慶應大学 理工学部 | 2018年大学入試数学
●２０１８年大学入試数学評価を書いていきます。今回は慶応大学(理工学部)です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１８年 大学入試数学の評価を書いていきます。
※入試シーズン中は、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。
２０１８年大学入試（私大）シリーズ。
慶応大学(理工学部)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
慶応大学（理工学部）
（試験時間120分、5問、ハイブリッド型）
１．全体総評～後半がかなり厳しく全体として難化～
難易度より難化です。前半の３番までは手のつきそうなタイプですが、後半の２問は難易度・計算量ともにかなり厳しいです。全体としては難化でしょう。大問として見通しの立つところはなるべく多く、後半は出来るところまでつまみ食いで精一杯でしょう。
試験時間120分に対し、
標準回答時間は222分【158分】（←穴埋め考慮）
2017年：200分【135分】（←穴埋め考慮）
2016年：183分【134分】（穴埋め考慮）
2015年：186分【139分】（←穴埋め考慮）
2014年：156分、2013年：180分
２．合格ライン
第１問は穴埋めの４つはパターンなので欲しい。（３）の記述はキー問題で差がつきそう。
第２問は６つの穴埋め。５つなら合格ライン。
第３問もレベルは高いが、パターン。本学受験者ならここは欲しい。
第４問、第５問は時間的にも厳しい。第４問、第５問ともに（１）までつまみ食いでもなんとか。
６０％弱でも数学はボーダーになりそうです。半分をなんとか取りたいですね。
３．各問の難易度
第１問（１）・・・【複素数と方程式】相反方程式（B、10分【6分】、Lv.2）
昨年と違って今年の最初は割とラク。ここら辺はまったく傾向が固定されませんね＾＾；
係数が対称になっているので相反方程式で、問題文通りx+1/x＝yで置き換えます。式自体は、真ん中の次数であるx^2で割ると見えますね。
☆第１問（２）・・・【数と式など】対称式と実数条件（B、12分【8分】、Lv.2）
分野はあいまいですが、対称式と実数解条件から、分数不等式を解く条件となります。
和と積を設定している場合は、実数解条件がつきまといます。s^2ー４tの式は分数不等式なので、こちらの原則を当てはめましょう。数IIIの原則ですが、知っておいたほうがいいです。
（拙著シリーズ(白) 数学III 関数 p.8）
分母の式の正負が判定できないので、2乗をかければ不等号の向きを維持したまま解けます。４次不等式ですが、2次不等式の要領でグラフとx軸との上下関係で考えれば範囲は出せます。（そもそも交点も２個しかありません）
☆第１問（３）・・・【複素数と方程式】整式の割り算、ω絡み（B、20分、Lv.２）
今年はここに記述を１つ持ってきました。なお、医学部も昨年この位置に持ってきてます。
証明はx^３－１、x^3nー１などがあるので、ω絡みの問題だと気づきたいです。（x－１）（x^n-1）はどちらの式にも共通して現れますので、残りの整式どうしで考えます。
x^2+x+1で割り算をすることになりますので、ωの出番となります。
（拙著シリーズ(白) 数学II 複素数と方程式 p.32-33）
そしてω絡みの問題では、こちらの原則を使います。
（拙著シリーズ(白) 数学II 複素数と方程式 p.32-33）
問題文にも３で割ったあまりの話がありますし、ここで逆にω利用のパターンに気づいて欲しいところですね。
☆第２問・・・【確率＋数列】点の移動、Σ計算（B、35分【24分】、Lv.２）
２年連続で、漸化式が絡まない確率でしたが、２年連続で確率計算に「シグマを取る」パターンになりました。
設定自体はKO理工にしてはかなり簡単です。（２）は「または」なので余事象が数えやすく、（０、ー１）か（０、ー３）に到達する場合しかありません。
（３）は４回になりましたが、４回で到達する座標を見ていくと規則性が見えます。１つ飛びというイメージですね。これえがイメージできれば、（４）（は簡単なので取れる）もあわせて５つのボーダー達成です。
（６）が本問のメインです（試験ではまず飛ばすでしょうが）。k回目で始めて達成する確率をk＝２、３、・・・n-1 でシグマをとります。その直後にy方向に動かないと（確率２／３）、x方向に動くとx＝２には戻ってこれません。
式は等差×等比になりますので、こちらはパターンですね＾＾
（拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.19-20）
☆第３問・・・【積分法】定積分と漸化式（BC、35分【25分】、Lv.2）
定積分と漸化式で、題材としてはもっとも有名なタイプとなります。
x=sinθに置き換えることで、最初の積分は瞬殺でう、。次も置換積分をすることで有名な形が見えます。この形に限らず、定積分の漸化式ではこちらの原則をに従いましょう。
（拙著シリーズ(白) 数学III 積分法 p.66-68）
（２）はan、an-1 の式を書いてみれば、分子・分母がどんどん約分出来ることが分かります。真ん中がごそっと消える和の計算みたいなものです。
（３）は証明ですが、これは経験がないと難しいでしょう。{an}が減少数列であることを示すことで、ハサミ打ちに持っていくことができます。このとき（１）も利用します。
（４）は（２）と（３）を使えば可能です。記述だと割と式変形を考えさせられますが、穴埋めならおおざっぱに「nが大きければanとan_1は等しい」とすればよく、「ス」にルートつけてから√n をかけた式で極限を取れば答えは出せます。
随分前だと思いますが、同じKO理工でほぼ同じネタが出ているので、理工受験者は対策済みと見たほうがいいでしょう。
☆第４問・・・【空間ベクトル】条件式を満たす図形、内積、交線、距離、体積など（C、50分【35分】、Lv.３）
今年も空間ベクトルです。2016年、2017年と連続で、同じテクニック（原則）で７割ほど取れる問題が出題されていましたが、今年は大革命を起こしてしまいました。全体的に原則が通用しづらくなっており、難易度がUPしています。差がつかなくて難易度を上げてきたのでしょうか＾＾；（2016年。2017年も簡単ではないんですけどね・・・）
まず、図形Sは円錐曲面となりますが、曲面が出てくると、空間ベクトルの典型的なテクニックは通用しにくくなりますので、個人的にはしょっぱなに嫌な予感がしました。
曲面が出てきた場合は図形をイメージしにくいので、とにかく条件式を立てて勝負するしかありません。例えば最初では、Bが図形S上にあるというのは、｜OB(→) ｜＝OA(→)・OB(→) が成り立つということです。これと|OB(→)|＝６ だけで求められるはずなのです。
次は、交点です。直線AB上にあることについては、１－s、sのお決まりの係数が使えます。
（拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.34-35）
本問は片方が曲面なので、２つ作ることはできず、再び｜OC(→) ｜＝OA(→)・OC(→) に当てはめます。これでsを決めることになります。
OD・OBについても、S上にある条件式｜OD(→) ｜＝OA(→)・OD(→)と、条件式OC（→）・OD（→）＝０、｜OC（→）｜＝｜OD（→）｜を用いるだけで出せるはずです。（１）からやりなれない計算が続きます。
出来た人は徐々に波に乗れそうですが、今度は計算量の多さに苦しめられます。QはS上、かつ平面ABD上なのでこれを式にしましょう。平面ABD上にあることは、係数の和＝１で行けます。
（３）はさらに苦しめられます。（２）でだした条件式のもとで、｜OQ（→）｜の最大値を出します。QはS上なのでOA（→）・OQ（→）の最大値と同じです。こちらだと１次式なので、＝k とおいて連立し、実数解条件に持ち込めます。ここで実数解条件の利用まで聞いてくるあたりが、計算量も多くKO理工らしい。s、tや係数も汚いです。
最後にトドメをさされます。体積なので、Eから平面OCDに垂線をおろします。これは原則通りです。
（拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.75）
ここまでの計算量の多さに加えて係数が汚い上に、この計算ですので、今回はここまでたどり着いた人は皆無に近いと思います。私もかなりHP（MPもかな）を奪われましたね＾＾； 30分ぐらいかかりました。
第５問・・・【図形と式＋式と曲線＋積分法】軌跡、極方程式、弧長、面積（D、60分【40分】、Lv.３）
第４問に続き、文字も入っていて計算の煩雑な図形問題です。また、条件が最初はわかりにくいですが、文章を全て読めばやるべきことは分かります。
（１）はアポロニウスの円なので、穴埋めなら裏ワザで行くほうがいいでしょう。内分点と外分点を直径とする円として求めましょう。
計算で行うなら、こちらの原則に従ってコツコツやるしかありません。
（拙著シリーズ(白) 数学II 図形と式 p.45）
次は円外からの接線なので、こちらも原則を用います。先に接点を置きましょう。
（拙著シリーズ(白) 数学II 図形と式 p.34）
文字「v」が入った状態ですので計算は比較的煩雑です。
（２）は、円ではない部分をどうやって求めるかです。「マ」極方程式における弧長を求める式を入れるだけです。本学受験者なら答えだけさっと書けたと思いますが、知らなくても x＝f(θ)cosθ、y=f(θ)sinθで媒介変数としての弧長公式に代入すればOK。 試験場ではここまででしょう。
「ミ」「ム」は考え方も難しく、かつ計算量もかなりあります。αやβを出すには、「任意のθ１で成立する」という考え方をする必要がありますので、θ１＝θ０ などの特殊な値から必要条件で出していくことになります。方程式として見てしまうと、まったく手がつきません。
α、βが出たらv＝√２を代入して面積ですが、極方程式の面積に扇形の一部が混じったりと、こちらも試験では最後までたどり着くのは至難の技。今年は後半はかなりキツイですね。
４．対策～質の高い演習に加え、計算力の強化を～
標準問題を素早く解くには、入試の頻出パターンをなるべく早い段階で習得する必要があります。青チャートIAIIBは高２までに出来ればマスターしてしまいたいところ。分野的には、「微積分」に加え、「確率と漸化式」が頻出。確率については、今年のようにシグマ計算をさせて出すものも、KO理工ではよく見ます。
また、IIIの方も高３の夏までには一通り全分野が終了していないと、このレベルに対応できません。受験者層を考えると、高２までにIIIを終えている高校も多くあります。学校の進度が遅いような場合は、自分でやりましょう。教科書ガイドと青チャートがあれば進められます。
また、青チャートのようなものが終わったら、早めに入試演習に入りましょう。本学部の数学で点数をしっかり取るには、最終段階としては仕上げレベルまで必要です。こちらを解く際にも、本番の穴埋めのようにスピードを上げて解きましょう。
計算量が多い問題もよく出ます。多少拙いやり方で計算量が増えても、ゴリ押しする能力も必要です。
量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいですね。
以上です＾＾
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■関連する拙著シリーズ■
★ 数学I 数と式 (第１問（２）)
★ 数学II 複素数と方程式 (第１問（１）（３）)
★ 数学A 確率 (第２問)
★ 数学B ベクトル (第４問)
★ 数学III 積分法 (第３問)
★ 数学III 極限 (第３問)
★ 数学III 式と曲線 (第５問)
★ 数学II 図形と式 (第５問)
★ 数学II 積分法の応用 (第５問)
