立命館大学薬学方式(2/2) |2021年大学入試数学

2021/02/22

●２０２１年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は立命館大学(薬学方式：2/2)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２１年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２１年大学入試（私大）シリーズ。

立命館大学(薬学方式:2/2)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

立命館大学（薬学方式：2/2）
（試験時間100分、4問、穴埋め型）

１．全体総評～後半を中心に量が多い～

ここ数年は難易度が戻りつつあり、今年も2015年ごろの難易度に近いです。

第１問の小問集合こそ穏やかな問題が多いですが、第２問以降はやることが多いので、かなり時間を持って行かれます。できるところまでやったら次へ行かないと、粘ると時間だけ持ってかれるセット。

試験時間100分に対し、

標準解答時間は126分【85分】（←穴埋め考慮）

2020年は125分【84分】（←穴埋め考慮）

2019年は110分【74分】（←穴埋め考慮）

2018年は101分【71分】（←穴埋め考慮）

2017年は112分【76分】（←穴埋め考慮）

2016年は125分【83分】（←穴埋め考慮）

2015年は150分【104分】（←穴埋め考慮）

２．合格ライン~基本でとにかく落とさないこと~

第１問は今年も相対的に難易度が低いです。14個ありますが、ここで8割以上(11個以上)確保しておきたい。
第２問はキー問題。前半、後半ともにパターン問題ですが、計算量の多さから、ここが正確にできたかどうかが分かれ目でしょう。
第３問もはパターン問題ではないです。誘導に従ってどこまで取れるか。[1][3]ぐらいは最低埋めたい。
第４問の確率もキー問題。やることは典型的な計算だが、文字計算が多いので苦戦するか。

第１問は8割以上で正解。第２、３、４問でかき集めて1完半ぐらいは欲しい。65%ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

第１問（１）・・・【整数】Ｎ！の０の個数など（Ａ 6分【4分】、Lv.1）

Ｎ！が何回２で割れるか、そして末尾の０何個あるかで、基本かつパターン問題です。

最初は２で割りまくりましょう。後半は、１０は合成数ですので、２×５に分けて、２と５で何回割れるかを求め、少ない方です。当然５ですね。125！だと31個なので、ここから５ずつ増やせば見えます。150のときに２個増えるので注意。

☆第１問（２）・・・【対数関数】対数条件式と最大・最小（AB、10分【6分】、Lv.2）

対数の条件式の下で、式の最大・最小を求める問題です。誘導があるので難易度は下がっています。

まず条件式は、対数×対数の形がありますので、対数を置き換えます。誘導がないなら、logx=X、logy=Yとでもするといいでしょう。条件式はX^2+Y^2=2　となります。

このとき、ｚ＝ｘｙも対数を取ると、logz＝X+Yとなります。これの最大・最小を求めればOK。条件式が２次式で求めたい式が1次式なら、実数解条件に持ち込むとうまくいきます＾＾　これも誘導通り。指定された文字に気を付けて代入しましょう。

これでlogｚの範囲が出ますので、ｚの範囲も出ますね。

第１問（３）・・・【図形と式】不等式条件を満たす半径の最大・最小（AB、10分【7分】、Lv.２）

領域で視覚化して不等式条件下での最大・最小を求める問題で、こちらも典型パターン。

最初はただのひし形の面積。次は、不等式条件では、領域を図示して求めたいものを視覚化しましょう。ｒは円の半径になりますので、（ｂ）は一番近いひし形の辺に接するとき、（ｃ）は最も遠い点(-4,0)を通る時ですね。

※KATSUYAは計6分で解いています。全部パターン問題で解くにつまるところなし。[2]などは一度は経験しておきたいですね。

☆第２問・・・【微積分II】絶対値付き積分の最大・最小、3次関数と接線の面積（B、30分【20分】、Lv.２）

今年も第２問は微積分ですが、題材はパターン問題でした。ただし重めのパターンが２つなので、時間はかなり持ってかれます。

[1]は絶対値付き定積分の問題。絶対値付き定積分は＝０の解と積分区間の大小で場合分けです。f(x)=0を解くことになりますが、ｘでくくれますので、あとは(x－ａ)(ｘ－１)に因数分解です。これに気づかないと前半は全滅。解はｘ＝０，１，ａになります。区間は０~１ですので、ａと０，１の大小で場合分けすると分かります。

「エ」の計算は慎重に。端っこの値ａ＝０，１などを入れて、「イ」や「カ」とつながる(グラフ的に連続である)ことを確かめるといいでしょう。あとは区間ごとに最小値を出しているようですが、端っこの２つは単調性がありますので、そのままa=0,1のときを代入すればＯＫ。真ん中だけ微分しましょう。ａ＝１／２で極値を取ります。真ん中になるときが最小だと予想が付けば、因数定理を使うまでもなく因数分解できるかと。

[2]は３次関数と接線です。まず、接線以外の交点を求めますが、これは解と係数の関係で計算をサボれます。f(x)=接線　の方程式は、移項してもx^2の係数は－(a+1)のままです。３解は０，０(重解)、？ですから、？＝a+1だとすぐに分かります。また、面積も「12分の４乗」公式になります。私大なので、必ず覚えておきたい面積公式です。

後半も全く同じことをさせているだけです。x^2の係数は－(a+1)、解が「a,a,？」なので、？＝1-aと分かります。面積も全く同じ公式が使えます。

同じことをさせている分、知っているか知らないかで時間もかかるし、身する可能性もあります。知っていると、ミスもなし、ロスもなしのタイプ。

※KATSUYAは12分で解いています。どちらも典型パターンやけど、特に前半は重め。特に真ん中は慎重に。連続を確認して検算もしておく。後半は、、、ただ原則使うだけ。文字あるけど原則知っていれば楽勝のはず。

☆第３問・・・【平面ベクトル＋三角関数】正７角形の対角線の長さ（BC、35分【24分】、Lv.３）

正７角形を題材とした問題で、典型パターンとは言い難く、骨があります。共通テストでも12面体と正５角形を題材にしていました。正ｎ角形タイプはどこかで体系的に学習しておきたいですね。

(以下、ａ，ｂ、ＡＢなどはベクトルです)

[1]はなんとか正解したいです。AC,AEともに片方の係数が分かっているのでマシですが、不明だと意外と難しいと思います。ACはｂの係数が１なので、AC=AG＋GC　とすれば、GCをａで表せばＯＫ。また、ＡＥ＝ＡＣ＋ＣＥとすれば、ＡＣの「ア」の係数が使えます。ＣＥはｂだけで表せます。

次のＡＭですが、ＡＭ＝1/2(AD+AE)とするのがいいでしょう。対称性から、ＡＤとＡＥはａ，ｂの係数が逆のはずです。これに気づけば、ＡＥの係数全部足して２で割るだけで早いです。次のＡＦとＡＣも係数が逆のはずなので、こんどは係数を引けばＯＫ。後ろ、ｂ－ａになっているので注意。あとは誘導に当てはまれば、「オ」も出ます。

※なお、「オ」は有名な性質で、ここだけならトレミーの定理をＡＢＣＦとかに用いるだけで導けます。

[2]からは正答率が下がりそうです。まず、すべてのベクトル和についてですが、Ｏ基点でＯＡ＋・・・・＋ＯＧ＝０似なることを利用し、Ａ基点に書きなおすとうまくいったと思います。「キクケ」は、先ほどの対称性を利用すれば、ＡＢ＋ＡＣ＋ＡＤだけ計算し、係数が逆のものがＡＧ＋ＡＦ＋ＡＥとなりますね。

[3]は意外と角度が難しいのでは。ＡＣＦは二等辺三角形ですが、頂角が３θ、底角が２θとなります。また、正７角形の内角の和は５πなので、１つは５θです。これで「サ」も出ます。「シ」は、７θ＝πになることから、cos５θ＝cos２θとして「コ」の式の利用ですね。

[4]も難しめですが、誘導があるので従います。[2]の式は、O基点の方がむしろ分かりやすいです。

OA＋(OB＋OC＋OD)＋(OE＋OF＋OF)＝０　です。しかし、OAのｘ成分はーRで、前の(　)と後ろの（　）はｘ成分は等しいはずですので、R/2ずつということになります。よって「ス」は１／２です。最後はただの余弦定理です。２θ、４θ、６θと出ると思いますが、７θから引くことでば「ス」が使えます。うまく設定されていますね＾＾

※KATSUYAは19分で解いています。正７角形もベクトルで来たか。結構メンドそう。最初は誘導通り。「オ」は有名性質やな。「カ」はとりあえずO基点で７を出しておく。後ろの係数の計算がメンドウやな。１辺１にしといてくれんかな。[3]は角度をある程度出さないとアカンか。底角２θを出した後はそんなに大したことは言ってない。[4]のスは有名なので１／２を入れておく。符号だけ確認。最後は２乗入ってるから余弦かな。上の式も使えたので合ってるでしょう。[3]は問題数稼ぎ？＾＾；

☆第４問・・・【確率】２人、３人を選ぶ方法と確率（BC、35分【24分】、Lv.２）

今年も最後は確率でした。[1][2][3]は独立しており、小問３題構成といえます。立命館薬の確率はこのタイプが多いので、分からなかったら小問を移るのも手です。

[1]は教科書にもありそうな計算ですが、文字ばっかりなのでちょっとメンドウ。慎重に計算しましょう。９番目ですが、ｍ≧４なので、ｍ＝１００です。８１と答えないように！　でも、こんな性質あるんですね。

[2]は慎重にやらないとメンドウ。Pk+1とPkで何が違うかだけを考えれば、Rk+1は比較的すぐに分かります。ｋ週目まで１人ずつ選ばれているので、男子ｎ－ｋ、女子ｍ－ｎ－ｋです。ここから、さらに男女１人ずつ選ぶってことです。分子に２を忘れないように！

「カ」は差ですから、男子を少ないとして考えて大丈夫(一般性を失わない)でしょう。Ｒｋ＋１=0なので、男子がｋ人いたということになります。n=kです。これを代入しながら、Ｒｋも求めます。分子の左はk-(k-1)＝１、右はm-k-(k-1)=m-2k+1です。分母の左はm-2(k-1)=m-2k+2、右はm-2(k-1)-1=m-2k+1です。分子、分母ともにm-2k+1がありますので、約分出来ることに気づけば、本問は合格点でしょう。なお、差はｍ－２ｋですので、これが出ればOK。

[3]最後は確率と漸化式です。確率と漸化式では、ｎ回目とｎ+1回目を詳しく見ることが原則です。また、求める確率以外も考えることになります。合計が奇数の確率がQkなら、偶数の確率が１－Qkになる、などです。確率は全部で１になることも忘れてはいけません。

漸化式はぱっと見汚そうですが、ただの４型ですので、特性方程式を作って等比型にしましょう。奇数か偶数かなら、極限的には１／２のはずです。この１／２が特性方程式の解になるはずだと信じて解きましょう。

最後は、感覚的にはｍ＝２ｎなのでしょうが、どうやら他の解があるみたいです。相当余裕がないとそこまでは答えないとは思いますが、対応は全員得点加算なので、そこまで考えた人にとっては時間のロスになってしまいそうです。

※KATSUYAは20分で解いています。[2]のRk+1でｋちょっとずれたので、「カ」が出ず、途中でやり直していたので、ロスしています。最後の「コ」は、感覚的に迷わず２と書きました。私も他の解の存在まで考えてはなかったですね。