慶應大学 理工学部 数学 講評|2024年大学入試数学
※動画、画像が読み込まれないときがあります。その場合、画像なら余白を、動画は文字リンクをクリックしてください
●２０２４年大学入試数学評価を書いていきます。今回は慶応大学(理工学部)です。
２０２４年大学入試（私大）シリーズ。
慶応大学(理工学部)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
本学部は動画でも解説しています。こちらも是非見てみて下さい＾＾
★お知らせ★
Principle Pieceシリーズ販売中です＾＾ 原則習得のための参考書です。
YouTubeチャンネルです 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。
Twitter こちらもよろしくお願いいたします＾＾
慶応大学（理工学部）
（試験時間120分、5問、ハイブリッド型）
１．全体総評～穴埋めなら知識で取れるとこも多く易化～
大幅に難化した反動で易化し、2022年ぐらいになったと思います。昨確率やベクトルは昨年はかなり難しかったですが、ことしは確率は拍子抜けレベル、ベクトルもただの計算で慶應理工なら落とせないレベルです。
他の問題は、抽象的で取り組みにくさもあるものの、反面具体的な数値計算がそこまでなく、計算量が少なかったので量としてはかなり軽くなったと思います。
穴埋めを利用してうまくサボれば、時間内に全て終わらせることも可能だったのではないかと思います。
内容的には数IIIが3問と確率、ベクトル、整数はおまけ程度で、慶應理工っぽい出題です。
試験時間120分に対し、標準回答時間は146分【107分】（←穴埋め考慮）去年の穴埋め時間が今年の記述時間。
2023年：200分【144分】（←穴埋め考慮）
2022年：137分【99分】（←穴埋め考慮）
2021年：175分【136分】（←穴埋め考慮）
2020年：173分【120分】（←穴埋め考慮）
2019年：154分【112分】（←穴埋め考慮）
2018年：222分【158分】（←穴埋め考慮）
2017年：200分【135分】（←穴埋め考慮）
2016年：183分【134分】（穴埋め考慮）
2015年：186分【139分】（←穴埋め考慮）
2014年：156分、2013年：180分
２．合格ライン
第１問は(1)はちょろっと整数というか算数。(2)は一部証明。(2)は実はそんなに難しくないが、抽象的で差がつく？
第２問は確率で、講評以来慶應理工で最も簡単かと思われます。(4)(5)は意味を考える必要がありますが、落とせません。
第３問は本セット最難問。題材は絶対値付き定積分の最小値という典型パターンですが、関数が最後まで具体的に与えられず、取り組みにくい。(4)まで行ければ及第点という感じ。(5)(6)は穴埋めなので、実は感覚と知識で瞬殺可能。
第４問は空間ベクトル。去年のような難問はなく、原則をそのまま使うだけで最後まで解答可能。ただ計算量は多いので多少は差がつくかと。
第５問はキー問題。内サイクロイドという典型的な題材ですが、半径が文字のため計算が繁雑になりがち。弧長が出せるかどうかがカギ。これが出せれば最後はサービス問題に近いが、それも原則と演習量に裏付けられた知識が必要なので、差が付きそう。
第2問、第4問は確実におさえる。第1，3，5問で合わせて半分以上は欲しい。70％強ぐらいですかね。
３．各問の難易度
第１問(1)【整数】2024の約数、6乗根（A、8分【5分】、Lv.1）
2024の約数のうち6番目に大きいものと、(問題文にはないが正の？)6乗根に近い整数を求める問題。
6番目という設定はうまいと思います。意外とミスるのではないかと思っています。
ミスに気づくために、相方だけでもいいので全部書き出しましょう。全部で16個なければ、書き漏れがあると分かります。
「ミスをなくす」は人間ですから、ほぼ無理です。「ミスしても気づけるようにする」方法を学びましょう。そういった部分を、動画でもふんだんにお伝えしています。
6乗根は、３と４の間にあることはすぐにわかると思いますので、3.5の6乗と2024の大小比較ですね。まともに計算しても大して時間はかからないと思います。
☆第１問(2)【数列の極限】一般項不明の漸化式の極限（B、20分、Lv.2）
記述式です。具体的に与えられていない関数f(x)を用いた漸化式で定義される数列の極限を求めます。抽象的でやりにくく、差がついたかもしれませんが、出来れば欲しい。
（１）は問題文からも帰納法が思いついてほしいところ。
（詳細は拙著シリーズ 数学B・C 数列 p.66 参照）
抽象的ですが、2以下であれば不等式を利用できますので、それを利用すれば簡単に示せます。
（２）はタイトル通り一般項不明の漸化式の極限ですから(←このタイプだと思えることがポイント)、こちらの原則ですね。
（詳細は拙著シリーズ 数学III 極限 p.59 参照）
２－a_(n+1)を評価すると、(1)によって2以下なのでf(a_n)のところで不等式が使えます。それを使うだけでこちらも簡単に等比数列的不等式が作れます。
抽象的ではありますが、原則にがっつりあてはまるパターン問題の部類でした。むしろ抽象的なおかげで、計算量は少ないですね。
※KATSUYAの解答時間は順に2:16、9:04です。6乗は(12+1/4)^3として3乗展開公式利用。(2)は最初抽象的でやはり「ん？」となったが、原則に忠実に従うだけで行けたので安心。
第２問【確率】コインの裏表(HとT)、結果からコインが分かる確率（B、18分【10分】、Lv.２）
昨年は2023年全体の入試の中でもトップクラスの難易度と思われる確率でしたが、今年はかなりラクになりました。調査以来最易問なのではと思います。
(1)はタイプⅠが出れば確定、タイプⅢが出れば半々です。
(2)は条件付き確率なのでもちろんこの原則。「条件の下で」とか書いてますが、「とき」ってことです。
（詳細は拙著シリーズ 数学A 確率 p.27 参照）
また、今回は工場の不良品パターンと同じで、分母を計算しているときに分子の項は出ているパターンですね。これも普段から意識していると速いでしょう。
（詳細は拙著シリーズ 数学A 確率 p.36 参照）
(3)も上と全く同じ原則に従うだけ。
(4)(5)は、「結果からタイプが分かる」の意味ですが、さすがに分かると思います。HもTも出ればタイプⅢと分かりますよね。それさえ押さえれば全部解けるでしょう。
(5)は逆にHばっかりかTばっかりが出る場合です。コインのタイプごとに計算するといいでしょう。
※KATSUYAの解答時間は5:53です。間違えて印刷した？慶應理工の確率やんなこれ？ぐらい思ってました。去年よりはおさえてくるとは思ったけど、さすがに簡単すぎる。。。
☆第３問【微積分総合】絶対値付き定積分の最小値（C、40分【32分】、Lv.３）
絶対値付き定積分関数についてその最小値を求める問題。タイトルを見る限りは典型パターンですが、関数が抽象的でかなりやりにくかったのではないかと思います。逆に、演習をとおして1段階上の目線で考えられていると計算量は少なく、ラク。
関数は抽象的ですが、従う原則は変わりません。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 積分法 p.42,p.49 数学III 積分法(数式編) p.58参照）
問題文で丁寧に分けてくれています。(1)は区間で符号が一定のときです。
(2)は区間で符号が変わる場合の準備。まず、符号が変わるなら1回であることを示します。f(x)は不明なので解が正確にわかるわけもない。で、範囲を聞かれている。中間値の定理ですね。
（詳細は拙著シリーズ 数学III 極限 p.55参照）
注意が必要なのは、f(x)は微分可能とは限らないことです。ですので、条件にある「単調減少である」を素直に用いましょう。また、考えている範囲ではaが正であることも一言必要。問題文にａに関する条件はありませんので。
(3)は(2)のおかげで交点１つとわかりましたので、その交点をｔとして計算してねという問題。区間を分けて慎重に計算しましょう。式の形もある程度与えられていますし、そんなに難しくはないと思います。ａを「ケ」の形にするのを忘れずに。
(4)から難しめですが、形から平均値の定理を思いついてほしいところ。Ｆ(ｘ)なら微分可能で、導関数はf(x)に戻ります。xとt0の大小で比べるといいでしょう。似たような方法の証明問題が、去年も慶應理工で出てます。
(5)はちゃんと記述するなら意外とメンドウです。ｆ(ｘ)が共通で正なので割り、2(x-t0)+p(x)≧0が成立する条件ですが、2回微分した関数の増減やその手前の符号変化、それがいつになるかなどを議論することで出ますが、感覚的にはグラフを書けばほぼ明らかです。(動画を参照してください)
(6)は(4)(5)を利用することで出最小値を求めます。ｐ(t)として、t_0=√5とすれば、(3)のq(t)が当てはまることを用いると、交点t=t_0のときに最小になると分かります。こちらも真面目にやるとまあまあメンドウですが、裏技ならはみだし削り法(拙著では微小面積増減法)で一発です。
※KATSUYAの解答時間は21:30です。最後はがっつりさぼりらせてもらいました。最後が知識やテクニックで解けると大きい。
第４問【空間ベクトル】面積、体積、共有点条件など（Ｂ、30分【20分】、Lv.１）
平行六面体を題材にした問題ですが、こちらも昨年のベクトルに比べると難易度はかなり下がりました。ただ計算量は多めなので、ある程度の差はつくでしょう。
問題文に図もあり、そして基準３ベクトルの長さと内積3種、計6種がなんと与えられています。空間ではこれらが出ていれば、あとは計算を頑張るだけです。
（詳細は拙著シリーズ 数学B・C 空間ベクトル p.36 参照）
(1) すでに準備万端なので計算するだけです。垂線のベクトルもこちらの原則に従うだけ。
（詳細は拙著シリーズ 数学B・C 空間ベクトル p.39 参照）
これでCHベクトルも出ます。高さも出るので、体積も出せますね。
（２）は新たに3点加わりますが、平行六面体の辺上の点なので、表すのも簡単。ｔが入っていますが、コツコツ計算するだけです。
（３）は基本6量すら使わないパターン（内積が絡まないパターン）です。共有点条件の問題は、ベクトルの係数だけで議論していますよね。IJKを通る平面上の点を2文字で、DE上の点を1文字設定するし、基準ベクトルの係数を比較するだけ。
（詳細は拙著シリーズ 数学B・C 空間ベクトル p.39 参照）
「ｔ」は既に使われているので、ｔ以外の3文字で表し、その連立方程式です。ｔは定数扱いなのでちょっと計算しづらいですね。あとは辺上にある条件として、DE上で設定した文字が0以上1以下とすればOKです。
KATSUYAの解答時間は14:58。ベクトルもだいぶマシになったかな。計算だけだわ。
☆第５問【積分法(グラフ)+極限】内サイクロイドと弧長、極限（BC、35分【24分】、Lv.２）
最後は積分の応用からで、題材的には内サイクロイドという極めて典型的なものですが、小円の半径が文字なので少ししんどかったかもしれません。
文字になってもやることは同じです。サイクロイド系はこちらの原則に従って軌跡を知りたい点の媒介変数表示をします。
（詳細は拙著シリーズ 数学B・C 式と曲線 p.87 参照）
こちらも問題文の形がそれを示唆していますし、図も書いてあって、等しい長さのところが太線なってます。今年の慶應理工、えらい親切ですね＾＾； これで（２）までは出来ます。
（３）は（２）の点を見て媒介変数表示型の弧長を求めます。弧長の公式にあてはめるだけですが、文字ｒがつきまとうので繁雑になりがちですね。
整理した式は、根号内に１－cosθの形を含みます。これは原則ですね。
（詳細は拙著シリーズ 数学III 積分法(グラフ編) p.43 参照）
ここまでありつければ、あとは積分するだけです。なおアステロイドの弧長の結果を知っていると検算可能。ちょっとセコすぎる？
（４）は極限です。ちょっと思いつきにくい原則ですが、２πｒ進むごとに8r(1-r)進みます。このようにキリのいいところであれば分かりやすい増え方をする場合は、切りのいいところでハサミうちするんでしたね。
（詳細は拙著シリーズ 数学III 極限 p.60 参照）
※KATSUYAの解答時間は16:18です。なんか、今年は最後にテクニックで行けてしまう問題が多いからか、簡単に感じるな＾＾；最後は証明しなさいとかにしてもよさそう。
４．対策～質の高い演習に加え、計算力の強化を～
標準問題を素早く解くには、入試の頻出パターンをなるべく早い段階で習得する必要があります。原則習得用の参考書のIAIIBは高２中に出来ればマスターし、入試基礎演習レベルまではある程度こなしたい。分野的には、「微積分」に加え、最近影を潜めていますが「確率と漸化式」も要注意。確率については、ここ最近はシグマ計算をさせて出すものも、KO理工ではよく見ます。
また、IIIの方も教科書やワークの学習は高２中に、高３の夏までにはチャートが一通り終了していないと、このレベルに対応できません。受験者層を考えると、高２までにIIIを終えている高校も多くあります。
学校の進度が遅いような場合は、自分でやりましょう。初習用の参考書を１つ用意し、その参考書をベースに単元ごとに習得し、１単元終わったらそこを原則習得用の問題集で学習します。学校で先に教科書が配られているなら、ガイドを買えばOK。
なお、拙著『Principle Piece』シリーズであれば、初習段階、原則習得段階はもちろん、入試基礎演習まで１冊で済ませられます＾＾
また、原則習得が終わったら、入試演習段階に入りましょう。本学部の数学で点数をしっかり取るには、最終段階としては仕上げレベルまで必要です。こちらを解く際にも、本番の穴埋めのようにスピードを上げて解きましょう。
計算量が多い問題もよく出ます。多少拙いやり方で計算量が増えても、ゴリ押しする能力も必要です。
KO医学部の問題も形式が似ていますし、出題内容も似ています(確率、2021年の円絡みなど)。理工より少し難しいですが、余裕があれば医学部の過去問も解いておきたいですね。
量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいですね。
以上です＾＾
■関連する拙著『Principle Pieceシリーズ』(リニューアル版！)■
数学A Chapter２～確率～ (第２問)
数学A Chapter３～整数～ (第１問(１))
数学B・C Chapter１～数列～ (第１問(2))
数学B・C Chapter３B～空間ベクトル～ (第４問)
数学III Chapter２～極限～ (第１問(2)、第5問)
数学III Chapter５～積分法(数式編)～ (第３問)
数学III Chapter６～積分法(グラフ編)～ (第５問)
今年も、数Ⅱはほぼ出ずですねぇ。。
すでに原則系の参考書を持っている方にはこちらがおススメ！！
※2023年末時点で販売中のもののみ記載しています。最新販売情報はこちらからどうぞ＾＾
■他年度の、本大学の入試数学■
＞＞ 2010年度
＞＞ 2012年度
＞＞ 2013年度
＞＞ 2014年度
＞＞ 2015年度
＞＞ 2016年度
＞＞ 2017年度
＞＞ 2018年度
＞＞ 2019年度
＞＞ 2020年度
＞＞ 2021年度
＞＞ 2022年度
＞＞ 2023年度
★お知らせ★
Principle Pieceシリーズ販売中です＾＾ 原則習得のための参考書です。
YouTubeチャンネルです 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。
Twitter こちらもよろしくお願いいたします＾＾
