九州大学 理系 | 2016年度大学入試数学

      2017/02/25

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●2016年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は九州大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2016年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2016年大学入試(国公立)シリーズ。
九州大学(理系)です。

 

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。





また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





九州大学(理系)
(試験時間150分、5問、記述式)

 

1.全体総評~九大特有の癖が抜け、やや易化~

難易度は、昨年よりやや易化。整数問題がアプローチしやすくなり、九大独特の、「典型タイプとちょっと違う」感じがせず、例年よりときやすかったと思います。それでも、第2問などは計算が辛く、第3問、第5問など、誘導が誘導にならない問題もあり、混乱しそう。試験としては十分です。



試験時間150分に対し、
標準回答時間は130分。
2015年:140分
2014年:150分
2013年:135分
2012年:160分
2011年:130分
2010年:125分

今年は少し時間に余裕がありそうです^^

2.合格ライン

第1問は数学IIIだが、誘導もまともで最も堅実。確保したい。時間は十分にある。
第2問は題材は簡単だが、計算量がかなり多い。計算力勝負でキー問題。
第3問の確率は漸化式タイプではかなり簡単。惑わされずに抑えて欲しい。
第4問の整数問題は昨年よりかなりラクなので、ここは絶対確保。
第5問はキー問題。誘導関係なく、独立に解く方がラク。迷いすぎると×。



第1、3、4を抑えて、キー問題でさらに上乗せしたいです。70%ぐらいでしょうか。



3.各問の難易度

☆第1問・・・【微積分総合】不等式の証明、面積、極限(B,30分、Lv2)

微積分総合問題です。(1)で不等式、(2)で面積、(3)で積分です。(1)はaの値はすぐに出ます。nを一旦xにし、x≧1における関数とみなせばOK。微分すれば正になりますので、割と楽です^^

(2)は面積を計算するだけ。「Tnは6分の公式」が使えます。(3)はnlognという値が一番影響を及ぼしそうですから、それで分子分母を割るといいでしょう。

 

Principle Piece II-112

放物線と直線は「6分の公式」で

(拙著シリーズ(白) 数学II 積分 p.29)

※KATSUYAの解いた感想
第1問から微積か。「a」はすぐでる。グラフ的にはa>1は当たり前な気がするが、xに置き換えて微分かな。(2)はコツコツ積分。あんま計算量ないな。Tnはサービスか^^;(3)もそのまま終了。解答時間15分。

第2問・・・【平面図形】三角形と線分、面積比(B、30分、Lv.1)

チェバ、メネラウスの定理の利用のオンパレードのような問題。(1)では3線が交わりますのでチェバの定理です。

(2)以降は交わりませんので、メネラウスです。ただひたすら使い続けるだけなのですが、点がかなり多い上に文字「t」を含みます。k、lなども入っている時にはかなり慎重に行わないと、点や文字計算を1つでも間違えるとアウトです。その意味で、決して簡単な問題ではありません。

(4)でPQRの面積まで聞いてきますので、計算自体はかなり多いですね^^;

なお、この問題は文理共通ですが、どちらも完答率がかなり低いと思われます。

 

※KATSUYAの解いた感想
問題文からして、ベクトル?いや、こんだけ線引くんなら平面幾何でやったほうが早いな。(1)を見て、「あ、平面幾何の流れだな」と思い、チェバ、メネラウスの利用に徹することにする。(2)の「k」を間違えたまま(3)、(4)まで行く。検算で、(1)のt=t0なら(4)は0のはずなのに、因数分解できず。「おかしいな^^;」どこで狂った?t=t0を入れてつじつまが合わないところを探す。(2)の「k」でミス発見。ここかよ!頭から見直せばよかった。かなりロスだわ。解答時間17分。

 

第3問・・・【確率+数列】確率と漸化式(B、20分、Lv.2)

九大も確率と漸化式を持ってきましたが、今年の旧7帝国大の中では、最もラクだと思われます。とはいえ、考え方などは慣れていないと難しく、(1)、(2)で気づかせたいのでしょうが、(2)は少し数えるのもしんどいので、ミスる可能性もあり。

(3)で漸化式をうまく立てれれば、(2)も修正できますので、満点とれそうですけどね^^;

何はともあれ、今回は2点セットの原則でいけそうです。「P0」と「P0以外」と置けたら、こっちの勝ちです^^

Principle Piece A-40

n回目とn+1回目を詳しく見る

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39~44)

 

Principle Piece A-41

必要のない部分もqnとおいてみる

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39~44)


P1~P5に止まる場合を1-pn(=qn)で設定します。P0にいる場合は6が、P1~P5にいる場合は、1~5のどれか1つが出れば、P0に行けます。従って、常に1/6であると分かりますね^^

※KATSUYAの解いた感想
算数でよくあるパターンなので、P0なら1/6確定だな^^ (3)から解き、全て1/6である、と結論づけて終了。順番にやって気づかせたいのかな。(2)なんか、逆にミスりそうやけど。 解答時間8分。

第4問・・・【整数】13で割ったあまり、13の倍数(B、20分、Lv.2)

こちらもかなり標準的な問題で、10^n と指数にnが入っていますので、合同式利用がもっともラクかと思われます^^

(1)~(3)まで全てこれでいけるでしょう。

 

Principle Piece A-58

n乗のあまりは合同式利用が有効

(拙著シリーズ(白) 数学A 整数 p.31)


こちら文理共通ですが、誘導が丁寧なので、難易度が下がりすぎている気がします。昨年の方が全然難しいですね^^;

 

 

 

※KATSUYAの解いた感想
ぱっと最後まで見る。これはかなり簡単なのでは?合同式で(1)を示し、(2)は瞬殺。(3)では(2)の釣られて、a6から入れてしまうも、最後らへんで「1個ずれてるな^^;」と気づく。なんでa6を出させた?1に戻るから?まいいや、とりあえず修正して終了。2016は無理矢理な感あり。解答時間11分。

 

☆第5問・・・【複素数平面+三角関数】ドモアブルの定理、cos_nθ・sin_nθの式、三角関数の値(9乗根絡み)(BC、30分、Lv.2)

複素数平面の問題で、ドモアブルの定理を利用して等式の証明、およびそれを利用した三角方程式、三角関数の値です。(1)を利用して欲しいのでしょうが、(2)、(3)は三角関数で全部出来てしまいますので、ちょっと惜しい問題。

(1)は|z|=1であることから、1/z=zバー とするのが早いでしょう。すると偏角にマイナスを入れれます。あとはただ計算するだけですね。


Principle Piece III-新12

|z|=1 なら 1/z=z(バー) の利用

(拙著シリーズ(白) 数学III 複素数平面 p.27)

(※バーとは、共役複素数のことです。)

(2)ぐらいはさくっと利用できそうですので、(1)を利用すると、t+1/tタイプの対称式になります。

 

Principle Piece I-15

●、1/●の対称式は●+1/● だけで表せる

(拙著シリーズ(白) 数学I 数と方程式 p.29)


結局、倍角や3倍角を使うのとあまり変わりませんけど^^; (3)に至っては、半角で変形して、cos40+cos80+cos120+cos160に帰着させるほうがラクです。こちらの式変形は九大受験者なら経験済みでしょう。和積で変形ですね。

 

Principle Piece II-68

「種類」と「係数」が統一なら和積

(拙著シリーズ(白) 数学II 三角関数 p.47-50)

※KATSUYAの解いた感想
お、複素数平面でちょっと面白そう。(1)は共役持ち出して終了。(2)は(1)を利用、、、しなくても出来るけどな^^; (3)こそ、、、いや半角で次数下げて和積の方がはやいな。9乗根絡みで面白いタイプかと思ったが、三角関数で全てできてしまい、少し期待はずれ。解答時間13分。

 

4.対策

頻出分野は、微積分、確率、整数ですが、融合されていることが多いため、バランスが取れた出題と言えます。

標準的な問題が「確実」にこなせていれば、合格点は望めそうです。青チャートレベルの例題はしっかりマスターしましょう。公式の証明がたまに出ますので、基本から隅々まで見ておきましょう。

入試標準レベルまでこなしたら、過去問演習を行いましょう。九大の問題は独特な印象を受けますので、過去問を多く演習して、自分の中で傾向を掴んでいきましょう。単科長年タイプのものが効果的です。

 

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^

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■関連する拙著シリーズ■


★ 数学Ⅰ 数と方程式 (第5問)

★ 数学A 確率 (第3問)

★ 数学A 整数 (第4問)

★ 数学A 平面図形 (第2問)

★ 数学II 三角関数 (第5問)

★ 数学B ベクトル (第2問)

★ 数学B 数列 (第3問)

★ 数学III 極限 (第1問)

★ 数学III 微分法の応用 (第1問)

★ 数学III 積分法の応用 (第1問)

★ 数学III 複素数平面 (第5問)

かなりバランスよく出ているようです。

 

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