一橋大学 | 2016年大学入試数学

      2017/02/25

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●2016年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は一橋大学です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2016年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2016年大学入試(国公立)シリーズ、第15弾。
一橋大学です。


問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。




また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





一橋大学
(試験時間120分、5問、記述式)

 

1.全体総評~文系最強は維持しつつやや易化~

難易度は、昨年よりやや易化。計算量の多い問題や、発想の必要とする問題があり、文系最強なのは相変わらずですが、点数に結びつきやすい問題がいくつかあり、昨年より少し取り組みやすいセット。難易がはっきりしている分、点数の分散が低そうですので、易でしっかり点数をとれたかどうか。(といっても、決して易ではないんですけど^^;)

選択問題には2年連続でデータ分析あり。昨年よりは大きく難易度が上がっていますが、他方も質が高く、選択の2問としては絶妙な設定です。



試験時間120分に対し、
標準回答時間は130分。昨年より短め。
2015年:150分
2014年:145分
2013年:125分
2012年:135分
2010年:125分

 

2.合格ライン

第1問の整数がキー問題。演習量で差が出そう。うまく絞れたか。
第2問は方針が一本みちに近く、割とラク。確保したい。
第3問は確率と漸化式で、例年よりラクなので確保したい。
第4問は研究題としてはありえますが、出来れば試験に出して欲しくないもの。学コンにも出されたことのあるような題材で、忍耐力が必要。
第5問は選択ですが、キー問題。手法重視の[I]を選ぶか、計算ゴリ押しの[II]を選ぶか。ここで取れれば強い。

第2、3問を確保、第5問はうまく選んで押さえたい。これに第1、4の一方が出来れば、かなり安心です^^



60%強ぐらいでしょうか。


3.各問の難易度

☆第1問・・・【整数】方程式の整数解(C,25分、Lv2)

整数問題です。一橋は、しょっぱなに整数問題持ってくるの好きですね。難易度は相変わらず、理系にもひけを取らないレベルで、発想力やセンスが問われます。


xが大きければ、指数の底が大きい左辺の方が大きいはずです(6倍と7倍の差はゴミ程度)。しかし、等式では右辺の方が大きいので、私はそれで絞りました。(27/25)のx乗が7/6未満でなければならず、x=0、12しかありません。あとは、調べるだけです。これが最も早いと思います。

x=3のときはまともに計算せず、27/25=1.08なので、(1+0.08)^3 の二項展開の最初2項で1.24ですから、評価できます^^

用いている手法の理系色が非常に濃く、対策をしているとはいえ、文系の人には厳しい整数問題な気がします。

※KATSUYAの解いた感想
整数問題最初が多いな。x=0はとりあえずOK。x=1以上のときについて、最初は左辺を25で割ったあまりなどを考えるが、無限にあるので方針変更。xが大きいと、、、右の方が小さいはずやから、それで絞るか。評価してx=0、1、2まで絞りあとは代入。解答時間7分。思いつくまでの時間が勝負って感じやな。

第2問・・・【三角関数+数列】漸化式、加法定理(B、20分、Lv.2)

こちらは一橋にしてはかなり標準的な問題で、ただ漸化式に条件式を代入するだけです。これを見れば加法定理であることはさすがに気づくと思いますので、あとは計算するだけです。

cosθの可能性は2つ出てきますが、他方はa_3をまで調べればダメだとわかります。方針にはほぼ迷わないことを考えると、一方を排除できたかどうかがポイントになりそうです。

※KATSUYAの解いた感想
なんじゃこりゃ?急に簡単じゃないか?ただ加法定理つかうだけやろ。sinθの項とかも消えるし。片方のcosnθ=0は怪しいな。たぶん不適やろ。a3を計算して排除。これでいいのか^^;もう一度見直し、議論に穴がないことを確認、んー簡単すぎて不安だわ。解答時間9分。

第3問・・・【確率+数列】確率と漸化式(B、20分、Lv.2)

今年の確率と漸化式は、かなり簡単です。対策をしてきた人にとっては少し拍子抜けでしょうが、演習していないと出来ませんから、そこは対策した効果があったと考えましょう^^

原則は3点がもろに使えるパターンです。

 

Principle Piece A-40

n回目とn+1回目を詳しく見る

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39~43)


原則通り遷移図を書いて漸化式を作りますが、ルールから見ても、「裏裏」以外の状態も設定すべきでしょう。

 

Principle Piece A-41

関係のない部分も文字で設定しておく

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39~43)

 

3つの状態について漸化式を立てると、裏裏が1/2になることがわかります。こちらの原則からですね^^

 

Principle Piece A-42

足して1になることも忘れずに

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39~43)

 

これに気づくと、あとはかなり芋づる式にでます。n=1のときだけは別です。本問も例年より簡単なので、そこに気づくかどうかが大きいかもしれません。

※KATSUYAの解いた感想
例のパターンね。とりあえず遷移図を書くには、あと「表表」「表裏」が必要。この3つで遷移図、漸化式を作る。裏裏、全係数1/2に気づき、これはきたな^^ bnを出すと、bnまで一定。まじか^^; でもこっちはn=1のときだけは違う。危ない危ない。解答時間10分。n=2以降、確率一定なのね、これ。ちょっと面白い^^

第4問・・・【微分】絶対値付き、定数入り3次関数の最大値の最小値(C、35分、Lv.2)

3次関数、絶対値、そして定数入りという、場合分けの増える要素満載の問題です。慎重に場合分けを行っていくことでできますが、時間はかなりかかるでしょう。

なお、一橋はy=x^3-3ax の関数がかなり好きなようです。y=x^3-3xなども過去に出してますので。自分で研究してみましょう。

今回は下の関数が奇関数なので絶対値をつけて偶関数となり、実質0~1だけで調べればOKですが、それでも場合分けは、1度経験しておかないと過不足なく行うのは、かなり厳しいです。

2次関数でいう、いわゆる軸分けが、3次関数以上では「極値をとるxの値分け」です。ただし、3次関数には極値がそもそもない場合もありますので、まずここで場合分けが増えます。

さらに辛いのが、極値と端っこが同じ値になる可能性があることです。こちらも場合分けをします。これらの場合分けを全て尽くせば、解答可能性が、所見ではまずムリだと思われます。

場合分けが明らかに増えるようなとき、拙著では、こちらの原則でせこく行く方法も推奨しています。オーディション形式です。

Principle Piece II-99

最大・最小の候補は端っこか極値

(拙著シリーズ(白) 数学II 微分(1冊目) p.32-36)


最大・最小はあるとすれば、上記のどれかです。それ以外は最初に振り落としてしまうわけです。ただし、極値はいつでも舞台に上がれるわけではありませんので、要注意です。

 

 

※KATSUYAの解いた感想
結果もaの値も知ってるけどな、これ^^; 学コン(大学への数学という雑誌の添削テスト)にもあったきがするし、研究としては有名題材。でも、これを文系の大学に出すか。結果を知っているので、場合分けだけコツコツやって終了。解答時間18分。知ってても結構かかるけど。考えてたらかなりかかるのでは?

 

第5問[I]・・・【ベクトル+2次関数】内積、絶対値の比の取りうる値、(C、30分、Lv.2)

ベクトルとして使うのは最初だけで、あとはただの最大・最小の問題です。ただし、文系には最大・最小を調べるのはかなり難しい式です。

原則を使い放題で、個人的には迷わず選択問題でこちらを選びましたが、数値が途中汚いものもあり、時間はかかりました。

使い放題の原則ですが、1つ1つ見ていきましょう。2つのベクトルの絶対値をx、yとでもおくと、rの式は分子・分母ともにx、yの2次式となりますので、まず同次式に関する扱いの原則が出てきます。

 

ULTIMATE Principle Piece

同次式は比で置き換えて1文字に減らせる

 

すると、2次式/2次式となります。=kとおいて解の存在範囲にしてもいいのですが、こちらの原則で次数を下げたほうが、視覚化が簡単にできます。

 

ULTIMATE Principle Piece

分数式は(分子の次数)<(分母の次数)となるように整理すると見えるものがある


究極原則が2つ続きましたが、これによって、帯分数のようにしておくと、1次/2次の項だけを考えればOKです。逆数とって相加相乗でも出来るのですが、今回は等号が成り立たないので、残念ながらここで止まってしまいます。

しかし、原則の手はまだあります^^ 逆数をとって=kとすれば、2次関数と直線の共有点条件として、視覚化できます。kが1次の項にだけついている場合は、視覚化がもっとも強力です。

Principle Piece I-34

文字定数入りの方程式の解は定数分離で視覚化

(拙著シリーズ(白) 数学I 2次関数 p.48)


今回は接するときではなく、端っこが最小となります。接するときが範囲外ということと、相加・相乗で等号が成り立たないことは、実質的にはまったく同じ意味を表しています。

接するときか端っこかの議論では数値も汚く、途中計算はかなりメンドウですが、原則がこれだけ使える分、点数に結びつけたい問題でした。

※KATSUYAの解いた感想
データは計算メンドウそうなので、こちらを選択。r^2の式をたて、原則使いまくれるタイプと確信。やっぱこっちやな。やり終えて、「こっちもたいがい計算多いわ^^;」と感じた。どっちでもよかったのかも。解答時間19分。

 

 

第5問[II]・・・【データ分析】相関係数の計算など(B、30分、Lv.2)

こちらは選択[I]とはうって変わって、手法もへったくれもないただの計算問題です。データの中に未知数「x」が入った状態で相関係数を出すことになりますので、計算はかなり複雑です。

(1)はΣを展開すればOK。a,bはkに関係ないので、前に出しましょう。

(2)で相関係数を計算するために、分散や共分散を出しますが、全部(1)が使えます。「a_k-a」、「b_k-b」をともに「a_k-a」とみなしたりすることで、計算をサボりましょう。それでも、結構複雑な式です。

(3)はガチの計算問題。x→x+2に変えて、=で結んで解くしかありません。4次、3次の項は消えます。あとは、xが「たぶん1桁の整数だろう」という予想のもと、たすき掛けしましょう。

※KATSUYAの解いた感想
一応こっちもやっておくか。どうみてもただの計算やけど。(1)は瞬殺。(2)は81)を利用して計算。「x」1個入っただけで、こんなに複雑になるのね^^; (3)は式だけ見ると心が折れるな。とりあえず2乗して分母はらって計算。4次、3次の項がともに消えて安心。よくこんな数値設定できたな^^; 解答時間21分。

 

4.対策

頻出分野は整数、微積、確率です。まんべんなく融合してきますので、穴がないように対策しましょう。

一橋の数学は理系で出題されても難しいタイプの問題なので、理系並みの対策をとる必要があります。青チャートを早い段階で終わらせ、入試基礎入試標準レベルまでは行い、できれば仕上げ段階まで行いましょう。整数問題や確率・漸化式などは、旧7帝大の問題などで練習してても、ちょうどぐらいです。

一橋大は単科50年分のものがあります。ある程度演習をしたら、こちらを最新年度からさかのぼってやるのもアリでしょう。2005年までなので、これ以降は赤本で対策を。

 

 

量をこなす演習:じっくり演習=7:3もしくは、6:4ぐらいでもOK。

以上です^^

■他年度の、本大学の入試数学■

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>> 2015年度



■関連する拙著シリーズ■

★ 数学Ⅰ 2次関数 (第5問)

★ 数学A 確率 (第3問)

★ 数学A 整数 (第1問)

★ 数学II 三角関数 (第2問)

★ 数学II 微分 (第4問)

★ 数学B ベクトル (第5問)

★ 数学B 数列 (第2問、第3問)

バランスよく出題されてますね。

 

 

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