慶應大学医学部 | 2020年大学入試数学

2020/02/25

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回慶応大学(医学部)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中はコメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

２０２０年大学入試（私大）シリーズ。
慶応大学(医学部)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

慶応大学（医学部）
（試験時間100分、4問、ハイブリッド型）

１．全体総評～量はあるが難易度は穏やかな方か～

難易度は昨年比変わらずです。昨年に比べると4番など、計算に時間のかかるものもありますが、途中までの手のつけやすさは昨年同様なので、点数には結び付きやすいセットだっと思います。確率は漸化式絡みではなく、ここ最近多いシグマ絡みとなっています。

試験時間100分に対し、
標準回答時間は177分【113分】（←穴埋め考慮）

2019年：164分【106分】

2018年：197分【124分】

2017年：185分【128分】

2016年：200分【125分】　

2015年：213分【115分】

2014年：165分

※本エントリーの【　】内は、慶応医学部受験者層のレベルを考慮していますので、その他の大学に比べて短めです。それでも、100分をオーバーしていますけど＾＾；

２．合格ライン(科目全体では60％)

第１問は11個あるが、8個は欲しい。「い」と（３）は意外と差が付きそう。

第２問の確率は漸化式から出ず。シグマ絡みの（４）（５）がキー問題。（３）までは欲しい。

第３問も書き出してみれば途中までは手がつきやすいはず。最後も答えだけなら埋まる。稼ぎたい。

第４問は文字が絡み、時間がかかるので、残り時間でどこまで手がついたか。（２）まではただの2次関数なので取りたい。

第１問、第３問である程度稼ぎ、残り時間で確率か第４問の後半に手を付ける作戦がいいかと。今年も65％ぐらいないとちょっと安心はできないかも。

３．各問の難易度

☆第１問（１）　【空間ベクトル】２平面の交線となす角（B,20分【12分】、Lv.2）

２平面の交線と、そのなす角に関する問題で、今年は最初から少しパターンからはずれています。

ベクトルにおいては、なす角を聞かれたら法線ベクトルを持ち出すことが原則ですが、平面同士でもこれを用いることが出来ます。ただし、平面の方程式に関する知識の有無で、「い」はすぐに出来た人、時間を掛けた人、そもそも捨てた人に分かれそうです。

平面の方程式ax+by+cz+d=0の法線ベクトルの１つが(a,b,c)であることを利用すれば、先に法線ベクトルを出すことでOABの平面の方程式は出せそうです。ｚ＝０とすれば交線の式となります。後半は、法線ベクトル同士のなす角を求めます。ｘｙ平面の法線ベクトルは(0,0,1)でOKです。

平面の方程式を利用しない場合は、両平面上の点から交線上に引いた垂線のベクトルを出し、そのなす角を計算するという手順になりますので、結構時間かかります。

第１問（２）　【微積分総合】最大値、面積、体積（A,12分【6分】、Lv.1）

簡単な関数について、最大値、面積、体積を求める問題で、本セット最易問です。

最大値は微分して極大値で、面積・体積を出すには交点（ｘ＝１）と上下関係を把握すれば、あとはただの積分計算。

面積は部分積分（多項式を先に変形）、体積はlogｘの式×1/xの形なので、は第２置換積分ですね。

第１問（３）　【複素数平面】直線の式、反転、対称点など（B,20分【12分】、Lv.2）

複素数平面上での直線の式、反転による軌跡、直線に関する対称点、直線上の点など、小問にしてはいろいろ押し込んきますので、これも時間がかかると思います。

複素数平面は直線に弱いのであまり触れることは少ないですが、1次式でバーが入っている場合は素直にα＝ａ＋ｂｉと成分表示するのがいいでしょう。ｚもx+yiで計算し、これが３ｘ－４ｙ＋１＝０となるようにするだけです。

反転を行うと複素数平面の威力が発揮されます。直線の式でｚ＝1/wとして代入して分母を払うと、無理やり因数分解して円の軌跡の形にするパターンが出てきます。数IIの軌跡の問題としてアプローチしてもいいですが、この表記だと反転には強いですね。

「け」は対称点を聞いてきます。これも、数IIの図形と式のようにアプローチしてもいいですし、（(0,0)と(p,q)の中点が直線上、2点を結ぶ線分が直線と垂直）、複素数平面としてアプローチするなら｜ｚ｜＝｜ｚ－β｜を満たすとして整理して最初の直線の式と比較すると、と、β＝－1/α　と分かります。

最後は、P0OQ1、P0OQ2が直角二等辺三角形なので、回転を用いるのがいいと思います。

※KATSUYAの感想：合計18分で終了。昨年5分で終了してますので、ここは難易度を少し戻してきたかな。

☆第２問　【確率＋数列】確率、シグマ計算（BC、40分【24分】、Lv.２）

今年の確率は漸化式が姿を消しましたが、シグマが絡む問題がいくつかあります。１つ１つがぶつぎりなので、全滅ということはないでしょう。（昨年の設定で全滅が続出したから変えた？？）

（１）は「少なくとも」なので、余事象利用ですね。

（２）は「１」が共通として計算し、×ｎすればOK。これもまだまだ余裕でしょう。

（３）はA君が2以下を引くとして計算して2倍します。A君は「１，２」と引くこともできるので注意です。

（４）以降は解法によってはシグマが絡みます。（シグマ利用の方が思いつきやすいかと）

（４）の場合は、大きい方がｋ（ｋ＝２，３，４・・・ｎ）の場合、引き方は（ｋ－１）^2通りあります。これをそのままシグマすれば場合の数は出ます。

（５）の場合も、Aの小さい方ｋである場合（ｋ＝２，３、・・・ｎ－１）にＡはn-k通り、BはkC2通りあります。これをしシグマすることになります。（５）は（４）よりはるかに計算はメンドウです。

ｎが絡む確率の場合は、ｎに小さい数字を入れて実際にその式の通りの確率になるかどうかを確認するだけで検算は簡単にできます。後半は計算もミスしやすいので、多少時間を掛けてでも、確実に点数になるように検算することを強くお勧めします。

※KATSUYAの感想：19分で終了。（５）の計算が結構いやな感じで時間の半分ぐらいもってかれた。ちょいちょい途中でミスっているためロスしていますが、n=3,4あたりで実際に数えて全て検算し、修正。

☆第３問　【三角関数＋数列＋極限】三角関数の和の式の値、漸化式、極限（C、40分【24分】、Lv.３）

数列に関する総合問題で、最後の結果は有名事実です。これを証明するためのプロセスが題材となっています。おもしろい証明方法ですね。

（１）sin(90°-x)=cosxとして通分すればクリアできます。ここに気づかないと全滅に近いですが＾＾；

（２）は（１）の結果も利用しつつ、規則をつかむための誘導です。この親切をふみにじることのないように、あまり横着せず、きちんと書きならべて正確に規則をつかみましょう。漸化式は４型なので、特性方程式を使って等比型に帰着ですね＾＾

Tnは打って変わって誘導なしですが、あまり用いない4つ目の相互関係１＋1/(tanx)^2=1/(sinx)^2　を用いれば簡単に出すことが出来ます。気づいたかどうか。

最後はSnの式とTnの式を利用してハサミウチなのでしょうが、結果だけなら本学受験者は知っている人の方が大半でしょうから、ここでは差がつかないと思っています。実質、ポイントになるのはTnを求める「さ」ぐらいでしょうか。

※KATSUYAの感想：解答時間18分。Tnで最初4つ目の相互関係が発想になく、誘導のようにやってみるとg(x)+g(90-x)=4f(2x)－２　となるので、これを利用することにするも、「－２」が何個入るかを間違えて出した、T2で検算すると合わない。T3を全部書き出し、「－２」が8個入ることに気づいて修正。

第４問　【2次関数+微積分(II)+積分(III)+極限】放物線上の距離の最小値の最大値、面積、弧長、極限（BC、50分【35分】、Lv.2）

頂点がy軸上にある放物線上の点と原点との距離の最小値についてですが、めっちゃいろいろ聞いてきます。出てくる式は2次関数や3次関数の知識で処理出来るものが大半ですが、係数が分数で、しかも文字がA、ｃと2文字絡んだままのため、計算プロセスも煩雑で時間を取られる問題です。

（１）は面積です。６分の公式で求めて半分にすればOK。2次の係数の絶対値b/cを忘れずに。聞き方からして忘れる可能性は低いでしょう。以降は、この（１）の設定が続くようですので、ここでミスると全滅です。私、全滅しかけました＾＾；

（２）は原点と放物線上の距離ですので、2乗和を計算します。4次関数ですが、x^2の2次関数とみなせます。係数が煩雑になるので平方完成もまあまあメンドウですが、やることはただの軸分けです。「え」が正確に出るかどうかですね。

（３）は「え」の中身の吟味ですが、これもただの3次関数ですので、微分すれば簡単に極大値（これが最大値）をとるｃは出せます。このときのθですが、ｘ0、f(x0)を計算すると（これがまたメンドウ＾＾；）ともに同じなので45°です。こちらも興味深い結果です。

（４）は弧長です。用いるべき式も書いてあるので、時間さえあればそんなに難しい問題ではないと思います。前半は１≦√１＋●≦１＋√●、後半は√●≦√１＋●≦１＋√●としてハサミウチをすれば証明できますね。

※KATSUYAの感想：解答時間28分。言った通り、最初の「あ」でミスったため、途中まで全滅コース。（４）の証明の最後の最後で3A/2にならず、「なんで？＾＾；」となる。最初の面積でまさかの分母「６」ぬかしという大失態をやらかしていることに気づく。この煩雑な計算をもう一回全部やり直せと。でも、もし試験ならまだ時間もあるし、やるやろ。と決めてやり直しました。最後まで解いてから気づいているから、実質倍ぐらいかかってる。

４．対策～癖と計算力の多さに慣れる～

傾向、形式ともに癖の強いセットです。今年は出ませんでしたが、確率と漸化式は名物で、微積と極限もボリュームの大きいものが出ます。計算力、演習ともに必要です。
高校２年生の段階でも、典型パターンの7割が習得済みであることが望ましいです。センターは余裕で9割とれるようなレベルにいないと厳しいでしょう。本学受験生の高２で、数IIIにまだ手がついていない人は、いますぐ独習してください。そんなペースでは本学部の試験には耐えれません。教科書ガイドと青チャがあれば進められます。
高３に入ったら、もう入試問題演習に入りたいところです。夏以降はさらにレベル高めの入試演習、を行い、仕上げ段階まで行ってから過去問、といった感じでしょう。理工学部もレベルや出題内容(確率と漸化式はかなり似ています)、形式が似ているので、使えます。

量をこなす演習：じっくり演習＝６：４ぐらいでしょう。３年生になったらできる限りじっくり演習したいです。2時間でも考え込んでしまってもOKです。ただし、あらゆる手段（計算がかかると分かっていても、それで押し通してみる！）で手を動かしてみることです。答えにたどり着かなくても、計算力は着実にUPしていきます。普段の練習から「キツイ、無理じゃね」と思ってあきらめるのはNGです。

以上です＾＾

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