慶應大学経済学部数学講評| 2024年大学入試数学

2024/02/16

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●２０２４年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は慶応大学(経済学部A方式)です。　

２０２４年大学入試（私大）シリーズ。

慶応大学(経済学部A方式)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

なお、動画でも講評をＵＰしています。難問である4番の空間ベクトルは図も書いてますので、ぜひ参考にしてみて下さい。

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YouTubeチャンネルです　個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。

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慶応大学（経済学部A方式）
（試験時間80分、6問、ハイブリッド型）

１．全体総評～文系最上位クラスの難易度継続～

難易度は昨年とほぼ同じで相変わらずキツイセットですが、これを80分で解かせるのが慶應経済です。前半の穴埋めも計算量の多いものが続き、後半の記述は質量ともに厳しい3問が並びます。

毎年のように出る空間ベクトルは、計算だけでごり押すとかなり時間がかかりますが、今年の問題も、図形的な性質もうまく書かないと分かりにくいので、キツめです。最後の微積も計算量をかさ増ししている感じで時間をそがれます。

※私は、今年も80分で解けませんでした(大問4の(3)だけ残りました)。

試験時間80分に対し、標準回答時間は170分【142分】(←穴埋め考慮)

2022年：174分【140分】（←穴埋め考慮）

2022年：185分【164分】（←穴埋め考慮）

2021年：185分【154分】（←穴埋め考慮）

2020年：195分【169分】（←穴埋め考慮）

2019年：128分【108分】（←穴埋め考慮）

2018年：165分【141分】（←穴埋め考慮）

2017年：160分【133分】（←穴埋め考慮）

2016年：170分【147分】（←穴埋め考慮）

2015年：130分【103分】（←穴埋め考慮）

２．合格ライン～スルー力(りょく)が必要～

第１問は小問２つ構成に。今年は整数問題も簡単に。後半も誘導があるので丁寧に解き切りたい。
第２問の確率は昨年よりはましだが、それでも最後の計算は繁雑なので飛ばすのが吉。
第３問は前半ではキー問題。(3)(4)ぐらいで出来が分かれそう。全部取れれば有利。
第４問は文句なし最難問。最後は捨て問。場合によっては計算量を見越して、(1)だけでスルーするのがよかったかも。
第５問は記述では最もラクだがキー問題。ラクそうに見えないため、敬遠されたかもです。手をつけてみたもの勝ち。
第６問は微積計算。計算量がかさ増しされており、時間はそがれるが、難しくはないので、時間を確保した状態で取りたい。

前半3問では、第１問はとって、第２問と第３問で合わせて1完強ぐらいあればOK。

後半は、第5問に手が付いたかどうか次第。明らかに時間のかかりそうな問題をスルーするテクニックが物を言う試験な気がします。

数学については60％強ぐらい取れればいい方ではないでしょうか・・・

３．各大問の講評

☆第１問(1)　【方程式】整数解を持つ条件（A、10分【6分】、Lv.2）

今年の最初は整数から。典型問題で、昨年よりだいぶ簡単になりましたね。

このタイプは、解と係数の関係でｐを消去するのがオーソドックスで早いでしょう。

Principle Piece

2次方程式が整数解解と係数の関係を利用して定数消去し、整数解問題へ

（詳細は拙著シリーズ数学II 複素数と方程式 p.42 参照）

出来た方程式はムリヤリ積の形を作り出すパターンですね。

Principle Piece

xy+ax+by+c=0型はムリヤリ因数分解せよ。

（詳細は拙著シリーズ数学A 整数 p.45 参照）

今回は右辺がー７となり、候補も少ないのでしらみつぶしをしてもラクです。候補が多い場合は、典型３パターンでまず絞れないかどうか確認しましょう。

Principle Piece

候補を絞る典型3パターン：正負、大小、奇偶

（詳細は拙著シリーズ数学A 整数 p.46 参照）

関連問題もすでに私のチャンネルで紹介済み。見ていれば楽勝だったでしょう。

☆第１問(2)【三角関数】分数式の最大・最小（AB、15分【10分】、Lv.2）

三角関数への変換を利用し、分数式の最大値と最小値を求める問題です。非常に有名な式変形で、慶應経済を受験するなら暗記必須項目としておきたいところ。

最初がその式変形。tanθからsin2θ、cos2θを表す変換は覚えておきましょう。拙著でも例題とし、かつ強調して扱っています。（詳細は拙著シリーズ数学II 三角関数例題３８など参照）

これを知っていれば、その式から変形してsin２θ、cos2θ＋１を表せば、簡単に半分と分かります。

これを利用し、分数式を三角関数に変形していきます。何の問題であっても、基本的に分数式は帯分数表記が原則です。まず分子を分母で割ります。

Principle Piece

分数式は帯分数で。分子の次数＜分母の次数　に

（詳細は拙著シリーズ数学II 式と証明 p.18、数学A 整数 p.92）

1次式になれば変形した式をうまく使えます。あとは形から合成が見え見えなので、合成して最大・最小を出しましょう。なお、合成した式の最大・最小を求めるときは、円の半径はｒで取る方がメリットが大きいです。

Principle Piece

合成した式の取りうる値は半径ｒの円でそのまま視覚化

（詳細は拙著シリーズ数学II 三角関数 p.98）

※KATSUYAの解答時間は合わせて3:42です。今年はここは軽めかな。

第２問【確率】カードの点数と条件付き確率（BC、25分【16分】、Lv.2）

今年はここが確率。前半に確率が入るのはほぼ確定です。今年は昨年よりは楽ですが、それでも最後は正答率低いと思います。飛ばしてOK。

（１）は0点も入ることに注意。遠回しですが、問題文にも書かれているので大丈夫でしょう。

（２）は2回とも1人が独占する場合を除く方法がラクかなと思います。まともに数えても大したことはないですが、順番の入れ替えに注意。

（３）はAが2回とも引く場合と、１回しか引かない場合に分けます。カードは戻さないので注意。

2回とも引く場合は和が5以上ですが、明らかに余事象の方が少ないので、全体から引きます。

また、1回しか引かない場合は、Aが後か先かでカードの様子が変わりますが、くじ引きの公平性を利用すればどちらでも5以上を引く確率は同じです。穴埋めなのでこういった知識がもろに活かされます。

Principle Piece

くじ引きの公平性→くじを左から並べて取ると考える

（詳細は拙著シリーズ数学A 確率 p.29）

（４）は条件付き確率。まずはこちらの原則に従います。

Principle Piece

分母は「とき」の手前、分子は「とき」の前後

（詳細は拙著シリーズ数学A 確率 p.27）

※KATSUYAの解答時間は12:59です。最後はけっこ慎重にやらないとキツイ。

第３問【対数＋数列】対数が絡む数列とその漸化式（BC、30分【20分】、Lv.２）

今年はこっちが数列。だいたい確率と数列がここです。題材は昨年に比べると難易度が上がっていますが、誘導は親切で、計算量自体はそこまで変化はないです。途中で詰まったらスルー推奨です。

最初は落ち着いて計算するだけです。①の等式の係数は意外とミスが多そう。でも③の漸化式解くときに合わなくなるんで、間違いに気づくと思います。(私がその一人だからです！)

(2)は対数方程式を解くだけ。最初の1/2を見落とすとミスするので注意。

（３）はちょっと変わった漸化式ですが、何の式を利用するかも書かれているので、それに従うだけ。これにより、f(3a_n+1)=f(a_n)と簡単にわかりますので、anは等比型になります。

（４）は和の計算。こちらもヒントがないと難しいかもですが、ヒントもあり、③を用いるとも書いてあるので、素直に従います。階差数列を用いるということは１ずれの差を作るということですから、望遠鏡型です。和の計算は、公式にあてはめられないなら基本的には望遠鏡型です。

Principle Piece

和は、公式や原則にない場合は望遠鏡型利用と思え

（詳細は拙著シリーズ数学B・C 数列 p.26　もっと詳細に書いてあります）

これで和も出ます。ここまでありつければ、ｎ＝５にして与えられた式にあてはめるとｂ１もウマく消え、ｂ５だけになります。（２）でa5に戻して、等比型なのでa_1も出ますね。

式の形的に、「ここで、こうなるはずだ」と思える箇所が随所にあるので、つじつまが合わなければミスに気づきやすいです。例えば(4)のS5とb1の関係式で、b1とb5が両方残るようだとかなり難問なので、b1は消えるだろうなど。

※KATSUYAの解答時間18:12。最初にミスし、(3)で数回やるもつじつまが合わず、(50)番は「３」のはずなので、逆算して最初のミスに気づく。6分ぐらいロス。ということで目標解答時間もオーバーしました。慌てる乞食はなんとやら、ですねぇ。

第４問【空間ベクトル】平面と直線交点、面積、体積など（C、45分、Lv.３）

今年は第４問が空間ベクトル。第5問と第4問でだいたい指数対数(三角のことも)かベクトルかです。

そして慶應経済の空間ベクトルは毎年難しめで、空間における図形的な性質を考慮しないと計算が地獄になる設定が多いです。今年もこのパターン。年々インフレしてないか＾＾；

（１）は正四面体の第４の頂点を求めるだけ。検算として、正四面体の高さや、垂線の足が外心であり重心になることを知っていると安心。

（２）は直線と平面の交点ですので、原則に従ってコツコツ計算するだけ。

Principle Piece

平面と直線の交点：ともに始点なし

[1]直線上は1-t,tの係数　[2] 平面上は1-s-t,s,tの係数設定　で連立

（詳細は拙著シリーズ数学B・C 空間ベクトル p.36 参照）

この原則、言うのは簡単ですが3元連立方程式なので解くのはメンドウ。分数係数だとさらにメンドウ。

そして（３）はこの原則を用いてもう一回交点を出します。さらに図形的意味が分からないとJも計算することになります。なので、ここらあたりで図形的性質を見る必要があります。(詳細は動画参照)

結局、IとJがxz平面に関して対称なので、y座標だけ違うと分かります。あとは、連立したときの係数からCA、CBの1/6倍がCJ、CIに、そしてCHベクトルがその和であることまで気づけば面積はラクに出せます。

また、体積はOABを底面に見て面積比、高さの比を見るのがラクです。4点座標型で体積計算をまともにやるとさらに計算量が増えます。

※KATSUYAはここの最後でタイムアップ(先に6番まで解いている)。第3問の凡ミスによるロスが無ければ、、、、悔やまれます。

第５問【対数関数】条件を満たすｘの範囲（B、20分、Lv.2）

第５問に指数対数が来ました。見た目は文字が多くなんか嫌な感じですが、実はここが記述式では一番簡単。合否を分けたかもですね。

問題文の設定は文字だらけですが、平たく言うと対数値の整数部分をｍ、ｎ、小数部分をαとβにしているだけです。(負の数の場合はこの表現ではよくないですが)

(1)は底を変換して計算するだけです。

(2)は(1)を使うのかはともかく、問題文から直で計算してもOK。底を２に合わせれば、簡単に対数部分が消えると分かります。なので、整数値しかとらないと分かります。そしてαやβは平たく言うと小数部分なので、0以上1未満です。これらから、０，１，２しかありえないことが分かります。

あとは、０、１，２を取るｘが１つでもあることを言っておけばOK。これがないと引かれると思いますが、すぐ見つからないなら、時間によっては減点覚悟で放置でもいいでしょう。

(3)は(2)が出れば楽勝です。(2)のときの１で、(3)の関係式になるようなｍ、ｎを見つけているとラク。

(4)は(3)が出れば直ちに出せます。

※KATSUYAの解答時間は8:19。今年はラクやったけど、なんかKO経済の対数って毎年こんな感じ。いまいち不完全燃焼感が強い。私のチャンネルで紹介する問題の候補に絶対にならないタイプ。

第６問・・・【微積分】3次関数の決定、最大値、定積分（B、25分、Lv.2）

最後は今年も微積分からですが、今年は昨年よりはメンドウになりましたが、難しいわけではなく、計算が無駄に多いだけです。

（１）は条件3つ、未知数もa,b,pの３つ。解けますね。

極大値・極小値は今回はそこまで汚くないですが、極大と極小の検算方法は知っておきましょう。試験日前日の、薬学部の動画でお話ししています！！（第1問(2)のはず）

（２）は定数入り最大・最小系です。といってもどこまでおおげさではなく、定義域は右端だけ動きます。まずはf(0)=17と等しくなるところですが、問題文にいい条件あります。これはうまく設定しています。f(2)=－17なので、これが境目の1つ。あとは|f(4)|が折り返して極小から極大に変わりますので、これも候補。そして|f(5)|が39を超えるかどうかの確認をして場合分けです。計算はムダに多くていやですね＾＾；

なお、f(5)は折り返し前ですが、それが分からなくても39より小さいと分かればOK。

(3)は(2)で得た最大値(ｔの関数)を積分する問題。ただの計算問題です。場合分けした区間ごとに計算します。(2)が出来れば出来ますが、時間だけ持ってかれます。

※KATSUYAの解答時間は12:46です。4番に戻りたい気持ちが強く、方針も瞬時に立つので、さらにギアを上げて解く。そんな中で(3)の計算。いや、（２）まででええやん。計算量を増やすのめてくれ、とか思ってました＾＾；