九州大学 理系 | 2017年度大学入試数学

   

●2017年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は九州大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2017年 大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

 

2017年大学入試(国公立)シリーズ。
九州大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。





また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





九州大学(理系)
(試験時間150分、5問、記述式)

1.全体総評~「いつもの九大理系」に戻りやや難化~

昨年にはあまり九大独特の癖が現われず、パターン問題で易しめでしたが、今年はその癖がまた垣間見えており、やや難化して戻りました。全体的に煩雑、というより数字の大きい計算をする問題が多く、計算に苦しめられる部分も結構あります。計算、レベルともにましなのは第1問の微積ぐらいでしょう。





試験時間150分に対し、
標準回答時間は145分。

(過去7年平均:139分)

2016年:130分
2015年:140分
2014年:150分
2013年:135分
2012年:160分
2011年:130分
2010年:125分

今年は適量です。これが例年並みと思っておいた方がいいでしょう。


2.合格ライン

第1問は数学IIIの微積だが、パターン問題。計算も普通よりちょい少なめ。おさえたい。

第2問は空間ベクトルだが、文字が多く処理力勝負。(1)は欲しい。

第3問は(2)までは確保したい。(3)は地道な泥臭さが必要で、時間がかなりかかる。

第4問は確率と漸化式だが、少し特殊で演習量で最初から差が付きそう。

第5問は複素数平面。(1)と(2)はおさえたい。(3)がこれまた精密な調査が必要。

 

第2問~第5問はどれもキー問題で適度に差が付きそうです。1完4半では厳しいので、なんとかどれかは完答して65%ぐらい取りたいところです。




3.各問の難易度

☆第1問・・・【微積分総合】2曲線が直交する条件、面積(B,20分、Lv2)

微積分総合問題で、2曲線が交点で直交する(接線が直交するということです)パターンです。2曲線が接するときの条件と同じように式を2つ立てられます。文字(接点)を一つ置けます。

 

 ULTIMATE Principle Piece 

 2曲線が接する f(t)=g(t) 、f'(t)=g'(t)

本問は直交なので、2式目をf’(t)g’(t)=-1とすればOK。連立で両方出せます。(3)は交点をpのまま残して積分します。欲しいのはpではなく、cospやcos2pです。

Principle Piece III-73

 交点が求まらないなら文字でおき、それが満たす方程式を用意

(拙著シリーズ(白) 数学III 積分法の応用 p.22)

※KATSUYAの解いた感想
今年も第1問から微積か。でもパターン問題で、グラフも単純なのでそんなに難しくないかな。直交条件、交点の扱いともに原則に従って終了。解答時間9分。

 

第2問・・・【空間ベクトル】垂線の交点、なす角(B、25分、Lv.1)

空間上における点から直線への垂線を2つ引き、そのなす角を求める問題。文字が付きまとうので、処理力勝負です。

(1)のG,(2)のHはともにこちらの原則で解決可能。

Principle Piece B-58

 空間における点から直線への垂線

[1] 直線上にあることから1-t,tの係数

[2] 垂直から内積ゼロの式でtを求める

(拙著シリーズ(白) 数学III 積分法の応用 p.79-80)

 

これでG,Hともに座標を出すことは出来ますが、文字が多く、最後のなす角のcosの計算は苦戦を強い得られたかもしれません。しばらくはわざとs、tで置いておき、しかるべきところで答えの式を代入すると計算量が比較的少なくて済みます。

 

※KATSUYAの解いた感想
空間ベクトルか。垂線の足出すだけやから原則に従えば出来るな。文字あるけど、原則は変わらない。(2)でHも出すのか。係数を見る限りは対称な気がする。AGとBHは同じ長さやから√とれるのか。思ったよりきれいになって終了。解答時間12分。

第3問・・・【数列+整数】等差数列の積と7の因数(C、35分、Lv.2)

等差数列が7で割れるかどうか、49で割れるかどうかなどを題材にした問題で、最終的に掛け算したときの7の素因数の個数を聞いてきます。同志社でも似たようなものが穴埋めでありましたが、こちらの方が難しいです。

(1)、(2)はいいでしょう。4n-3=7K、49K とでもおき、1次不定方程式の一般解として出せばOKです。


Principle Piece A-62

 ax+by=kの整数解 具体例を見つける

(拙著シリーズ(白) 数学A 整数 p.40)

 

(3)は曲者で、7の素因数が45個というのがまた意地悪です。この中には、7、49の倍数だけでなく343の倍数も入っているかもしれません。初めて343の倍数になるのは258項目ですが、ここまでかけると7の素因数が44個あることを、地道に求める必要があります。あと1個なので、次の7の倍数になるまでですね。

343の倍数まで頭は回ったと思いますが、4n-3=343K などは慣れていないと1解求めるのも苦労する可能性があります。さらに、ここまでに何個あるかを調べようとは、なかなか思いにくいですね。

なお、どの方程式もK=0,1,2,3の中に1解は必ずあることを利用すると、具体例はすぐに出せます。

※KATSUYAの解いた感想
ざっくり見わたす。(1)、(2)は最初を見つけて7おき、49おきのはずやな。不定方程式の原則にしたがって終了。(3)はメンドウそう。45個やったら343の倍数来る前かなー。と思い、257項目までに何個あるかを調べる。微妙に足らん^^; 343の倍数またぐのね。258項目で44個。あと1個やから7項先ね。 解答時間17分。

 

☆第4問・・・【確率+数列】確率と漸化式(BC、30分、Lv.2)

確率と漸化式のパターンの問題ですが、普段とちょっと違うタイプで、少し慎重になる必要があります。

(1)は反復試行で出して欲しいのでしょうが、どうせ(2)で使うので、先に遷移図を書いておいたほうが良かったと思います。

 

Principle Piece A-41

n回目とn+1回目を詳しく見る

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39-43)

普段はこちらも必要ですが、本問は全ておいてくれていますので、自分で置く必要はありません。

 Principle Piece A-42

 必要のない部分も文字で置いてみる

(拙著シリーズ(白) 数学A 整数 p.39-43)


(1)はこれでa_4、a_7まで泥臭く計算してもなんとかなります。私はこっちでやりました。2の累乗を暗記している人には。そんなに大変な計算ではありません。最後に1/2かける(赤玉を引いて勝つ確率)のを忘れないように。

(2)は遷移図で作った漸化式を足せば見えます。なお、足しても1ではありませんので注意。(3)は漸化式をひたすら使って添字を下げていけば出ます。その際、a_n+b_n+c_nなどがあったら、d_nと変えて一般項に変えていきましょう。

 

※KATSUYAの解いた感想
漸化式パターンかなこれは。(1)はだいたい具体例やけど、7回目やろ?先に作って地道に計算してしまおう。分母おっきいな^^;(2)の方が辺ぺん足すだけで楽チン^^ (3)はn+1とn-2の関係ね。たしかにa7まで見る限り、3おきに何かありそう。漸化式をひたすら使えばいけるやろと判断。a+b+c=dにして減らしていけばいけそうやな。解答時間16分。

☆第5問・・・【複素数平面】点列、三角形の内部に入る条件(BC、35分、Lv.2)

昨年に引き続き、5番が複素数平面の問題です。昨年は数式主体でしたが、今年は図形主体で、昨年同様に骨のある問題です。なお、常用対数をどこで使うのかイマイチよくわかりませんが、累乗の知識と √2>1.4があれば十分です。

(1)はα、wを極形式にしてド・モアブルの定理を使えばOKです。αの絶対値は10000√2です。√2を忘れると全滅なので注意。

(2)は(1)の絶対値が1を下回るのがいつか、です。いろいろ整理すると、結局625と512√2の大小が問題となります。ここで常用対数を使うのでしょうが、大げさ。√2>1.4で、後者の方が大きいとすぐに分かります。

(3)は今度は(2)を利用します。絶対値が1より大きいと三角形の周または外に出ていまいますので、n=14以降です。あとは14から地道に場所を調べましょう。n=14の絶対値はOCより長いため、ACをはさんで外に出てしまいます。

n=15の場合、偏角が135°の位置なので、OからACに降した垂線の長さ(1/2です)より短いかどうかです。こちらの評価の際にも、625<512√2 を用いるとベンリです。


※KATSUYAの解いた感想
お、今年も複素数平面が5番。今年は図形か。(1)はただ出すだけ。(2)は評価すればいいか。なんか、今年の国公立、ちょっとした評価系統が多い気がするな。常用対数はここで使うんかな?まいいや、普通に評価してしまおう。(3)はn=14から調べればいいかな。14はアウト、15はOKでちょうどいいな。解答時間17分。

 

4.対策

頻出分野は、微積分、確率、整数ですが、融合されていることが多いため、バランスが取れた出題と言えます。

標準的な問題が「確実」にこなせていれば、合格点は望めそうです。青チャートレベルの例題はしっかりマスターしましょう。公式の証明がたまに出ますので、基本から隅々まで見ておきましょう。

入試標準レベルまでこなしたら、過去問演習を行いましょう。九大の問題は独特な印象を受けますので、過去問を多く演習して、自分の中で傾向を掴んでいきましょう。単科長年タイプのものが効果的です。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^

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■関連する拙著シリーズ■

★ 数学A 確率 (第4問)

★ 数学A 整数 (第3問)

★ 数学A 平面図形 (第2問)

★ 数学B ベクトル (第2問)

★ 数学B 数列 (第3問、第4問)

★ 数学III 微分法の応用 (第1問)

★ 数学III 積分法の応用 (第1問)

★ 数学III 複素数平面 (第5問)

1番、2番、5番は昨年と同じ分野でしたね。

 

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