同志社大学 全学部理系 | 2020年大学入試数学

   

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は同志社大学(全学部理系)です。


いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。


２０２０年大学入試（私大）シリーズ。

同志社大学(全学部理系)です。




問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。



同志社大学（全学部理系）

（試験時間100分、4問、ハイブリッド型）

※ハイブリッド型とは、穴埋め型と記述式の混合型のことです。

１．全体総評~相変わらずの計算量ですがまだマシか~

昨年に引き続き、誘導が比較的親切な問題構成になってます。計算は煩雑な部分も相変わらずありますが、昨年よりは量は減ったかと思います。

最初の確率を除くと完全なＢⅢ（ビーサン）出題で、数列とベクトルは両方出題されています。偏ってはいますが、創作問題で良問セットですね。



試験時間100分に対し、
標準回答時間は135分【121分】（←穴埋め考慮）

2019年は152分【137分】（←穴埋め考慮）

2018年は142分【126分】（穴埋め考慮）

2017年は166分【152分】（穴埋め考慮）

2016年は157分【133分】（穴埋め考慮）

2015年は120分【108分】（←穴埋め考慮）

２．合格ライン～昨年で対策していれば高得点も狙える～

第１問はどちらも演習量で差が出やすいタイプ。後半は計算量もまあまあでキー問題。最低半分、出来れば7個正解したい。第２問は誘導が丁寧で意図も見えやすいはず。結果も煩雑だが、計算に負けずに正答したい。
第３問も比較的誘導は丁寧。最後の極限の計算量は多め。（４）までは欲しい。
第４問は残り時間でどこまで解けるか。（３）まではなんとか。（４）（５）のどちらか完答ならベター。



誘導が見えやすい第２問と第３問である程度確保したい。第１問で方針が立てばそちらを、演習経験がないならある程度で切り上げて第4問の計算をコツコツいくのがよかったと思います。65％以上確保したいところですね。

３．各問の難易度

☆第１問（１）・・・【確率】ｎ個サイコロの目の積、最大値、最小値（B、20分【13分】、Lv.3）

サイコロの目の積や最大値、最小値に関する確率ですが、後半は比較的レベル高めのパターン問題です。

最初はただの反復試行です。

次の２つは、目の積に関する問題ですから、 原則通り余事象で計算します。４の倍数は、「全部奇数」の場合と、「１つだけ２か６であとは奇数」の場合が余事象です。

「エ」も原則で一発です。大値４＝「全部が１，２，３，４」－「全部が１，２，３」で計算できますね。

「オ」は経験がないと難しいでしょう。最小１、最大４の場合で説明します。日本語的には、次のような確率を求めることになります。

Ａ「出た目が全て１，２，３，４のいずれか」で、かつＢ「１、４の目が両方とも少なくとも１回でる」

事象Ｂの方は「少なくとも」が入っていますので、ここで余事象が思いつくかどうかですね。

Ｂの余事象は、条件の否定の考え方で、「１または４の目が１回も出ない」です。ベン図の雪だるまの部分なので、真ん中「１も４も１回も出ない」を引くことも忘れずに。

 

※KATSUYAは9分で解いています。「オ」を小問で押し込んでくるあたりが、同志社理系の第１問らしいよなぁ。。。

 

☆第１問（２）・・・【複素数平面】回転点列（B、20分【13分】、Lv.２）

大問になってもおかしくない、複素数の回転点列の問題です。「パターン問題だからええやろ」って感じでしょうか＾＾；

回転点列は、回転の操作を複素数で表せばそれが公比になります。

最初の偏角はいいでしょう。次の漸化式は複素数平面ですがただの４型ですので、特性方程式「ｃ」（本文ではγ）を利用して等比型にします。

本問ではとりあえずγをコツコツ計算します。（まあまあメンドウ）虚部だけ聞いていますが、γは純虚数です。これに気づかないとこの後が結構厳しいです。

γが正確に分かれば、γを中心とした回転と拡大になります。面積の公比は三角形の相似比の2乗なので注意。 

最後は等差×等比の級数です。(１－公比)Ｓで部分和計算しましょう。極限なので、0になるであろう部分は途中で切り捨てながらやれば、多少はサボれます。ある意味、穴埋めでよかったかもですね。

 

※KATSUYAは10分で解いています。γの計算が結構メンドウやったな。最後に等差×等比の級数かい。時間もってくなぁ。

 

☆第２問・・・【ベクトル】折れ線の最小値（B、25分、Lv.２）

空間ベクトルで、少し珍しい折れ線の最小値の問題ですが、誘導も丁寧なので意図は分かりいやすいと思います。

（１）は直線上の点なので１－ｔ、ｔの係数利用です。

（２）は、（１）の座標を利用し、ＡＲとＢＣの内積０でｔを出せばＯＫ。

（３）も座標が置いてあるので、ｐ、ｑに関する連立方程式を立てます。文章にある通り、垂直条件と長さの条件を式にしましょう。かなり親切ですね。

（４）は折れ線の問題です。対称点のときと類似していますが、「折れ線は伸ばす」という大原則がここでも生きていますね。ｘｙ平面上に線を伸ばし、Ｅ，Ｐ，Ｄが一直線上にあるようにすればＯＫ。ＰはＢＣとＥＤの交点ですが、ｘｙ平面上にあるのでベクトルよりも直線の式を連立した方が速いでしょう。

 

※KATSUYAは18分で解いています。親切な誘導なので迷うことなく終了。計算結果は煩雑なので少々不安。。

 

☆第３問・・・【数列】anとSnの関係式（C、30分、Lv.３）

やや複雑な関係式から、一般恋や極限等を求める問題です。高度な式変形により一般項を求めることになりますが、こちらもある程度親切な誘導があります。

（１）はn=1を代入して求めましょう。

（２）はSnに関する漸化式を作ります。a(n+1)=S(n+1)-S(n)とすれば、Sだけになります。

（３）（４）が漸化式を解くための式変形に当たる部分です。言われた通りコツコツ計算するだけですが、このように式変形を行う一般項が出せるということですね。分数関数ではｙが決まればｘも1対1に対応することがポイントです。その部分の説明がないと減点になりそうですね。

（５）Tnが出ればSn,anと出せます。計算は少々煩雑ですが、ここまで来たら慎重に計算して最後まで合わせたいところ。分数にｎ乗が多く絡みます。分母の中で最も影響の大きい項で、分子・分母を割りましょう。

 

 

 

※KATSUYAの解答時間は19分。こんな式変形で一般項出せるのね。ｆ（ｘ）からｇ（ｘ）が決められればって出せるってことか。極限は思ったよりメンドウで慎重に計算。

 

☆第４問・・・【微積分総合＋極限】極値、接線、解の個数、回転体の体積、極限（BC、40分、Lv.２）

第４問は、いつも通りの微積分総合です。数式に偏った出題が多いですが、今年はグラフ系です。（普段は2番がグラフ系の微積分出るけど、今年は2番も数Bになっているからかな？）残り時間との勝負になるかとは思いますが、途中まではとこまで煩雑な計算はほとんど手てきません。

（１）は明らかに意味深な関数です。どこかで使うのでしょう（そう思って、アンテナを張っておくのが大切）。微分して増減しらべましょう。

（２）も接線です。（３）は重解条件を求めると、（１）の関数が姿を表しますね。極小値部分が答えとなります。

（４）と（５）は回転体の体積です。（４）はｌｏｇの2乗なので部分積分を2回行うことになります。（５）はｙ軸回転ですが、ｌｏｇの逆関数は指数関数ｅ絡みなので、実はこちらの方が体積計算はラク。時間がなかったときに、「（５）のβ出す方が速くない？」と思えれば、勉強量は十分だと言えます。

極限の計算自体はテクニカルな部分は特になく、積分計算さえきちんと行えていれば極限もとれます。

※KATSUYAは23分で解いています。（４）の計算がちょっと大変かな。（５）は最後の結果はもっときれいになるのかな、とか期待しましたけど、完全に期待はずれ。あってんのかこれ＾＾；（→予備校の解答と一致していました）

４．対策~数IIIの微積分は質の高い演習を~

微積分は必ず１題以上（１題＋小問、ｏｒ２題）の割合で出題され、中に極限が混じっています。実質、IIIはほぼ全分野から出題されると思った方がいいです（今年も複素数平面は登場しました）。残りは確率、ベクトル、数列であることが多いです。数学A、数学B、数学III　という感じですね。

とにかく全体的に計算量が多いので、解答する途中で多少ややこしい計算が入ったとしても、折れずに答案を書きながら計算をしていく訓練をする必要があります。最近は質の高い問題が多く、入試標準演習の段階、高得点を狙うなら仕上げ段階にも手をつけたいです。

青チャートの例題は全て頭に入っていることは前提で、入試問題集に早くからあたりましょう。IIIの例題は、計算過程がメンドくさいものでもサクサク手が動くように、同じ問題を繰り返し演習しましょう。

以上です＾＾

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