内の点4つはどの正方形にもあるはずです。境界上の点については、同じ考え方をするとかぶったりしてしまうので、素直に数えればいいでしょう。

このイメージがわけば、これを一般化するとm_5kも出せます。単位領域が縦にk個、横にk個並ぶ感じです。

(6)は、まず検討をつけましょう。5k^2がメインなので、これが2019ぐらいになるkを探しましょう。k=20と出ます。m_100はk=20で、2041となり、2019をちょっと超えます。m_99は、ここから実部100 or 虚部100のものを引きます。境界線上の下と右の直線上にある格子点のイメージです。右下が被るので、21+21-1=41 だけ少なくなり、めでたく2019を下回ります。

これで下回らないと、m_98を数えるのは結構難しいですので、ここは考慮されているみたいですね。

※KATSUYAは30分で終了。(5)の論証はなかなかつらいですね。

 

4.対策~IIIの対策+計算力UPをしっかりと~

今年は少なかったですが、例年はIIIの割合が非常に高いセットです。III以外では、数B(特に空間ベクトル)が頻出です。IIIの勉強はもちろんのこと、最初の穴埋めも簡単ではないので、典型パターンを繰り返し頭に叩き込んでおく必要があります。

IAIIB、IIIともに、高3の夏以降は入試標準レベルによる演習に入れるような体制を作る必要がありそうです。従って、それまでには青チャート1対1対応などの演習を終えたいところです。今年は割と穏やかな方で、計算が地獄のときもありますので、計算練習はしっかりと。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいですね。

以上です^^

■他年度の、本大学の入試数学■

>> 2013年度

>> 2014年度

>> 2015年度

>> 2016年度

>> 2017年度

>> 2018年度



■関連する拙著シリーズ■


★ 数学A 確率 (第1問(2))

★ 数学II 図形と式 (第4問)

★ 数学II 三角関数 (第1問(1))

★ 数学B 数列 (第1問(2))

★ 数学B ベクトル (第1問(1))

★ 数学III 極限 (第1問(2)、第2問)

★ 数学III 微分法 (第3問)

★ 数学III 微分法の応用 (第2問)

★ 数学III 積分法 (第2,3問)

★ 数学III 積分法の応用 (第2、3問)


★ 計算0.9【IAIIB】 (計算サボリ練習帳です^^)

 - 2019年度大学入試数学 , , , , , , , ,