九州大学理系 | 2016年度大学入試数学

2016/02/27 2017/02/25

●２０１６年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は九州大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１６年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０１６年大学入試（国公立）シリーズ。
九州大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

九州大学（理系）
（試験時間150分、5問、記述式）

１．全体総評～九大特有の癖が抜け、やや易化～

難易度は、昨年よりやや易化。整数問題がアプローチしやすくなり、九大独特の、「典型タイプとちょっと違う」感じがせず、例年よりときやすかったと思います。それでも、第２問などは計算が辛く、第３問、第５問など、誘導が誘導にならない問題もあり、混乱しそう。試験としては十分です。

試験時間150分に対し、
標準回答時間は130分。
2015年：140分
2014年：150分
2013年：135分
2012年：160分
2011年：130分
2010年：125分

今年は少し時間に余裕がありそうです＾＾

２．合格ライン

第１問は数学IIIだが、誘導もまともで最も堅実。確保したい。時間は十分にある。
第２問は題材は簡単だが、計算量がかなり多い。計算力勝負でキー問題。
第３問の確率は漸化式タイプではかなり簡単。惑わされずに抑えて欲しい。
第４問の整数問題は昨年よりかなりラクなので、ここは絶対確保。
第５問はキー問題。誘導関係なく、独立に解く方がラク。迷いすぎると×。

第１、３、４を抑えて、キー問題でさらに上乗せしたいです。７０％ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問・・・【微積分総合】不等式の証明、面積、極限（B,30分、Lv２）

微積分総合問題です。（１）で不等式、（２）で面積、（３）で積分です。（１）はａの値はすぐに出ます。nを一旦xにし、x≧１における関数とみなせばOK。微分すれば正になりますので、割と楽です＾＾

（２）は面積を計算するだけ。「Tnは６分の公式」が使えます。（３）はnｌｏｇｎという値が一番影響を及ぼしそうですから、それで分子分母を割るといいでしょう。

Principle Piece II-112

放物線と直線は「6分の公式」で

（拙著シリーズ(白) 数学II 積分 p.29）

※KATSUYAの解いた感想
第１問から微積か。「ａ」はすぐでる。グラフ的にはａ＞１は当たり前な気がするが、xに置き換えて微分かな。（２）はコツコツ積分。あんま計算量ないな。Tnはサービスか＾＾；（３）もそのまま終了。解答時間15分。

第２問・・・【平面図形】三角形と線分、面積比（B、30分、Lv.１）

チェバ、メネラウスの定理の利用のオンパレードのような問題。（１）では３線が交わりますのでチェバの定理です。

（２）以降は交わりませんので、メネラウスです。ただひたすら使い続けるだけなのですが、点がかなり多い上に文字「t」を含みます。k、lなども入っている時にはかなり慎重に行わないと、点や文字計算を１つでも間違えるとアウトです。その意味で、決して簡単な問題ではありません。

（４）でPQRの面積まで聞いてきますので、計算自体はかなり多いですね＾＾；

なお、この問題は文理共通ですが、どちらも完答率がかなり低いと思われます。

※KATSUYAの解いた感想
問題文からして、ベクトル？いや、こんだけ線引くんなら平面幾何でやったほうが早いな。（１）を見て、「あ、平面幾何の流れだな」と思い、チェバ、メネラウスの利用に徹することにする。（２）の「k」を間違えたまま（３）、（４）まで行く。検算で、（１）のｔ＝t０なら（４）は０のはずなのに、因数分解できず。「おかしいな＾＾；」どこで狂った？ｔ＝t０を入れてつじつまが合わないところを探す。（２）の「k」でミス発見。ここかよ！頭から見直せばよかった。かなりロスだわ。解答時間17分。

第３問・・・【確率＋数列】確率と漸化式（B、20分、Lv.２）

九大も確率と漸化式を持ってきましたが、今年の旧７帝国大の中では、最もラクだと思われます。とはいえ、考え方などは慣れていないと難しく、（１）、（２）で気づかせたいのでしょうが、（２）は少し数えるのもしんどいので、ミスる可能性もあり。

（３）で漸化式をうまく立てれれば、（２）も修正できますので、満点とれそうですけどね＾＾；

何はともあれ、今回は２点セットの原則でいけそうです。「P0」と「P0以外」と置けたら、こっちの勝ちです＾＾

Principle Piece A-40

n回目とn＋1回目を詳しく見る

（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39～44）

Principle Piece A-41

必要のない部分もqnとおいてみる

（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39～44）

P1～P5に止まる場合を１－pn（＝qn）で設定します。P０にいる場合は６が、P1～P5にいる場合は、１～５のどれか１つが出れば、P0に行けます。従って、常に１／６であると分かりますね＾＾。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
算数でよくあるパターンなので、P0なら１／６確定だな＾＾　（３）から解き、全て１／６である、と結論づけて終了。順番にやって気づかせたいのかな。（２）なんか、逆にミスりそうやけど。　解答時間８分。

第４問・・・【整数】13で割ったあまり、13の倍数（B、20分、Lv.２）

こちらもかなり標準的な問題で、10^n　と指数にnが入っていますので、合同式利用がもっともラクかと思われます＾＾

（１）～（３）まで全てこれでいけるでしょう。

Principle Piece A-58

n乗のあまりは合同式利用が有効

（拙著シリーズ(白) 数学A 整数 p.31）

こちら文理共通ですが、誘導が丁寧なので、難易度が下がりすぎている気がします。昨年の方が全然難しいですね＾＾；

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
ぱっと最後まで見る。これはかなり簡単なのでは？合同式で（１）を示し、（２）は瞬殺。（３）では（２）の釣られて、ａ６から入れてしまうも、最後らへんで「１個ずれてるな＾＾；」と気づく。なんでａ６を出させた？１に戻るから？まいいや、とりあえず修正して終了。2016は無理矢理な感あり。解答時間11分。

☆第５問・・・【複素数平面＋三角関数】ドモアブルの定理、cos_nθ・sin_nθの式、三角関数の値(9乗根絡み)（BC、30分、Lv.２）

複素数平面の問題で、ドモアブルの定理を利用して等式の証明、およびそれを利用した三角方程式、三角関数の値です。（１）を利用して欲しいのでしょうが、（２）、（３）は三角関数で全部出来てしまいますので、ちょっと惜しい問題。

（１）は｜z｜＝１であることから、１／ｚ＝zバー　とするのが早いでしょう。すると偏角にマイナスを入れれます。あとはただ計算するだけですね。

Principle Piece III-新12

|z|=1 なら 1/z=z(バー) の利用

（拙著シリーズ(白) 数学III 複素数平面 p.27）

(※バーとは、共役複素数のことです。)

（２）ぐらいはさくっと利用できそうですので、（１）を利用すると、ｔ＋１／ｔタイプの対称式になります。

Principle Piece I-15

●、１／●の対称式は●+1/● だけで表せる

（拙著シリーズ(白) 数学I 数と方程式 p.29）

結局、倍角や３倍角を使うのとあまり変わりませんけど＾＾；　（３）に至っては、半角で変形して、ｃｏｓ40＋ｃｏｓ80＋ｃｏｓ120＋ｃｏｓ１６０に帰着させるほうがラクです。こちらの式変形は九大受験者なら経験済みでしょう。和積で変形ですね。

Principle Piece II-68

「種類」と「係数」が統一なら和積

（拙著シリーズ(白) 数学II 三角関数 p.47-50）

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
お、複素数平面でちょっと面白そう。（１）は共役持ち出して終了。（２）は（１）を利用、、、しなくても出来るけどな＾＾；　（３）こそ、、、いや半角で次数下げて和積の方がはやいな。９乗根絡みで面白いタイプかと思ったが、三角関数で全てできてしまい、少し期待はずれ。解答時間１３分。