慶應大学理工学部講評 |2022年大学入試数学

2022/02/16 2022/12/18

●２０２２年大学入試数学評価を書いていきます。今回は慶応大学(理工学部)です。

２０２２年大学入試（私大）シリーズ。

慶応大学(理工学部)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

★お知らせ★

Principle Pieceシリーズの販売を再開しました＾＾　原則習得のための参考書です。

YouTube開設しました。　個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。

Twitter始めました　こちらもよろしくお願いいたします＾＾

慶応大学（理工学部）
（試験時間120分、5問、ハイブリッド型）

１．全体総評～2019年以上の易化～

2019年に大幅に易化したとき以上に易化で、ここ10年ぐらいの中でも最も簡単なセットではないかと。全体的に問われていること、やるべきことが分かりやすく、計算量が多い部分もありますが、例年に比べればかなり少ない方です。このセットであれば、時間内に終わった人もまあまあいたのではないでしょうか。(私も、1時間ぴったしぐらいで終わっています)

内容的には数IIIが2問＋A(確率や整数)とB(ベクトル)がメインです。今年も確率＋BIII(ビーサン)出題ですね。

試験時間120分に対し、
標準回答時間は137分【99分】（←穴埋め考慮）

2021年：175分【136分】（←穴埋め考慮）

2020年：173分【120分】（←穴埋め考慮）

2019年：154分【112分】（←穴埋め考慮）

2018年：222分【158分】（←穴埋め考慮）

2017年：200分【135分】（←穴埋め考慮）

2016年：183分【134分】（穴埋め考慮）

2015年：186分【139分】（←穴埋め考慮）

2014年：156分、2013年：180分　

２．合格ライン

第１問は確保したい。エオはキー問題だが、本学部受験者なら取りたい。

第２問は最後の体積が計算が多く、穴埋めだと合うかどうか。それ以外は埋めたい。

第３問は確率なのでキー問題。ルールを落ち着いて整理し、「ス」までは取りたい。セソも今年はそこまで難しくはない。

第４問は（１）の記述はパターンなのでおさえたい。（２）は円が絡むので、苦手な人も多くキー問題。

第５問はKO理工とは思えないぐらい、やることも明確で計算もそこまで大変ではないので押さえたい。(記述だとちょっとメンドウやけど)

時間的にも余裕があり、全体で記述込みで23個中16個以上ぐらいで、今年は70％ぐらい欲しいところ。

３．各問の難易度

☆第１問(1)・・・【空間ベクトル】等式を満たす実数の存在条件（B、12分【8分】、Lv.2）

空間ベクトルを題材にした問題ですが、計算が主体です。何をやっているのかよくわからなかった人も多いかもしれませんが、誘導に従えば勝手に答えは出ます。

最初は言われた通り計算しましょう。（２）はｓやらθやいまいち意味が分からないかもですが、（１）と同じように式を立てればｓとｚだけの連立になります。ここからｓを消去すればＯＫです。

意味的には、左辺は直線、右辺は空間上に描かれた、半径１の円周です。ｓが動くと、この円が平行移動します。これ直線共有点を持つ条件ということです。共有点を持てば、θ必ず存在します。

※記述だと書くの難しいですね＾＾；

☆第１問(2)・・・【整数】６の倍数になる条件、ガウス記号（B、15分、Lv.2）

整数問題で、ガウス記号と絡んでいます。ガウス絡みは受験生の苦手な分野で差がつきそうですが、ＫＯ理工受験者ならこれは正解したいところ。

ｎが絡む問題なので、小さい数字で試してみる、というのが大原則です(中学受験をくぐっている人たちは、算数で自然と身についています。中学受験組が整数問題に強い理由です)。

いろいろ試してみると、12おきに現れ、余りが９のときだと分かります。そうと分かれば、あとは12で割った余りで分類するだけですね。奇数なので、6通りまで減らせます。自分の合否を決める入試です。6通りぐらいひよることなく、コツコツ書きましょう。

※こちらの問題については、YouTube動画でも解説しています＾＾　全部で3通りの解法について比較しています。

※KATSUYAはの解答時間は計13:07です。昨年は第１問(１)だけで15分かかってるから、ここもラクになってますね。

☆第２問・・・【式と曲線＋積分(図形)】楕円と円の共有点、面積、ｙ軸回転体（BC、35分【24分】、Lv.２）

旧IIICの融合問題で、楕円と面積、体積が絡む問題。特に体積の計算は時間もかかるので、後回しでもよかったかもです。

（１）は共有点条件なので連立するだけと思いたくなりますが、注意が必要なのは範囲がー３≦ｘ≦３であることです。この間で解を持たなければいけません。なので、見方を変えて、2次関数の最大・最小とみなしたほうがいいでしょう。2次の条件式では、勝手に範囲がつくこと、条件式からy^2を消去して円の式に代入したときの、最大・最小の問題とみなすとやりやすいですね。

なお、図形的にも最大が５なのはなんとなく想像がつきますが、最小を１としてしまいがちなので注意。（２）の設定でそうではなさそうだと分かりますが。

※最小が１になりそうでならないのは、実際の楕円が想像しているより横長になっているからです。

（２）は本当に連立するだけです。領域の面積が求まるということは、有名角が絡むはずです。そこからも、ｙ0の値は想像がつくでしょう。正三角形と60°のおうぎ形２つです。ここからも、ｒの最小値が１でないことが分かります。

（３）はｙ軸回転体の体積です。ｙ軸回転体の基本はπx^2の積分ですが、円の方は左側と右側で式が変わります。楕円は右半分だけです。円の右側の積分(ｙ＝０～１)ー円の左側の積分(ｙ＝y0～１)ー楕円の右側の積分(y=0～y0)となります。計算はちょっとメンドウ。

※KATSUYAの解答時間は17:06です。最後の計算で２／３ぐらい時間をもってかれます。

☆第３問・・・【確率】白の玉の個数、条件付確率など（BC、30分【20分】、Lv.３）

KO理工の３番は今年も確率です。今年も昨年に引き続きシグマ絡みの確率でしたが、2021年よりは分かりやすいと思います。昔は確率の漸化式がＫＯ理工確率の十八番と言われていましたが、最近はΣ絡みが多いです。

簡単な前半で出来る限りサボらずにきちんと調べて、規則性をつかんで後半へ向かうという流れが理想的です。

（１）は2回で白２個なので、赤白か白赤です。白が早めに増える方が、確率が大きいことが分かります。

（２）は条件付き確率です。分母が「とき」の手前、分子は「とき」の前後です。分母は反復試行で３／８、分子はさらに裏のときに白が取り出される確率です。ここらあたりで、裏の出るタイミングと確率の式の規則性が見えてきます。

これで後半に臨みます。

（３）はずっと裏が出てないといけません。裏だけが出続ける限りは、取り出すのも絶対白なので、硬貨の裏表だけが確率に影響します。

（４）は、1回目表、あと全部裏のときの確率の式いくつか書いてみます。ｋも自然数なので、小さい数字で試してみるべきです。すると規則がつかめます。硬貨の裏表の１／２以外の部分は、分子と分母が次々と約分され、端っこだけが残ると分かります。

（５）は2回目が表の場合はどうなるのか、３回目が表の時はどうなるのか、などこちらもいくつか試してみると、裏表の確率以外の部分の規則がつかめます。Σ計算ができると分かれば、最後まで行けますね。

※KATSUYAの解答時間は14:20です。Σ絡みの確率多いですね。

☆第４問・・・【図形と式＋微分＋極限】グラフの共有点条件、接する円の中心、極限（B、25分【18分】、Lv.２）

図形と式＋数IIIの微分、極限の融合問題。指数関数に円が絡んでいます。今年2個目の円です。なお、第５問にも円が絡みます。円好きですね。

（１）は共有点条件ですので、差を取って＝０になることがあるかどうかの調査です。なので、差をとって微分ですね。なお、条件からａ＝０は定義されないので、a=0のときは別に調査が必要なので要注意。まあ、(２)の設定を考えると、そこまで大幅に引かれないと思います。

※細かい部分こそ抜けると減点が大きいという意見もありますが、それは不安を煽っているだけでしょう。少なくとも本問は全体の流れ的にも、ａ＝０のときのことがウエイトを占めるわけではありません。

（２）ｙ＝ｘはa＝１、ｂ＝０なので、（１）の条件を満たしませんので、共有点はありません。直線の方が下側にあります。あとは円の中心を求めますが、この手の問題はベクトルでたどるのがいいと思います。OB→＝OA→＋AB→です。

ABの距離＝半径は点と直線の距離で、方向はｙ＝ｘに垂直なので単位ベクトル(1/√２、ー1/√２)としておくと、半径を掛けるだけでＡＢ→が出ます。学部は違いますが、ＫＯ医学部にも2021年に同じような考え方で円の中心を求める問題がありました。

ＡＢの座標が出ればＰの座標もでます。見た目はごつそうなメンドウな極限ですが、ｔの式よりも指数ｅ^tの方が影響が強いということです。(但し書きの極限はそういう意味です。)

極限では、分子分母を影響力の強い式で割ります。普段は最高次で割ると言っていますが、それは影響力が強いからです。今回はe^tで割ると、ｔe^(ーt)が出てきます。なので、その部分はすべて０にしてしまいましょう。分子は７－３ｋの部分だけが残るだけですね。

穴埋めなので、分子分母を割る前に、分母はフル無視で分子のe^tの係数だけまとめると７－３ｋとなるので、そこで答えは出せます。

KATSUYAの解答時間は10:42です。

☆第５問・・・【空間ベクトル】球面上の3点、三角形の面積の最大値、三角錐の体積の最大値（B、20分【14分】、Lv.２）

最後は空間ベクトルからで、球面上の3点を題材にして話を広げていきます。最大値に関してはやることは似ており、本学受験者であれば経験済みのパターンのはずなので易しめです。

（１）は3辺が分かっているので、余弦定理を使ってcosをまずだし、外接円の半径は正弦定理なので相互関係でsinにします。面積の最大値は、ABの垂直二等分線上にDがあるときです。「半径＋中心と弦の距離」が必要になりますので、弦絡みですからｄとｒと3平方ですね。

（２）の最初は、ｄとｒと3平方の空間バージョンです。平面距離ｄ、円Ｔの半径３√３、球の半径４√２で三平方です。

（３）の最大値も、さきほどの三角形とやることは同じ。円の中心を通る線が高さになるときが最大なので、半径＋OHが最大の高さになるだけですね。

※KATSUYAの解答時間は5:33です。KO理工にしてはこれは簡単ですね。

４．対策～質の高い演習に加え、計算力の強化を～

標準問題を素早く解くには、入試の頻出パターンをなるべく早い段階で習得する必要があります。青チャートIAIIBは高２中に出来ればマスターし、入試基礎演習レベルまではある程度こなしたい。分野的には、「微積分」に加え、最近影を潜めていますが「確率と漸化式」も要注意。確率については、ここ最近はシグマ計算をさせて出すものも、KO理工ではよく見ます。

また、IIIの方も教科書やワークの学習は高２中に、高３の夏までにはチャートが一通り終了していないと、このレベルに対応できません。受験者層を考えると、高２までにIIIを終えている高校も多くあります。学校の進度が遅いような場合は、自分でやりましょう。教科書ガイドと青チャートがあれば進められます。

また、青チャートのようなものが終わったら、早めに入試演習に入りましょう。本学部の数学で点数をしっかり取るには、最終段階としては仕上げレベルまで必要です。こちらを解く際にも、本番の穴埋めのようにスピードを上げて解きましょう。

計算量が多い問題もよく出ます。多少拙いやり方で計算量が増えても、ゴリ押しする能力も必要です。

KO医学部の問題も形式が似ていますし、出題内容も似ています(確率、2021年の円絡みなど)。理工より少し難しいですが、余裕があれば医学部の過去問も解いておきたいですね。

量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいですね。

以上です＾＾