慶應大学薬学部 | 2017年大学入試数学

2017/02/11 2017/06/05

●２０１７年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は慶応大学(薬学部)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１７年　大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中はコメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

２０１７年大学入試（私大）シリーズ。

慶応大学(薬学部)です。

早慶が始まりました。ここからはさらに忙しくなりそうです＾＾；

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

慶応大学（薬学部）
（試験時間80分、4問、穴埋め型）

１．全体総評～2015年を底に難化傾向～

昨年より、微難化です。年々計算量が減り、煩雑さもかなり落ち着いてきましたが、昨年、今年と2年連続で難化し、計算量も増えたと言えます。１番の小問が大問より意外と手こずるので、うまく時間配分が必要なセット。場合の数、確率はかなり地道な調査が必要で、これが意外とキーになったかもしれません。

試験時間80分に対し、
標準回答時間は163分【110分】（←穴埋め考慮）　また全然足りなくなってきましたね。

2016年は149分【97分】（←穴埋め考慮）

2015年は123分【82分】（←穴埋め考慮）

２．合格ライン

第１問：（１）、（２）の前半、（３）、（４）の前半を確保したい。残りは時間との相談。
第２問：地道な調査が必要。こちらも時間との相談。
第３問：ストレートな典型問題で、全体を考えると落とせない。
第４問：キー問題。場合分けと状況の変化を落ち着いてつかめば、単純な２次関数と面積計算の問題。（３）（４）の方がとれるか。

第１問（２）と（４）後半、第２問、第４問の残りを、残り時間でどれだけ稼ぐか。

今年は６０％ぐらいでしょうか。昨年よりは低いと思われます。

３．各問の難易度

第１問（１）・・・【指数・対数＋整数】対数方程式を満たす整数解（AB、 13分【8分】、Lv２）

対数方程式に整数を絡めた問題です。KO薬としてはかなり簡単で、落とせません。対数方程式自体はおまけに近く、ｌｏｇをはずせばすぐにx、yの関係式にできます。

関係式は１次不定方程式で、１解をみつけずとも一般解が分かる形をしているので、すぐにx＝４k－２、y＝７k－５　とわかります。　２の累乗については、12乗＝４０９６　を知っているとほぼ計算は不要ですね。

２、３、５、６の累乗はある程度把握しておいたほうがいいでしょう。確率でも頻出なので。

☆第１問（２）・・・【図形と式】2円の内接、外接、共通接線、弦の長さ（B、 25分【16分】、Lv.２）

3円が絡む問題ですが、考察するのは２円の関係です。計算量は多めで、共通接線を小問の穴埋めにする辺りがKO薬らしいです。

Principle Piece II- 45

2円の関係 → 5パターンをマスター

（拙著シリーズ(白) 数学II 図形と式 p.37-38）

内接は「半径の差＝中心間の距離」、外接は「半径の和＝中心間の距離」です。円Pの半径「r」を導入し、ａとrの連立方程式を解けばOK。（１）で聞かれているのは「ａ」ですが、（３）で必要です。

（２）は共通接線。円Oが原点中心なので、接点を置いて接線の方程式を設定し、それと円Cの中心との距離が２という式を立て、接点がx＾２＋y＾２＝９を満たすことも利用すれば連立できます。４本の接線を出すならこれが最も速いとは思います。

しかし本問では、特定の１本のみを探す必要があります。接点の数値は比較的汚い上に解が4つでますし、おまけに円O、円Cの接点のy座標が負であるという条件まで探さなければいけませんので、この方法を選択するとツライと思います。記述でも30分を超えるレベルになってしまうでしょう。

平面幾何的に考えると、比較的簡単に傾きが１／７であるとわかります。

Principle Piece A- 90

2円問題 → 中心と中心、中心と交点、中心と接点は結んでおく

（拙著シリーズ(白) 数学A 平面図形 p.47）

最後は弦の長さなので、こちらの原則をストレートに用いるだけです。値は途中汚いですが、最後はきれいなのは、KO薬にしてはマシな方です。

Principle Piece II- 49

円から切り取る弦の長さは d と r と三平方

（拙著シリーズ(白) 数学II 図形と式 p.42-44）

☆第１問（３）・・・【数列】特定の条件を満たす自然数の列とその和（B、15分【10分】、Lv.２）

３でも５でも割り切れないものを並べた数列です。１～１５までで周期的に見つけられることに気づけば、あとはコツコツ計算するだけです。（１）でそれに気づかせてくれる問題がありますので、これは落としたくないです。

１、２、４、７、８、１１、１３、１４　が最初の８個で、あとはこれらに15を足していったものが並びます。８個おきに群数列とみなせば、最初の和は60、それ以降は120ずつ増えていきます。和が2000ということなので、和の公式に当てはめるのは大げさで、地道に足したほうが早そうですね。

なお、「地道に足す」というのは、この８個セットを足すということです。2000に近くなったら、１項ずつ調査しましょう。

第１問（４）・・・【複素数と方程式】２次方程式、解の存在範囲（B、20分【12分】、Lv.２）

２次方程式の解と係数の関係、および解の存在範囲の問題です。kが自然数という設定に気をちらされそうですが、逆にミングでこれを利用すれば比較的簡単に絞れます。

最初は解と係数の関係を利用するだけです。後半は、少なくとも正の実数解を１つもつという条件ですが、正負の場合に加え、２解が正を持つ条件を探します。普通はこちらでやります。

Principle Piece I-32

2解が正　D＞０、軸＞０、f(０)＞０

（拙著シリーズ(白) 数学I 2次関数 p.44）

ただし、本問の場合は、判別式などでまともにやるとkの４次式になるので、きついです。ここでkが自然数であることをうまく利用します。

正負の場合は、k＝１しかありません。また、kが５以上になると、方程式の係数は全て正となるため、正の解を持つことはありません。したがって、あるとしたらk＝１、２、３、４のみなので、あとは絞ればOK。ａ＋ｂはkの２次関数なので、あとは簡単ですね。

普通なら、正負の場合に加え、２解とも正のときも調べます。２解とも正のときは、普通はこちらでやります。

整数にいかにうまく馴染んでいるかが物を言う、差のつきそうな問題でした。

※KATSUYAの解いた感想
（１）は簡単。昨年は最初難しかったような。２の累乗はやっぱ知っておいたほうがいいな。（２）3円か。2円の関係を利用すればいいな。半径設定して連立。数値が嫌な予感。次はうわ、共通接線が小問か。４本あるから式ではやめよう。図形的に傾きと接点を出したほうがいいな。最後は弦の長さなので原則に従って終了。（３）は群数列的に出来そう。１5までかけばいけるな。2000か。書き出しでいって終了。（４）最初はさくっと。後半の条件について、正負のときはすぐに終わる。２解との正のときは、D＞０、軸＞０・・・いやちょっとまて、Dの式ややこしいからやめよう＾＾；　kが5以上なら全部正やからないんか。これで絞っちゃえばいけるな。解答時間計２５分。

第２問・・・【場合の数】正８角形の個数、周の長さの最小値（C、35分【25分】、Lv.３）

場合の数の問題ですが、かなり地道に数えなければいけないタイプで、普段の確率と違うので、逆に普段より差がつきにくいかもしれません。

（１）、（２）ともに地道に数えるしかないでしょう。穴埋めからしても一桁ですから、頑張って何回も図を書いて数えてもなんとかなる、と思ってやるしかありません。それでもがむしゃらに数えるのではなく、BDを数えたら次はBC、CからはD,E,Gに引いた場合と、アルファベット順に数えれば過不足なく数えられます。12個ありますが、GODEに関して全頂点は対称ですので、2個ずつ合同なものがあるはずです。

最後は周の長さです。種類としては６種類しかありませんので、6種類ともまともに数えましょう。穴埋めなので、

√２＝１．４１・・・、√５＝２．２３・・・、√１０＝３．１６・・・、√１３＝３．６１・・・

を代入して比較いきましょう。記述だとかなりメンドウそうですね＾＾；

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
うーわ、これは完全に地道に数えろって感じの問題やわ。確率と漸化式とかで対策とってきた人はかなりツライかな。逆に数えたモン勝ち？穴埋めからしてそんなにないはずなので、余白にどんどん正方形を書いて頂点をたどって書き出す。周の長さの最小値は、穴埋めも利用し、√１０、や√１３に係数が入るものを消去。残りだけで比較して終了。　解答時間17分。

第３問・・・【空間ベクトル】四面体（4点座標・３辺直交型）、三角形の面積、重心、交点（B、20分【14分】、Lv.２）

空間ベクトルに関する問題。本セットの中では穏やかなので、落とせません。

座標が書かれていますが、これが必要なのは面積の情報を処理するとき（（２）を解くとき）だけです。あとは内積が関係ないので、実は座標はほぼ不要。

（１）はただの重心を聞いています。内分・外分・中点、重心は、そのベクトルの始点を合わせることが大事です。g＝ａ＋ｂ＋ｃ／３（表記はベクトル）　のような覚え方しかしていないと、この程度でもつまづくおそれがありますので、要注意です。

CS＝CC+CB+CO／３　ということです。（表記はベクトル）

（２）は、APQの面積の情報から、AQ:AB＝３：４とわかりますので、ここで面積を使います。あとは座標も使いません。

最後は交点の扱いです。原則通りですね＾＾

Principle Piece B-54

直線と平面との交点３：直線上、平面上に始点がない

[1] 直線は１－ｕ、ｕ　の係数設定

[2] 平面上は１－s－t、s、t　の係数設定

（拙著シリーズ　数学IIB （原則のみ））

これで３元連立方程式を解けばOKですね＾＾

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
これは割と普通そうやな。最初はただの重心を聞いてるのね。（２）で図を書く。OABの半分の３／４倍やからそのまま比になるな。（３）は交点聞いてるだけか。じゃあもう座標いらないけど、置いてしまったので座標で連立。途中で計算ミスし、ケタがあわず修正。解答時間１１分。

第４問・・・【２次関数＋積分法】絶対値付き関数の最大値、面積の最大値（BC、35分【25分】、Lv.３）

絶対値付き関数の問題です。定数ａが入っていますが、関数自体は至って単純です。しかし、これが見かけより難しいので、手をつけて苦戦した人も多くいるかもしれません。

絶対値がついているのでもちろん中身の大小で分けます。どちらのグラフもxでくくれますので、残りの交点も出せます。ここで０とａ－１の大小の場合分けが必要（０≦ａ≦１なのか１≦ａなのか）であるとわかります。

（１）と（２）は、０≦ａ≦１のときについてで、関数の最小値ですが、０≦ａ≦１と１≦ａでは、交点の順番だけでなく、最小値を取る場所も変わるというのがポイントです。これに気づかないと、（１）と（２）はほぼ全滅になります。

０≦ａ≦１のときは、後半の関数には頂点が入りますので、その頂点で最小になります。最初私も気づかず、グラフの変わり目であるｘ＝ａのときとばっかり思っていました＾＾；

（３）は面積です。こちらはグラフの変わり目に注意するだけなので、区間を分けて計算すればOKです。０≦ａ≦１のtきは、０～ａとａ～１で関数が変わりますので、これで積分です。どちらもx軸の下なので、要注意。

（４）では、１≦ａ≦２のときも同様に計算します。今度は関数は変わりませんが、ａ－１で上下関係が入れ替わりますので、そこに注意。場合分けの境目でいろいろ変わるところが、本問の難易度を上げていますね。

増減表は（３）、（４）の場合をまとめて書いてしまいましょう。

Principle Piece II-102

場合分けをしても、増減表は１つにつなげてまとめて書く

（拙著シリーズ(白) 数学II 微分法 p.25）

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
定数入ってるけど、そんなに難しくなさそう。０と１－ａは場合分けがいるか。どっちも変わり目の部分が最小と思い込んで計算するも、ケタあわず。あれ、おかしいな。。。ちゃんと場合分け＋平方完成し、きちんとグラフを書いてみて、頂点が最小と分かる。ここも変わるんか。（２）もこれでクリア。（３）は面積。最初区間を勘違いし、ケタがあわず。x軸と囲まれた部分ではなく、０～１か。ミスったわ＾＾；（４）も同様に計算。穴埋めを利用し、（３）の式は形に合わないのが目にみえたので、（４）の式だけ微分して極値をとるxを探して終了。解答時間21分。ミスが結構かさなって時間とられた＾＾；