広島大学理系数学講評| 2023年度大学入試数学

2023/03/11 2024/03/07

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●２０２３年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は広島大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２３年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２３年大学入試（国公立）シリーズ。
広島大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

※お知らせ

Twitter始めました　こちらもよろしくお願いいたします＾＾

Principle Pieceシリーズの販売を再開しました＾＾　こちらも予習用に適した参考書です。

YouTube開設しました。　個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を動画にしてみようと思います。

広島大学　理系
（全5問、150分、記述式）

１．全体総評～いつも通りある程度ボリュームのあるセット～

難易度は例年並みです。最初の確率を除いて、比較的計算量の多い問題が並びます。小問に刻まれているので、方針に迷う問題は少ないかと。150分という長さなので方針さえすぐに立って計算時間を確保できれば、時間内に終わらせることも可能です。

試験時間150分に対し、標準回答時間は123分。

2022年：130分

2021年：解いていません(解き次第調査します)

2020年：130分

2019年：150分

2018年：140分

2017年：160分

2016年：113分

2015年：145分

２．合格ライン

第１問は確率で唯一計算量も少なめ。原則に従ってカッチリおさえたい。
第２問も問題数は多いが、本セットの中ではマシな方で方針もたちやすいのでおさえる。
第３問はキー問題。空間ベクトルで最後の計算量が多めなので計算力勝負。
第４問もキー問題。やや複雑な漸化式なので、誘導に乗れたかどうか。(4)の極限も、(3)の結果以外の項の評価が必要。
第５問は誘導があるため方針は分かりやすい。（３）まではおさえたい。（４）は意味を理解できることと、計算を最後まで合わせられるか。

前半は押さえて、後半部分で50％ぐらい欲しい。70％ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問【確率】カードの数字の種類と確率（AB,18分、Lv.２）

1～Nのカードを出しては戻す試行を4回繰り返したときの数字に関する問題。聞かれていることは結局、数字の種類の話です。

数字の種類に関する問題を聞かれたときはこちらの原則が使えます。問題のひな型は違いますが、これが適用できます。

Principle Piece

同じ文字を含む＋一部取り出す場合 →「パターン、組み合わせ、並べ替え」で

（詳細は拙著シリーズ数学A 集合と場合の数 p.39 参照）

１～Nから重複を許して4つ選んで並べると考えれば、あてはまりますね＾＾

（１）は数字が1種類の場合ですので、原則を用いるまでもないです。全部同じときです。

（２）も4つとも異なるので、Pを使えば瞬殺可能。

（３）からは原則を用いると分かりやすいです。●●●▲のパターンですので、●と▲の選び方がN(N-1)通りあります。それぞれに対し、並べ方は4!／3!通りです。

（４）は●●▲×です。●、▲、×の選び方ですが、▲と×が同じ数であるので注意。●はN通り、残りN-1通りから2つ選ぶ方法なので、Cを用いることになります。▲と×の入れ替えをここで数えてしまうと、並び替えのときに重複してしまいますので、ここでは入れ替えは同じものとみなします。

あとは並び替えです。4!／2!ですね。

サイコロ6個を投げたときに、目の種類が1種類～６種類の場合を数えてみるといい練習になると思います。

※KATSUYAの解答時間は7:27です。今年は最初に確率来たか。結構パターンでラクな方。

第２問【図形と式】直線に関する対称点、垂直条件（B、25分、Lv.1）

x軸に関する対称点やｙ＝ｘに関する対称点を用いていろいろな点を定め、2直線が垂直になる条件を求める問題。

（１）は対称点を求める問題です。どちらも直線が単純なのでこれは楽勝でしょう。一応、原則を復習しておきます。求める点の座標をおき、こちらの2条件で連立するんでしたね。

Principle Piece

直線に関する対称点は次の2条件を式にする

[1] ｌとABが垂直　[2] ABの中点がｌ上

（詳細は拙著シリーズ数学II 図形と方程式 p.15 参照）

（２）（３）は、ｘ軸やｙ＝ｘに平行でない条件を聞いていますので、傾きで議論できます。

（４）は垂直条件です。x軸と垂直になる場合は、ｙ軸と平行なのでBとSのｘ座標が等しいという式がいいでしょう。ｙ＝ｘと垂直になる場合は、傾きの積＝－１でいけます。

あとはαとβの連立です。微妙に対称式ではないので、素直に連立します。2円の共有点を求める時の要領で、辺々を引けば1次方程式になりますね。

※KATSUYAの解答時間は16:43です。ただただ順番に計算するだけ。

第３問【空間ベクトル】正八面体の辺上の3点で出来る三角形の最小値（AB、25分、Lv.１）

空間ベクトルからで、正八面体を題材としています。やることは単純ですが、(3)の計算はまあまあ長いです。

（１）の内積はいいでしょう。b,d,eベクトルの位置関係には気を付けてください。ABCDが正方形になるので、ABEやADEは正三角形です。

（２）はもしかしたら苦戦した人もいるかもですが、辺をたどるだけです。AB→+BF→とし、BF→＝ED→を利用すれば基本ベクトルに直せます。（２）が出来ないと（３）もおそらくできないので結構差がつく。。。

（３）はAHベクトルをｔで表します。CF上なので、ACとAFで表せばOK。ｔの係数はｅベクトルにしかつかないので、まだラクな方です。三角形の面積なので、ＡＧ→、ＡＨ→の長さと、内積をコツコツ計算して面積公式に入れましょう。分数も入るので、慎重に計算しましょう。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は15:45です。空間ベクトルはある程度計算を覚悟するしかないですね。

☆第４問【数列+極限】漸化式、和の極限（B、25分、Lv.2）

数列と極限の問題。やや複雑な漸化式ですが、置き換えの誘導があるので、難易度は下がっています。最後の極限は(3)以外にも評価が必要な項がありますので、そこをきちんと評価できたか。

（１）は素直に求めていくだけです。

（２）は置き換えに従って変形していくので底を２とする対数を取りますが、誘導がなくても、項のかけ算・割り算がある漸化式は対数を取るのが原則です。底を２とする対数をとって「n+1」が絡む項と「n」が絡む項をわければ、置き換えに気づけるでしょう。

（３）は問題文に書いてある条件を用いるだけです。logの足し算は掛け算ですから、シグマの部分の真数は1・2・3…・nとなります。あとは1・2・3…・n＜n・n・…・nを利用すれば問題文の条件を使える形になります。あとははさみうちですね。

（４）は（２）でbnの一般項が出ているので、それを利用してlog_2 a(2k)を表します。等比部分と、logの部分と、定数部分に分かれます。logの部分の和は(3)により０になります。定数部分は和をとると２ｎになりますが、ｎが十分大きければｎ＜ｎlogｎですので、これも(3)を用いれてはさみうちです。

結局、等比部分だけが極限の値に関わります。36^nが関わる部分に注目しましょう。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は17:25です。漸化式はまあまあややこしいのである程度の差はつきそう。広大、少し複雑な漸化式好きなイメージがある。