慶應大学 経済学部 講評| 2022年大学入試数学

      2022/05/29

●2022年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は慶応大学(経済学部A方式)です。 


2022年大学入試(私大)シリーズ。

慶応大学(経済学部A方式)です。



問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。



★お知らせ★

Twitter始めました こちらもよろしくお願いいたします^^

Principle Pieceシリーズの販売を再開しました^^ 原則習得のための参考書です。

YouTube開設しました。 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を動画にしてみようと思います。




慶応大学(経済学部A方式)
(試験時間80分、6問、ハイブリッド型)

1.全体総評~高止まり傾向が続く~

2020,2021年の難易度が踏襲されたままで、相変わらず非常にキツイセットです。

難問奇問があるわけでもないのですが、かといって良問というわけでもなく、とにかく計算量が多いセットで、個人としてはあまりいい印象を受けません。

特に第3問など、明らかに意図的に計算量を増やしに来ている問題もありますし、第4問や第6問のように結果の繁雑な問題も計算時間をもってかれます。さすがに80分という制限時間に対して、このセットはオーバーワークです。

※私は、2020年に続き、80分で解けませんでした。



試験時間80分に対し、
標準回答時間は185分【164分】(←穴埋め考慮)

2021年:185分【154分】(←穴埋め考慮)

2020年:195分【169分】(←穴埋め考慮)

2019年:128分【108分】(←穴埋め考慮)

2018年:165分【141分】(←穴埋め考慮)

2017年:160分【133分】(←穴埋め考慮)

2016年:170分【147分】(←穴埋め考慮)

2015年:130分【103分】(←穴埋め考慮)

2.合格ライン~前半の合否ラインを意識しつつ、後半へ~

第1問はキー問題。発想力よりの問題で、出来ないと(1)どまり。規則が分かれば最後まで行けるか。
第2問の数列は調査すれば規則はつかみやすい。数値は若干煩雑だが、全体のセットを考えるとかわいい方なのでここでとるしかない。(記述なら書きにくい問題)
第3問のデータは難しくはないが、計算で時間をごっそり持ってかれる。第1問でダメなら、ここで稼がないと合否ラインに引っかかるので、頑張るしかない。第1、2問ができていたら分散や共分散なんか一旦捨ててもいいぐらい。
第4問の空間ベクトルも、やることはいたって典型パターンだが、数値が汚くやはり計算に時間を持ってかれる。計算を合わせられたかどうか。
第5問はキー問題。y=の式に変形できれば、あることは見えるはずだが、変形をミスると全滅。
第6問も面積の計算がまあまあメンドウで、さらに2等分はあることに気づかないとさらにメンドウ。

前半3問のうち第2問はとって、第1問で無理なら時間をかけて第3問を取りに行く。後半は第4問、第6問は時間次第。第5問がとれれば、あと1問とれればOK。第5問で無理だと、急いで第4問と第6問の計算をすることになります。

数学については55%ぐらい取れればいい方ではないでしょうか・・・

 

☆第1問 【図形と式】円に外接する四角形(B、30分【20分】、Lv.2)

今年も第1問は図形と式で、円絡みの問題です。受KO経済の前半には、円絡みの図形と式が入ることが多いです。今年は発想寄りの問題でした。

設定だけでは何をしていいかよくわからなかったかもですが、円や接線(4辺が接線です)が絡む場合は、中心から接点に線を引いておくことです。

(1)の90°と合わせると、AのところやCのところに正方形ができます。特にADBの中にOAを対角線とする正方形が見えると思います。これに気づけば、ほぼすべて解けます。

直角三角形の中に正方形が書かれている問題では、相似を利用するのが原則です(数学というより、算数の原則かな^^;)。AD=1+x、AB=1+yとでもおけば、x:1=1:yとなります。xy=1が導かれ、これで全部解けます。

(2)はx=2/3なのでy=3/2です。tanθについては、θ/2の半角なら出ますので、倍角利用です。

(3)も、対角が直角なので直角三角形2つになり、面積が(1+x)(1+y)=6と出ます。xy=1と合わせれば、簡単に連立できます。なお、θが鋭角というのは、xよりyの方が大きいということです。同じようにtanθ/2を出すと1/2+√3=2-√3となりますが、KO数学を受験するなら、これで15°だと分かっておいた方がいいでしょう。

このくそ忙しいセットで、わざわざ倍角なんてやってられません。

※KATSUYAの解答時間は12:19です。接点を引いた後、直角三角形内の正方形が見えるまでに少しかかった。ここで算数が生きるとは^^;

 

第2問 【数列】(B、30分【20分】、Lv.2)

今年は第3問ではなく、ここに数列で、絶対値の入った漸化式の問題です。た記述だと非常に書きづらい問題ですが、穴埋めであればなんとか埋められるのではないでしょうか。

(1)、(2)は絶対値の中身の符号に気を付けてあてはめるだけです。ここは落とせません。

(3)は明らかに意味深な初項が与えられています。数列の項nは自然数です。自然数n絡みは、とにかく試してみることです。2,3個でも試せば、簡単に規則が予測できるはずです(記述だと帰納法なりで証明が必要)

m=13と答えた人もいるかもしれませんが、2/3のn乗の部分は、奇偶数でプラスマイナスが入れ替わります。m=13は2-9/4ではなく、2+9/4になるので、まだ正。次のm=14で負となります。

(4)も、正確には(2)を用いて帰納法となりますが、規則的にm=14以上なら、奇数項が正、偶数項が負だと予測できるでしょう。(きちんと証明するなら帰納法) これで漸化式を2回変形しましょう。出来た漸化式は4型なので、特性方程式を作って等比型に帰着ですね。

漸化式も係数は結構汚く、時間はもってかれます。

※KATSUYAの解答時間は12:00です。漸化式の係数やら特性方程式の解やら、分数多くて嫌な感じ。なので検算までやりました。

 

第3問 【2次関数+データ分析+確率+積分】カードに書かれた関数(B、35分【24分】、Lv.2)

今年の第3問は4分野融合の問題で、データ分析がメインです。融合ではありますが、とにかく計算だけがメンドウで、はっきり言ってあまりいい問題ではありません。志望者でもない限り、解く必要のない問題です。

(1)は関数の平均値を出すだけです。係数的には調整されており、まだマシな方。

(2)からはやる気が失せます。まず、定積分の値計算させられ、平均だけならまだしも、分散はただ計算が多いだけです。なお、平均値は、(1)で出した関数を0から1まで積分すればでます。

こうやって平均値だけならうまく計算できるのですが、分散まで計算するなら、結局おのおのの値が必要で、さすがにこれは無駄な作業をさせられている印象です。極めつけは共分散。80分という時間を考えるなら、捨てていいでしょう。

そして最後の確率ですが、これもまたいやらしい。試験会場でこんなセットを解かされて慌てている受験生のうち何人が、46/81と答えてしまったかと。確率で使うのはその回数ではなく、最初の枚数です。非常に引っかかりやすい配置で、慌てている受験生を煽っているとしか思えません。ケタもあってしまいますし、引っかかった人は多いでしょう。

そもそも枚数の情報は問題文の一番最初に書かれているにも関わらず、今まで全く使っていません。聞くなら(1)で最初に聞くべきです。(だとしたら簡単すぎますが)

計算量の多さ、ひっかけ方といい、いろいろな意味で個人的にはとても悪い印象を受けました。

※KATSUYAの解答時間は11:01です。ただの計算練習。ケタがあってるから多分大丈夫。

 

☆第4問 【空間ベクトル】面積、同一平面条件、体積など(BC、30分、Lv.3)

今年は第4問が空間ベクトルです。4点座標型で三角形の面積や四面体の体積など、やることは典型的です。しかしこちらも途中の計算が汚く、出るので、不安になりそうで時間を持ってかれます。空間ベクトルでは係数にある程度分数が出るのは仕方ないですが、それでも繁雑な方ですね。最後の(4)は発想が必要で、思いつかなければ捨ててOKです。(なので、Lv.3としています)

(1)は面積公式にあてはめるだけです。

(2)は同一平面上で、Oが入っているので、そのままO始点で実数倍表記(OC=pOA+qOB)で置いて連立するのがいいでしょう。p、q、tが未知数で各成分で方程式も3個なので、連立方程式で解けます。

(3)はt=ー3とすぐに出ます。あとは4点座標型の四面体の体積です。OABの面積を出しているので、CからOABに垂線CHを引くのがいいでしょう。

点から平面に下した垂線については、①Hが平面上にあることを式にする(係数s、t) ②CHがOA、OBの両方に垂直であることを式にする。 

これでs、tの連立ですね。連立解は汚く、不安になる数値です。CHの高さもまあまあ汚いですが、最終的には体積は比較的きれいになります。

(4)は計算はあまりいらなく、発想の問題。平面上にあるときのtの値(t=1/7)が(2)で、(3)ではxy平面上にあるときの値(t=ー3)が出ています。

この2つのtの値の差は22/7です。この3倍分だけ、平面上のときから進めば、高さは3倍になるはずですから、1/7±66/7が答えとなります。

記述だと書きにくいですが、xy平面と平面OABを適当に書き、両方を貫く直線(Cは文字1つなので、1次元の直線上を動きます)を書いて、説明するといいでしょう。

※KATSUYAの解答時間は19:30です。係数が汚すぎて不安でやり直したらやっぱり違った。答え変わったけどまだ汚くて3回ぐらい見直しました。データといい、計算が多すぎませんかね^^;

 

第5問 【指数・対数+2次関数】指数・対数方程式、格子点の個数、2次関数の最大値(BC、30分、Lv.3)

今年は第5問に指数・対数が来ました。第4問の空間ベクトルと入れ替わり。だいたい、どっちかがどっちかです。

指数・対数は最初だけですが、最初の式変形がまあまあメンドウなのと、ここがあってないとこの後全滅なので、慎重に式変形したいところです。本セットで、唯一、質・量のバランスが取れた問題だと思います。

(1)は対数を式変形してくれ、ということです。ごつそうに見えますが、やることはいつも通りです。まずは底をそろえることから。右辺は揃えましょう。

底がそろったら、logの前についている係数を真数の肩にのっけますて係数をすべて1にして、あとは真数を掛け算すれば左辺もlog2の単項式になります。logの足し引きは、まとめて1項にするんでしたね。

(2)は(1)ができれば丁寧にグラフを書いて、格子点を数えましょう。m+nが正→x+y>0上と考えればOK。この直線上の点は含まれないので注意。意外とここに時間を持ってかれます。

(3)はただの最大・最小の問題です。軸も範囲も決まってますが、2次の係数の正負が異なる可能性があるので、それで場合分けですね。負なら軸で最大、正なら軸から遠いほうが最大です。

※KATSUYAの解答時間は16:45です。格子点の記述が実は一番メンドウ。

 

第6問・・・【微積分】絶対値付き定積分関数、接線、面積の2等分(BC、30分、Lv.2)

最後は今年も微積分からですが、今年は珍しく3次関数ではありませんでした。KO経済にしてはかなり珍しく、題材的にはパターンですが、虚を突かれた受験生もいそうです。

(1)の絶対値付き定積分関数については、絶対値の中身=0となるt=1と、区間0、x+1の大小で場合分けをします。1とx+1の大小の境目であるx=0が場合分けの境目ですね。積分計算自体は比較的楽です。

(2)グラフは3次関数のように、場合分けの境目である原点に関して点対称なグラフになります。接線はすぐに出せるでしょうから、残りの交点も出せます。この交点がまたまたきれいではなく、したがって面積計算に時間を持ってかれます。最後まで何かと時間を持ってかれるセットでしたね。

さらに2等分まで聞いていますが、これはあることに気づけば楽勝です。先ほど述べたように原点に関して対称なので、右下のでっぱりを左上のヘコみに移動すれば、領域の下側は三角形になりますので、あとは高さから座標も分かりますね。

 

※KATSUYAの解答時間は14:59です。2020年引き続き終わらず。交点が汚かった瞬間、時間内終了をあきらめました。面積の計算が終わる直前で80分経ちました。計算力不足もあるが、第3問のような計算はいかがなものかと^^;

 

4.対策~IIB中心に、計算力上げつつパターン問題を素早く解く練習を~

分野はある程度固定で、前半が図形と式、確率、数列、後半が指数対数か三角、空間ベクトル、微積分です。特に後半は結構固定のことが多いですね。今年はデータが出ましたが、基本的な公式を抑えて、あとはひたすら計算するだけなので、データの対策というよりは計算力を上げる方が優先でしょう。

図形問題は融合が多く、図形的な考察が途中で必要な問題も多いので、単なる数式処理で出来るものではなく、総合的な図形問題に触れておきましょう。青チャートできちんと演習を積んでおけば、大丈夫です。有名なパターン問題はそのまま自分のものにいしていきましょう。

レベル的には入試標準レベルの演習まで行い、過去問を多めに演習しましょう。

量をこなす演習:じっくり演習=8:2ぐらいで、直前には7:3(今年レベルなら6:4)にしたいですね。

以上です^^

 

■他年度の、本大学の入試数学■

>> 2010年度

>> 2015年度

>> 2016年度

>> 2017年度

>> 2018年度

>> 2019年度

>> 2020年度

>> 2021年度

 

★お知らせ★

Twitter始めました こちらもよろしくお願いいたします^^

Principle Pieceシリーズの販売を再開しました^^ 原則習得のための参考書です。

YouTube開設しました。 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を動画にしてみようと思います。

 - 2022年度大学入試数学 , , , , , , ,