慶應大学 経済学部 数学 講評| 2023年大学入試数学
2024/01/05
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●２０２３年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は慶応大学(経済学部A方式)です。
２０２３年大学入試（私大）シリーズ。
慶応大学(経済学部A方式)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
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YouTubeチャンネルです 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。
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慶応大学（経済学部A方式）
（試験時間80分、6問、ハイブリッド型）
１．全体総評～質・量ともに高止まり。まだマシな方？～
相変わらずキツイセットですが、これで例年並みです。これが慶應経済です。むしろマシな方かな、という印象です。
難問奇問があるわけではないのですが、とにかく計算量・記述量が多いセットです。
第３問~第5問の後半はやることは明確でもやる量が多く、かなり時間を持っていかれます。こういった問題を後回しにして、出来る限り効率よく点数を稼いでいかないと、考え込んだりゆっくりやったりしていると、前半だけで80分持ってかれます。
※私は、今年も80分で解けませんでした(最後の6-(2)だけ残りました)。
試験時間80分に対し、標準回答時間は174分【140分】(←穴埋め考慮)
2022年：185分【164分】（←穴埋め考慮）
2021年：185分【154分】（←穴埋め考慮）
2020年：195分【169分】（←穴埋め考慮）
2019年：128分【108分】（←穴埋め考慮）
2018年：165分【141分】（←穴埋め考慮）
2017年：160分【133分】（←穴埋め考慮）
2016年：170分【147分】（←穴埋め考慮）
2015年：130分【103分】（←穴埋め考慮）
２．合格ライン～スルー力(りょく)が必要～
第１問は小問２つ構成に。前半は欲しい。後半の整数はキー問題。サイアクしらみつぶしで正解したい。
第２問の数列は今年は易しめ。穴埋めだと大きく難易度の差がるパターンでした。これは8割以上取りたい。
第３問の確率は後半の計算量が多すぎる。第１，２問でしっかり後半をスルーしたい。
第４問は同じような計算をさせられますが、(2)までは特に難しくないので欲しい。(3)はやることは多く、やるとしても後回し。
第５問は第４問以上に同じような計算を繰り返す。ここで時間を取ると第6問を取れなくなる。
第６問はいつも通りの微積総合。今年はかなりラク。条件式も見掛け倒し。先にこれを確保できると大きい。
前半3問では、第２問はとって、第１問と第３問で合わせて1完強ぐらいあればOKかと。
後半は、方針に迷うことはなく、残り時間次第。最後の第６問がラクだったので、先にこちらに手をつけれたかどうかも大きい。明らかに時間のかかりそうな問題をスルーするテクニックが物を言う試験な気がします。
数学については60％ぐらい取れればいい方ではないでしょうか・・・
なお、動画でも講評をＵＰしています。内容はだいたい同じですので、お好きな方でご覧ください。
３．各大問の講評
第１問(1) 【三角比】三角比総合（AB、13分【9分】、Lv.1）
今年の第１問は2問構成になりました。最初は三角比からで、いろいろ聞いてきますが、１つ１つは教科書ワークレベルですので、落とせません。
最初はそのままsinの比を入れましょう。正弦定理は、sinと辺の比が等しいという意味の式です。
（詳細は拙著シリーズ 数学I 三角比 p.38 参照）
3辺の比が分かれば、変形余弦定理でcosも出せますし、相互関係で他の三角比も出ます。
（詳細は拙著シリーズ 数学I 三角比 p.33 参照）
面積があたえられていることから、ｋの値も決まります。これで3辺が確定しますので、あとは何でも出せます。内接円絡みは面積媒介になります。
（詳細は拙著シリーズ 数学I 三角比 p.51 参照）
これは解けることは前提で、どこまで時間を貯金できるかですね。
※KATSUYAの解答時間は2:09です。
☆第１問(2) 【整数解】2次の不定方程式の整数解（B、18分【12分】、Lv.2）
整数解からで、2次元2次不定方程式の整数解を求めます。こちらは(1)と打って変わって、京大などでも類題が出ているような問題です。これをノーヒントで持ってくるあたり、慶応経済おそるべしですね。
表現は遠回しですが、最初は条件からｐを消去するだけです。ｍ、ｎだけになった2次不定方程式ですが、整数解を求める際の原則をきちんと順番に適用出来たかどうかがカギになります。まずは因数分解を試す。
（詳細は拙著シリーズ 数学A 整数 p.44、p48 参照 まず、見た目はパターン４になります）
今回は因数分解はどうやらうまくかなさそうです。そのときは実数解条件に持ち込みます。
（詳細は拙著シリーズ 数学A 整数 p.86 参照 結局パターン６になります）
ｍの2次方程式として解き、ルートの中が0以上であることで絞っていきます。ルートが外れるための条件を考えるとさらに絞れます。
穴埋めなので、答えの形からｍ、ｎが一桁であること、1組しかないことから、１～９を入れてみて当てはまるものが見つかれば答えられます。サイアク全調査して答えるのもありです。そもそも整数問題の出発点は調査です。
（詳細は拙著シリーズ 数学A 整数 p.15 参照）
※こちらの京大の問題も、同じ原則を用いれば解けます。 私が、この試験の3週間ほど前にアップした動画です。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は4:55です。結果論やけど、１から入れた方が早かったか？
☆第２問 【数列】漸化式の一般項、数列の和（AＢ、20分【13分】、Lv.2）
列昨年に引き続き第2問が数列で、漸化式がテーマです。今年の数列は穏やかだったと思います。
漸化式はS_nがらみなので、１つずらして辺々を引きます。問題文にも誘導がありますね。
（拙著シリーズ 数学Ｂ 数列 ※執筆中です(23年2月現在)）
整理すると、10型(多項式倍型)漸化式になります。この手の漸化式は、両辺に何かをかければ(割れば)定数列を作ることが出来ます。
（拙著シリーズ 数学Ｂ 数列 ※執筆中です(23年2月現在)）
問題部でbnへの置き換え指定もされていますので、この手の問題は穴埋めだと難易度が大きく下がります。bnが出たらanも出ます。空欄は１が続きますね＾＾；
後半は数列の和ですが、a_nの形や和の形、その後の問題文から見ても、部分分数分解を利用して望遠鏡型計算(真ん中の部分をごそとなくして式を短くする)で和を求めるのは見え見えでしょう。
（拙著シリーズ 数学Ｂ 数列 ※執筆中です(23年2月現在)）
最後の不等式はごつく見えますが、見掛け倒しです。整理すると(n+3)(n+4)>2500となりますが、まともに解かないように。群数列などで使うテクニックですが、大体の見当をつけてｎを特定していきます。
（拙著シリーズ 数学Ｂ 数列 ※執筆中です(23年2月現在)）
n+3、n+4は近い数字ですので、2乗して2500になるものに近いはずということですね。
※KATSUYAの解答時間は6:22です。KO経済の数列ってもっとメンドウな印象が。まだマシかな。
第３問 【確率+データ(ちょろっと)】カードの点数と確率、条件付確率など（B、45分【28分】、Lv.２）
今年の第3問は確率です。昨年は意味不明レベルの融合問題でしたが、今年はそれに比べればマシです。
点数の付け方にツッコミを入れたくなるようなルールですが、最後に2023点につなげたかったのでしょう。後半までは使いません。
（１）は異なる数字を３つ足して２３にします。同じ数字はダメなことに注意。分散はいいですね。
（２）は(1)に比べると数えにくいですが、こちらも慎重に数えだしたいです。
穴埋めの形を最大限生かすと、数値の組み合わせとしては6通りか9通りぐらいあるだろうという予想は、実は分数の形からも予想が付きます。そうでないと、約分で分母が3桁になりません。本質的ではないかもしれませんが、こういうテクニックは、試験では非常に有効です。
(３）は8点または1008点ですが、これは和が８になる(等しいものがあってもOK)場合ってことです。８点と8点とかはダメですので注意。ルールをよく読みましょう。
(4)は捨て問です。残り3回で15点になる場合を全て書き出したうえで、それを１つ１つ、(2)の場合の後ろにつなげたときに、2000点追加されるかどうかを考えます。答えだけ見ると簡単そうに見えますが、かなり時間のかかる作業です。
例えば(2,6)に対しては、(2,6,7)でもいいですし、(5,5,5)でもいいですし、(3,6,6)でもいいわけです。こんな感じで全部調べます。
※KATSUYAの解答時間は20:56です。最後は数えミスもあって答えが桁に合わずで数え直し。最後だけで12分ぐらいもってかれたかな。
☆第４問 【対数＋微分】対数関数の最大値、対数値の評価（BC、30分、Lv.２）
今年は第４問から指数・対数でした。対数式で表された式の最大値を2つ求める問題。し(1)と(2)でほぼ同じような作業をやるうえに、最後はただただやることが多い問題。(2)まで解いたら先に進むのがよかったでしょう。
（１）（２）は条件式のものと対数の最大値を求めます。対数は足し算なので、項をまとめれば真数の最大値を求めるだけです。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 指数関数・対数関数 p.32 参照）
真数は1文字消去すれば3次関数になるので、微分です。（１）も（２）もｙ消去が分かりやすいでしょう。ｙ＞０なので、文字を消去したときに範囲に注意。
(2)は、新しい条件式のもとでの最大値が、(1)の条件式のもとでの最大値以下になる条件ということです。聞き方がやや遠回しですね。
(3)は(2)の結果を利用します。ｋ≧２√２(nとしては8以上)のときと、それ以外のとき(ｎとしては7以下)で最大値が変わりますので、それぞれ不等式に入れます。さらにlog3の評価も利用するので、こちらもこまごまとした計算を要求されます。後回しが正解でしょう。
※KATSUYAの解答時間は23:11です。(3)の最大値を、真数の値と勘違いした(logつけずにやった)ため、全部やり直し。log7とかムダに評価していました。この勘違いさえなければ、今年は時間内に終わったなぁ。
☆第５問 【空間ベクトル】立方体の切断、体積（BC、30分、Lv.3）
今年は第５問がベクトルです。指数・対数とベクトルは交互に４，５番目に来ますね。
題材は立方体を平面で切り、片方の体積を求めるというものですが、最後まで解き切ろうとすると時間がかかります。これも途中で適度に切り上げるのが正解でしょう。演習問題としては交点を求めるいい練習にはなりますが、試験ではあまり出会いたくないですね。
(1)は両方に垂直なベクトルです。成分も書いてあるので、連立するだけです。
(2)はさらにｐ，ｑを求めます。条件も2つあるので、連立すれｐ、ｑが出ます。線分上にある条件は１－ｋ、ｋなどの係数設定でしたね。
（詳細は拙著シリーズ 数学B ベクトル ※執筆中です(23年2月現在)）
(３)は平面と立方体の辺(直線)との交点を２回求めます。同じことを繰り返すだけです。平面上にあることの条件の係数設定も原則です。
（詳細は拙著シリーズ 数学B ベクトル ※執筆中です(23年2月現在)）
平面は切片型なので方程式を作って解くのもありです。立方体の辺上の点の座標は２つは確定なので平面の方程式に代入すれば簡単に残りも出ます。
(４)最後は、(３)の情報や(２)の設定(ＢがＰＱ上にある)などを用いて図を正しく書ければ見た目よりは難しくないです。
算数でよく使う知識ですが、平行な面の切り口は平行であることも用いると、どのような切断面も見えてきて、立体が三角錐の頂点(これがＮになります)をちょん切ったものだと分かります。ですので、相似比を利用すれば体積は出せます。
※KATSUYAの解答時間は19:19です。また同じこと結構やらされるけど、(４)の立体の様子をつかむためなのでこっちはまだマシかな。
第６問・・・【微積分】絶対値付き定積分関数、接線、面積の2等分（BＣ、30分、Lv.2）
最後は今年も微積分からですが、今年はかなり楽です。条件式も見掛け倒しです。最後の問題ですが、先に手をつけるのが正解の問題です。
(１)は上述の通り式は見掛け倒し。絶対値は入ってますが、絶対値の外に定数があるので計算はラク。積分区間もー１~１なので、f(x)の積分もｂの積分しか残りません。
(２)はaが出ればそんなに難しくないかと。３次関数とｘ軸の共有点の個数は極値の積の符号で攻めるのが原則です。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 微分法 p.45 参照）
面積は１２分の公式が使えるパターンです。問題文にも書いてあります。慶應経済はこの形大好きですね。
本問は動画による解説をUPしていますので、そちらもご覧ください。
※KATSUYAの解答時間は8:08です。(１)を解いている時点で８０分来てしまいました。確率の数えミスと第４問の勘違いがいたい・・・
４．対策～IIB中心に、計算力上げつつパターン問題を素早く解く練習を～
分野はある程度固定で、前半が図形と式、確率、数列、後半が指数対数か三角、空間ベクトル、微積分です。特に後半は結構固定のことが多いですね。(今年は整数が出たので面食らったかも)
難易度的には、基本的な原則を一通りおさえて、あとはひたすら計算するだけなので、計算力を上げる方が優先でしょう。
図形問題は融合が多く、図形的な考察が途中で必要な問題も多いので、単なる数式処理で出来るものではなく、総合的な図形問題に触れておきましょう。青チャートできちんと演習を積んでおけば、大丈夫です。有名なパターン問題はそのまま自分のものにいしていきましょう。
レベル的には入試標準レベルの演習まで行い、過去問を多めに演習しましょう。量をたくさんこなして、パターンを瞬時に見抜ける訓練が大事。
なお、拙著『Principle Piece』シリーズであれば、初習段階、原則習得段階はもちろん、入試基礎演習まで１冊で済ませられます＾＾
量をこなす演習：じっくり演習＝８：２ぐらいで、直前には７：３（今年レベルなら６：４）にしたいですね。
以上です＾＾
■関連する拙著『Principle Pieceシリーズ』(リニューアル版！)■
数学I Chapter４～三角比～ (第１問(１))
数学A Chapter２～確率～ (第３問)
数学A Chapter３～整数～ (第１問(２))
数学II Chapter６～微分法～ (第４、６問)
数学II Chapter７～積分法～ (第６問)
数学B・C Chapter１～数列～ (第２問)
数学B・C Chapter３B～空間ベクトル～ (第５問)
すでに原則系の参考書を持っている方にはこちらがおススメ！！
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