慶應大学理工学部|2020年大学入試数学

2020/02/19

●２０２０年大学入試数学評価を書いていきます。今回は慶応大学(理工学部)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２０年大学入試（私大）シリーズ。

慶応大学(理工学部)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

慶応大学（理工学部）
（試験時間120分、5問、ハイブリッド型）

１．全体総評～例年よりは計算量が少なく手もつけやすい～

昨年に大幅に易化した反動があるかと思いましたが、量的には例年より穏やかで、質的にも手がつく問題が多かった印象です。この傾向が続くのかどうかは分かりませんが、転換期と考えることも出来そうです。

試験時間120分に対し、
標準回答時間は154分【112分】（←穴埋め考慮）

2018年：222分【158分】（←穴埋め考慮）

2017年：200分【135分】（←穴埋め考慮）

2016年：183分【134分】（穴埋め考慮）

2015年：186分【139分】（←穴埋め考慮）

2014年：156分、2013年：180分　

２．合格ライン

第１問は本学受験者であれば落とせない。

第２問も数IIIだが、普段に比べれれば計算量も少なく、出来れば落としなくないところ。

第３問は確率なのでキー問題。うまく数えないと過不足が出やすいタイプ。漸化式は影をひそめています。

第４問は経験がない人の方が多いかもで、ここはしょうがないかと。ばっさり捨てることも視野に入れる。

第５問も計算量が多いだけで、コツコツ計算すれば全て辿りつける。

第４問が出来た人はかなり有利だが、そこは除いて考えても、他で8割程度（記述込みで20個中16個）確保すれば、全体でも記述込みで25個中16個となり、64％です。これをボーダーと見ていいかと。

３．各問の難易度

第１問（１）・・・【複素数平面】円周上の２点の中点の軌跡（B、20分【13】、Lv.2）

複素数平面上で半円周上を動く2点の中点の軌跡の長さを求める問題。どちらも円になりますので、円弧の長さとなります。

表現的には複素数平面が思いつきやすそうです。前半は１＋ｚ2＝ｗ　です。ｚ2＝・・・の式に直し、|z2|=1に入れましょう。この手のタイプは、ｗ＝f(z)を見たら、ｚ＝・・・に直すんでしたね。

後半は条件が分かりにくいですが、要は60°離れたところにいると言う意味です。OA1A2が１辺１の正三角形であることから、中点Mがどこを動くかを考えるのが最も幾何的で速いと思います。

ｘ、ｙのまま成分で勝負すると軌跡になりますが、後半は複素数平面で攻めないと計算はが無駄に膨れそうですね。

第１問（２）・・・【微分(II)＋図形と式】放物線と2接線、内分点の軌跡（B、18分【12分】、Lv.2）

最初から２連続で軌跡ですが、今回は放物線の接線がらみです。

接する問題では先に接点をおいて接線の方程式をつくってから、（t,t^2-4）を通ることを使いましょう。A,Bの座標が出れば最後まで計算するだけなので出来るかと思います。

Rの座標はORベクトルと同じ。PRベクトルのままやらないように。媒介変数表示の軌跡は、媒介変数の消去が原則です。

※KATSUYAは計11分で終了しています。

☆第２問・・・【微分III】放物線と円の接する条件（B、30分【22分】、Lv.２）

放物線と円の接する条件です。図形と式のように考えることもできますが、連立した式の形と（１）から考えると微分を用いるのが思い浮かびやすそうです。

（１）最初の証明は経験済みだと思います。必要条件の証明なので、「どっちならばどっち」を間違えないように。

（２）なんか勘繰りたくなりますが、図形的にも明らかに２個として大丈夫でしょう。

（３）はｋ＾２＝・・・・の定数分離をして、グラフで視覚化するのがオーソドックス。２乗が付いていますが、定数分離は思いつきやすい形をしているのではないかと。極値（解が１個になるところ）はきれいになりますので、KO理工にしては親切な設定です。円の方で調節してあるのでしょう。

※KATSUYAは14分で解答しています。途中微分で計算ミスしかけたが、接点のｘ座標意味不明なぐらい大きくなったので修正して終了。

☆第３問・・・【確率】復元抽出、非復元抽出（B、30分【20分】、Lv.2）

ここ最近のKO理工の確率は穏やかな印象がありますが、最後は過不足が起きないように気をつけたい。

（１）は球も戻しますし、簡単です。表表（1/4）、表裏(1/2)、裏裏(1/4)の場合で赤を取る確率を確率を計算しましょう。

（２）は非復元抽出になりますが、やり方は上記と同じ。裏裏のときだけ実現不可能ですが、やっていれば気づくでしょう。なお、この場合も表裏、裏表で確率は同じになります。（３）に行く前にこれに気づいておかないとメンドウです。

（３）の最初は、表2回、裏1回です。表、裏の出る順番に関係なく赤２、白２を取る確率は同じになることに気づかないと、ほぼ全部の出方で確率を計算することになりますので、計算に手間取ります。

表表裏のときで例を。{赤、赤、白２}、{白、白、赤2}｛赤、白、赤1白1｝、｛白、赤、赤1白1｝のような取り出し方があります。対称性から、前半２つ、後半2つは確率はそれぞれ同じです。これらの確率を足したものを3倍すればOK。

もっと簡単に、「結局４つとったときに赤２、白２であればよい」と考えられればベストですが、教わったことがないとなかなか難しいかもです。

最後は、あと裏裏裏の場合を計算するだけのおまけなので、「ス」があっていれば行ければ完答可能。

※KATSUYAは１２分で終了しています。思ったより穏やか。確率も難易度が下がってきたような気がする。

☆第４問・・・【積分(数式)】定積分関数の性質、定積分方程式（CD、40分【28分】、Lv.３）

普段の数IIIの計算に比べればかなりボリュームの少ない問題ですが、それは罠で本セット最難問と言えます。経験がないと（２）以降はダメでしょうが、たぶんダメだった人のほうが多数だと思います。

（１）は頑張って計算するだけ。指数ということもあり、ｔ－ｘも掛け算になおせばうまくいきます。

（２）は「ｆ(ｔ－ｘ)のところがうざい。ｔ－ｘが簡単ならな」という思いから、ｔ－ｘ＝ｕと置き換える発想になれば、積分区間も０~２ｘ⇒ーｘ~ｘとなり、奇関数が見えてきますが、意外と厳しいのではないでしょうか。

（２）が出来ると、その過程で得た置換積分により、（３）（４）ともに出来ます。最後の定積分計算は部分積分と置換積分が両方入る典型的な式の積分パターンですが、本学ならむしろ普通。

一応原則を確認しておきます。logが出た場合は（ｘ）’が前にあると思って部分積分です。部分積分の変換優先順位は、指数＝三角＞整式＞対数。対数を先に変換することはまずありません。

後半の置換積分はｘ＝a・tanθのパターンです。分母がx^2+1ですし、これは大丈夫ですね。

KATSUYAは15分で終了しています。（２）が思いつけば別にどうってことはないかな。最後の積分でメンドウさを若干出してるけど、たぶんここまで来れる人のほうが少ないのでは？

☆第５問・・・【微分法(II)、ベクトル】平行四辺形、三角形の面積比、一直線条件など（BC、35分【25分】、Lv.２）

最後は平行四辺形上の点で三角形を作り、その面積比を計算していく問題。

個別に説明は必要ないかと思います。まず、分数式＝比を聞いていることには気づくことは前提とし、さらに面積比を求めることも、線分比＝面積比で方針が立つと思いますが、長さの設定のせいで分数からみまくりなので、計算はまあまあメンドウです。（１）は簡単、（２）は3次関数の最大値で微分、（３）は3次方程式で因数定理です。

（４）は一直線上にある条件なので、ベクトルがいいでしょう。AC上かつEH上にあることを式にします。始点Aが入っているAC上の方ば実数倍ｋの利用、入っていないEH上の方は１－ｓ、ｓなどの係数設定を行うことが原則。

※KATSUYAは16分で解答しています。線分比＝面積比でいけそな感じやな。なんか最後まであんまり難しくない？と思って解き始める。（２）でメンドウな予感を察知。（３）また別のところかい。メンドウやなぁ（４）何回似たようなメンドウな計算させんの＾＾；　でもまあ普段よりはラクか。

４．対策～質の高い演習に加え、計算力の強化を～

標準問題を素早く解くには、入試の頻出パターンをなるべく早い段階で習得する必要があります。青チャートIAIIBは高２までに出来ればマスターしてしまいたいところ。分野的には、「微積分」に加え、最近影を潜めていますが「確率と漸化式」も要注意。確率については、今年のようにシグマ計算をさせて出すものも、KO理工ではよく見ます。

また、IIIの方も高３の夏までには一通り全分野が終了していないと、このレベルに対応できません。受験者層を考えると、高２までにIIIを終えている高校も多くあります。学校の進度が遅いような場合は、自分でやりましょう。教科書ガイドと青チャートがあれば進められます。

また、青チャートのようなものが終わったら、早めに入試演習に入りましょう。本学部の数学で点数をしっかり取るには、最終段階としては仕上げレベルまで必要です。こちらを解く際にも、本番の穴埋めのようにスピードを上げて解きましょう。

計算量が多い問題もよく出ます。多少拙いやり方で計算量が増えても、ゴリ押しする能力も必要です。

量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいですね。

以上です＾＾

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