東京医科歯科大学 数学 講評 | 2023年大学入試数学

      2024/01/18

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●2023年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東京医科歯科大学です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2023年 大学入試数学の評価を書いていきます。



2023年大学入試(国公立)シリーズ。

東京医科歯科大学です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

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また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。



東京医科歯科大学
(試験時間90分、3問、記述式)

1.全体総評~昨年同様に医科歯科らしいセット~

実験系により規則が何となくつかめるが論証が難しい第1問と、計算量勝負の第2問、第3問という医科歯科らしいセットです。

今年も第1問は一般的な論証をきちんとするのは難しく、小問で実験をさせてきますが、やみくもに実験していると規則も地価見にくいですので、医科歯科大の中でも難しめかもです。


試験時間90分に対し、標準回答時間は110分。

2022年:110分

2021年:解いていません

2020年:140分

2019年:95分

2018年:120分

2017年:115分

2016年:120分

2015年:115分

2014年:105分

2013年:105分

2012年:115分

2010年:105分

2.合格ライン

第1問は(3)までおさえる。(4)は発想力と論証力が両方必要。予想が出来たなら答えだけでも計算しておきたい。

第2問、第3問は計算タイプ。第1問で変に考え込んでしまうと時間が無くなるので、きちんとここに時間を残してやり切れたかどうかが勝負の分かれ目でしょう。

例年通り2完分ぐらいの65%ぐらいでしょうか。

3.各問の難易度

☆第1問【場合の数】条件を満たす折れ線の数(CD,50分、Lv. 2)

長方形上にならんだ格子点を結ぶ折れ線がいくつあるかを求める問題。序盤の実験で規則をつかんでいくいつもの医科歯科の第1問という感じですが、やみくもに数えると規則をつかむのはなかなか難しく、(3)どまりがほとんどでしょう。

(1)(2)は全部図示するしかありません。どちらもまあまあ多く、これだけでもかなり時間を持ってかれますし、抜け漏れも発生しやすいです。始点と終点のx座標を意識しながら、一定のルールをもって書いていくと少しは見えてきたかと思います。自分なりのルールを作って書くことは、場合の数における調査の根本原則なので、常に意識しましょう。

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 書き並べは「モレ」「ダブリ」なく→書き出すルールを決める

(詳細は拙著シリーズ 数学A 集合と場合の数 p.7 参照)

(3)は少し一般化されていますが、ここでも始点と終点のx座標としてあり得るパターンが3通りしかありません。例えばx=0とx=n-2の場合で試してみると、nの偶奇で上下が入れ替わったりはしますが、基本的に片方が決まればもう片方も決まり、書き方は1通りしかないことが分かります。つまり、始点と終点のx座標を固定すると、書き方は2通りしかないということです。n-2離れるようなパターンは3通りしかないので、全部で6通りと出ます。

これを一般化するとおそらく、n-kだけ離れるような両端点のx座標はk+1通りあるので、その2倍あると計算でき、(4)につながります。

(4)は(3)までで上記のように考察できていれば、それを述べればOKですが、キチンと論証するのはなかなか難しいです。Kさんの解答が比較的分かりやすいですが、これを時間内で書くのは困難でしょう。両端のx座標が等しい時だけ例外なので注意。そのときは、長方形の端っこのときの2通りだけです。

あとはkについてのシグマ計算で出来ますね。

 

※KATSUYAの解答時間37:15分。今年は書き出すところからかなり時間持ってかれた。嫌な予感がしたので(2)の時点で一度第2問、第3問へ移動し、終えてから戻って残り時間をまあまあフルに使って終了。

 

第2問【空間ベクトル+数列+極限】平面に下した垂線の足、点列の極限(B、30分、Lv.2)

2つの平面に対し、それぞれの平面上から他方の平面に垂線を下ろすことを繰り返したときの点列を求め、さらに極限を求める問題。2つの平面がともに非常に単純なので、計算量も普段の医科歯科に比べると少な目な気がします。

(1)は平面π2が切片型で、x+y+z=1とすぐに出せますので、法線ベクトルが(1,1,1)の方向であることはすぐにわかります。もし方程式に気づかなくても、係数も簡単なのでそこまでしんどくないです。

(2)π1はxy平面ですので、垂線の足はそのままx、y座標が同じで、z座標をゼロにします。π2の方は(1)の法線ベクトルを用いればいいです。偶奇で場合分けが必要な部分を除けば、そこまでしんどくはないハズです。

(3)漸化式のルールが規則的に(今回偶奇)で変わるときは、ルールを1セット適用して漸化式を作ります。奇数のときのルール、偶数の時のルールを両方適用して、1個飛びの漸化式を作るということです。x(2k+2)をx(2k)などで表すということですね。

出来た漸化式は連立漸化式になりますが、x、yについては係数入れかえのパターンなので、和と差で等比型が作れる単純なパターンだと分かります。

 

x、yが出れば、偶数番目のときはx+y+z=1上にありますから、引けばzも出ます。式も単純なので、極限も簡単に出ます。ただし、偶奇で分けている場合は、分けたそれぞれで極限が一致することを必ず明記しましょう。

 

※KATSUYAの解答時間は21:16です。項が3つあるうえに偶奇で分けるので書くことは多い。計算量は普段より少なめか。

 

第3問【積分法+極限】定積分式を満たすような関数の決定、極限(B、30分、Lv.2)

最後は積分法から。昨年は抽象的な関数f(x)の性質に関する問題でしたが、今年は具体的にf(x)を求めて、その極限を調べる問題です。

(1)は両辺を微分するという方法でも出来なくはないですが、分母は部分分数分解が出来る形をしています。分子のaもうまく消えるので、こちらの方がラクでしょう。分数式で分母が2次以上なら、まず因数分解できるかどうか試しましょう。

 

積分計算が終わったら、logをはずしてf(x)について解けばOK。f(0)=pや0<f(x)<aを満たしていることを確認しましょう。

(2)は具体的に数値を入れて連立するだけですが、意外とメンドクサイ連立です。e^b=Bとでも置くと少し見やすくなりますが、やみくもな式変形では苦戦するでしょう。連立方程式の基本は文字消去です。何を残すか(何を消すか)を強く意識して、1文字まで減らしましょう。

(3)は(2)が出れば簡単に出せます。原則に従い、分子分母を最も影響の大きい指数の項で割るだけです。

 

※なお、この関数はロジスティック曲線と呼ばれる関数で、生命の個体数の変化を表すのに用いる数理モデルです。ロジスティック方程式と呼ばれる微分方程式を解くことで得られますが、その途中で問題文の式が出てきます。ここから先であれば、高校数学で解けるから求めてね、ということです。

 

※KATSUYAの解答時間は26:41です。なんか見たことのある方程式やけど、思い出せない。答えの式を見てロジスティック曲線であることを主出すも、分母に若干のミスがああり、(2)の連立が全然うまくいかずにかなりロス。7,8分は短縮できたかなぁ。

 

4.対策~計算力は必須+独特の問題を過去問で征服~

医科歯科大の問題は非常に独特です。小問で誘導しながらも、そのリフトに飛び乗るにはジャンプ力が必要。また、普段はIIIの割合も高めで、計算力もかなり必要。

出題分野については、数列、数学IIまたは数学IIIの微積、確率、ベクトルが比較的多めです。

なるべく早くIIIまで一通り原則習得を終えて、夏以降には量をこなしつつ、質の高い演習も並行したいです。仕上げ段階までこなして欲しいところですが、とにかく出題形式が独特なので、本学の過去問を徹底的に研究することで仕上げ段階としてもいいでしょう。

 

量をこなす演習:じっくり演習=6:4ぐらいでしょう。

以上です^^
■関連する拙著『Principle Pieceシリーズ』(リニューアル版!)

数学A Chapter1~集合と場合の数~ (第1問)

数学B・C Chapter1~数列~ (第2問)

数学B・C Chapter3B~空間ベクトル~ (第2問)

数学III Chapter2~極限~ (第2問)

数学III Chapter5~積分法(数式編)~ (第3問)

すでに原則系の参考書を持っている方にはこちらがおススメ!!

数学I・A ~原則のみ~

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