東北大学 理系 | 2017年大学入試数学

   

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●2017年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東北大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2017年 大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中はコメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

 

2017年大学入試シリーズ(国公立)シリーズ。
東北大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。





また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





東北大学(理系)
(試験時間150分、6問、記述式)

 

1.全体総評~時間のかかる問題、考える問題が揃っており難化~

昨年よりは難化。昨年が簡単でしたので、これで例年通りに戻った感じです。数学IIIは第5問、第6問から出題。第2問や第3問など、ただ地道に数え上げるだけの問題が2問続くというのが何とも言えませんが、全体的には質、量ともに普段の東北大という印象。

なお、数学IIIは、2年連続で複素数平面。三角関数+積分計算でした。



試験時間150分に対し、
標準回答時間は170分でオーバー。数えあげの問題も多く、時間をとられます。


2016年:135分
2015年:178分
2014年:185分
2013年:155分
2012年:170分
2011年:140分
2010年:200分

2.合格ライン

第1問はおさえたい。

第2問は結局数え上げるだが、比較的煩雑で差がつきそう。(2)はキー問題。

第3問も連続で数え上げ。時間だけがかかるが、諦めずに数えられたか。ともにキー問題。

第4問のベクトルは比較的簡単。(2)は最初何をするのか迷うが、取りたい。

第5問は(1)は取れる。(2)は抽象性が高く、方針が立ちづらい。

第6問は微積分で計算量は増えるがパターン。誘導も丁寧なので取りたい。


キー問題の片方がとれれば4完できて安心でしょう。60%強ぐらいでしょうか。

3.各問の難易度

第1問・・・【2次関数+図形と式】絶対値付き2次関数と直線の共有点の個数(B,25分、Lv.2)

絶対値付き2次関数と直線が3つの共有点を持つような条件を求める問題です。珍(1)で特殊な場合は先に調査をさせてくれていますので、比較的方針は立ちやすいです。

(1)は、いわゆる「関数の変わり目」を通るときです。素直に絶対値を外して方程式をとけば、解がx=ー2を含めて全部で3つでます。それが全部区間内に入っていることが条件です。

(2)は(1)の場合以外を調査します。(2、0)を通る場合と、それ以外です。それ以外の場合は、ー2<x<2で接すればOKですね。

 

※KATSUYAの解いた感想
2次関数かな。これは比較的簡単。(1)もあるしこの特殊なパターンを見逃すこともなさそう。特に原則を使うところもなく、あっさり終了。解答時間14分。

第2問・・・【確率】カードに書かれた数字と得点、条件付き確率(B、30分、Lv.2)

カードに書かれた数字を引いて得点を決める問題ですが。ルールが比較的ややこしく、(2)のためには結局地道に数えないとよく分からないという問題です。なお、文理共通で文系の場合は全部数え上げなくても出来ます。

(1)は3点を取る場合を全部書き出します。(0、1、2)(1、3、5)(2、3、4)です。2人ともこれを選ぶ場合から、2人とも0を含まないように選ぶ場合を引けばOKです。少なくとも1人が、、、ということなので、この方が分かりやすいですね。

Principle Piece A-9

 「少なくとも・・・」と言えるなら補集合で

(拙著シリーズ(白) 数学A 集合と場合の数p.24)

(2)は条件付き確率なので、定義にし違って計算します。

Principle Piece A-39

 条件付き確率 分母:「とき」の手前 分子:「とき」の前後

(拙著シリーズ(白) 数学A 集合と場合の数 p.32)

すると、分母としてAの方がBよりも得点が高い確率を出すことになりますが、これを調べるのに結局全部数えあげる必要に迫られます。対称性を利用し、(同点)の場合を引いて2で割ればOKですが、同点の場合を探すために全部必要です。

分子はAの得点が整数でなく、Bよりも高い場合です。分母のために数えているので、そんなに難しくないですね。

※KATSUYAの解いた感想
(1)は3点になる場合を調べて終了。(2)条件付き確率か。Aの方が得点が高い場合、、、結構地道な作業やな。同点の場合引いて2で割るか。それでも結局数え上げないとダメか。まあ根元事象でも20通りやから書くかな。コツコツ調べ上げて終了。解答時間17分。

 

第3問・・・【場合の数+整数】2次方程式の有利数解、整数解(B、30分、Lv.1)

今度は最初から数えあげを強いられることが予想される問題です。全て数えると210通りもあるので、さすがに大変ですが、(1)、(2)ともに、少なくとも b^2-4ac≧0 であることを利用すると、bの値で場合分けすればよく、比較的少なくてすみます。

ただし、その方程式が実際に有利数解をもつか、整数解を持つかまで調査しなければならず、20個以上の2次方程式を解くことになるので、少し煩雑すぎて良問とはいいがたかったです。

有利数解かどうかであればDが平方数かどうかで判断できますが、整数解かどうか調べるので、といたほうが早いと思われます。

※KATSUYAの解いた感想
また調査する系の問題?昨年もそうやったけど、数え上げる系の問題が多いな。さすがに作業が単調。(1)(2)ともに地道にただ調べて方程式解いて終了。 解答時間14分。

 

☆第4問・・・【平面ベクトル】三角形内部の交点、長さの最大値(B、25分、Lv.2)

平面ベクトルの問題で、これは本セットの中では最も取りやすいと思われますが、(2)は意外と難しいかもしれません。

(1)は三角形内部なので、もちろんこちらの原則です。

 Principle Piece B-35

 交点のベクトル:1-s、sを2つつくって連立

(拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.34-35)

 

今回は片方の線分にAが入っているので、実数倍の係数設定が可能です。なお、指定がないのでメネラウスの定理などでもいいでしょう。(2)は線分の最大値ということですが、線分の長さを出すには内積の情報が必要ですので、これを出すのは厳しいでそう。垂線ということなので、底辺ACが一定なので結局はAFCの面積の最大値ということになります。

面積であれば、全体の面積の比として出すことが出来ますので、これの最大値ということになります。求める式は1次式/2次式なので、相加平均・相乗平均が使える形に持って行けます。

 Principle Piece B-8 

 1次/2次 であれば相加平均・相乗平均が使える

(拙著シリーズ(白) 数学II 式と証明 p.19)

 

※KATSUYAの解いた感想
平面ベクトルかな。内分点と交点か。メネラウスにお世話になった方がはやそう^^ (2)は最初迷う。線分の最大値?内積の情報ないけど、、、垂線引いてるし、内積を設定する必要がある?線分最大なら面積最大か!全体との比を出すことでその比を最大にしろということね。解答時間18分。

 

☆第5問・・・【複素数平面】条件式を満たす複素数が2個であるための条件(C、30分、Lv.2)

複素数平面の問題ですが、昨年とは打って変わって非常に抽象的で、この設定ではかなり方針が立ちづらいかと思われます。

(1)は式の共役複素数をとって、引けばOKです。(2)は多少条件が加わりますが、それでも方針が難しいです。(1)で得られた式から、(α-β ̄)zが実数であると分かりますので、これをkとでもおいて、実数「k」としての方程式に帰着させられたかどうかです。複素数のままでは難しいところをどう解消するかがポイントでしたね。



※KATSUYAの解いた感想
複素数平面かな。(1)は共役とって元の式と引くだけ。(2)は何をすればいい?情報がかなり少ない。(1)で証明した式から(αーβ ̄)zが実数になると。αーβ ̄=0とそうでない場合で分け、実数に帰着できたな。実数に帰着できるかどうかがカギになりそうやけど、あまりないタイプの問題で難しいか。
解答時間19分。

 

☆第6問・・・【積分法+極限】指数×三角の積分、定積分値の極限(B、30分、Lv.2)

最後は数学IIIの積分です。今年も微積は、この1問だけです。指数×三角の積分がテーマですが、この積分についてはこちらの原則でいくのが最も効率的でしょう。

Principle Piece III-52

 三角×指数 の積分は相方を持ち出して同時に微分

(拙著シリーズ(白) 数学II 積分 p.19-20)


本問であれば、e^ax・sin bx も持ち出して、同時に微分します。微分した式を見て、e^ax cos ax だけが残るように辺々を計算すればOKです。これで不定積分を出してから計算したほうがいいでしょう。

(2)は明らかに指定の形がヒントになっています。三角関数の積の部分は、積和で変形しないと次数が下がりませんね。

 

Principle Piece III-50

 三角関数の積分 → 積和か半角で次数を1次に下げてから

(拙著シリーズ(白) 数学II 三角関数 p.14-16)


(3)は、さらに(2)を使える形にできればOKですし、さらに和積を繰り返して、直接出してもOK。(2)を使いたければ、sinA・sinBの形が欲しいので、前半2つと後半2つではなく、sintx・cos3tx などで積和を使いましょう。

極限自体はそこまで大したことはなく、三角関数はー1~1しかとれませんんから、はさみうちすればほとんどの部分が0になると分かります。

※KATSUYAの解いた感想
今年も最後だけ微積か。指数×三角は原則通りに計算。(2)も積和を使えば(1)に帰着可能。(3)はさらに(2)を使えそうやな。掛け算の順番を変えて積和で変形。極限は思ったより簡単に0が分かった。計算を正しくできるかどうか、を見てる感じかな。解答時間16分。

 

4.対策

たまに非常に難しいセットになることが多いですが。例年は標準レベルの問題が出題されます。ひとひねり加えられたり、融合的なものが多いですが、やることは典型的なものが多いです。

頻出分野は微積分、確率、整数問題、図形です。計算量が多いものも出ますので、素早く確実に解けるようにしましょう。

パターン問題を習得したあと、入試問題の表現に数多く触れることが大事ですね。最終段階は入試標準レベルでも大丈夫ですが、不安な場合は仕上げ段階まで行いましょう。

東北大は単科長年タイプのものもありますので、過去問対策はこちらでもいいでしょう。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^

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>> 2016年度


■関連する拙著シリーズ■

★ 数学I 2次関数 (第1問)

★ 数学A 確率 (第2問)

★ 数学A 整数 (第3問)

★ 数学A 平面図形 (第4問)

★ 数学II 図形と領域 (第1問)

★ 数学B ベクトル (第4問)

★ 数学III 積分法 (第6問)

★ 数学III 複素数平面 (第5問)

 

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