早稲田大学 理工学部 | 2017年大学入試数学

   

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●2017年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は早稲田大学(理工学部)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2017年 大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中は、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。



2017大学入試(私大)シリーズ。

早稲田大学(理工学部)です。





問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





早稲田大学(理工学部)
(試験時間120分、5問、記述式)

1.全体総評~全体的に差がつきやすい~

難易度は昨年よりやや難化ですが、それ以上に点数へ結びつきにくいセットかと思われます。第1問の複素数平面や第3問のベクトル、第4問も最初がわからないとほぼ全滅で、第5問は後半以降、捨てもんレベルの難問。マシなのは第2問ぐらいで下手すると4割を平気で切ってしまいそうです。



試験時間120分に対し、
標準回答時間は160分。 第5問でかなり時間をとっています。

2016年:135分 2015年:150分 2014年:135分

 

2.合格ライン

(全科目の合格最低点は、55%~60%程度)

確実に抑えられるのは第2問ぐらい。第5問は題材としても難しく、きつい。

第1問、第3問、第4問は、最初がわかるかどうかで明暗がくっきり。どれか2つを頑張って残り時間で押さえれたかどうか。


これで3完で60%ありますので、数学は合格ラインです。


3.各問の難易度

☆第1問・・・【複素数平面】反転による軌跡、領域(C、35分、Lv.3)

新課程の複素数平面からです。新課程になってから毎年出ています。題材も本格的でしょっぱなから難しいですが、良問です。

(1)は直線上の点に関する方程式です。直線は複素数平面の表現ではあまり扱わないので、ここから戸惑ったかもしれません。2点を通ることがわかっているので、基本的には2点を代入して連立です。

(2)は反転による軌跡です。これは典型問題です。w=1/z をz=1/wとして 条件式に代入します。

 

Principle Piece III-114

 w=f(z) の軌跡 → z=g(w) の形に直して条件式へ

(拙著シリーズ(白) 数学III 複素数平面 p.55-56)

 

(3)は、他の直線上の点についても、(1)、(2)の流れを利用して反転させ、領域を判定せよということです。「同様に」としたくなりますが、そこまで「同様」でもないので、全部やるしかないでしょう。 だした軌跡はすべて円になりますが、「内部か」「外部か」を判断することは難しいです。直線を境にして原点を含むほうが、反転した円の外側ですが(絶対値を考えてみましょう)、これはかなりハイレベル。


頂点を出せばある程度は予想が付きますが、その円のどちら(優弧なのか劣弧なのか)を回ってくるかは明らかではありません。

※KATSUYAの解いた感想
しょっぱなが複素数平面か。ここは今後毎年出しそうやな。直線はあまりやらないから、適度に差がつきそう。(2)はパターンなので原則通り。(3)は、残りの直線についてもやれと。結構答案量多いな^^; PRのときは実軸対称としたくなるが、そこまで明らかでもないので、一応やっておく。QRは実軸垂直やからz+zバー=1でいいか。領域は、原点を含むほうが外側のはずやからそのことを述べて、面積を出して終了。領域判断が難しめかな。解答時間19分。

 

第2問・・・【微積分総合】グラフの概形、絶対値付き積分の最大値(B、20分、Lv.1)

第1問に続いて数学IIIからで、微積分総合です。定数aが入っていますが、関数は比較的簡単で、計算するだけなので、本セットでは最も手が付けやすいと思われます。

(1)は概形を書くだけです。「増減を調べ」なので、凹凸はまあいいでしょう。無限大での極限は書いておいたほうがいいと思いますが、いわゆる x/e^x の極限は無限大でゼロになることの証明までは不要とみなしていいでしょう。ここは空気を読むしかありません。

(2)は絶対値付き積分ですが、場合分けをする必用はありません。上下がx=2/aで変わることにさえ気づけばOK。先にf(x)の不定積分を出しておくと代入するだけなので、ラク。

積分は部分積分ですね。

Principle Piece III-45 

 部分積分の優先順位 指数=三角>整式>対数

(拙著シリーズ(白) 数学III 積分法 p.9)

 

(3)は、(2)の式を微分して増減表を書くだけ。(2)の式はややこしく見えますが、aが入っている部分だけを取り出すとかなりラクでしたね。

※KATSUYAの解いた感想
これはただの微積計算。絶対値ついてるけど、場合分けいらんな。ほんとに計算だけだわ。(3)は微分。でもほとんど係数にaはいってないわ。変数だけ取り出せばOKか。これは落とせんな。解答時間12分。

 

☆第3問・・・【空間ベクトル】四面体の体積比、内接球の中心を表すベクトル(BC、30分、Lv.3)

空間ベクトルの問題ですが、文字定数ばかりが入っていて一般論のため、ベクトルが苦手な人にはかなりキツイと思われます。

まず、(1)の(i)はさすがにいいでしょう。ABCを底面とみたとき、高さの比がそのまま体積比になります。「t」は正の数とは限りませんので、絶対値をつけるのを忘れずに。

ポイントは(1)の(ii)です。これの意図が見抜けないと、ここから先はほぼ全滅です。実はADの係数「d」以外は、体積比には全く影響がないということです。bAB(→)+cAC(→)分だけ移動しても、ABCに平行な平面上で移動しているので、ただの等積変形になります。立体での等積変形はあまりやらないので、差が付いたかもしれません。

(2)は、まずAを始点に書き直します。ベクトルでは、とにかく適切な始点を選んで、差の形に書き直すことが最も根本的かつ重要な原則です。

Principle Piece B-25

 ベクトルの引き算は始点合わせの公式

(拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.9)

また、空間ベクトルでは、3つの基本ベクトルを決めると見通しが立ちます。これまでの流れからして、明らかにAが始点のほうが都合がいいですね。

Principle Piece B-50

 空間では、基本のベクトルを3つおく

(拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.62-63)

そして、これのADの係数だけを見れば、ABCDとABCIの体積比は分かりますので、そこから高さrを出せますね。(3)はさすがに「同様に」でもいいような気もしますが、その一言で済ませると(2)と(3)を分けている意味がなくなるので、もう1点ぐらいはやっておいた方がいいかもしれません。

「ABDIの体積比を求める場合は、ABDを底辺と見たときの高さの比だから、(1)の(ii)と同様にACの係数だけを見れば分かるので、そこから高さを計算できる」といったやり方だけを書いておいて、「他も同様」とすればいいでしょう。

※KATSUYAの解いた感想
問題を見てOIの式がまず目に飛び込む。内接球の中心は面積比を係数にもつってことを示す問題と見た。背景が分かるのでたぶんいける。(1)の(i)は瞬殺。(ii)は、、、等積変形で結局dADだけ関係するな。なるほど、これを使ってIで分割される4つの体積を出して、高さがみんな同じといいたいわけね。これはうまい流れやな。良問。解答時間15分。

 

第4問・・・【確率+数列+式と証明+微分】帰納法、和の計算、二項定理、最大値(BC、30分、Lv.2)

4分野融合の問題です。といっても、確率部分は空気に等しいので、実質は3分野融合です。質の高い勉強をしている人には方針が立ちやすく、付け焼刃では到底太刀打ちできなおレベルで、差が出そうな良問。

(1)と(2)は、もう少し表現が丁寧な方がいいような気がします。(1)で「値を求めよ」なので、ここで「1」と解答し、(2)実際に式を変形してtをaで表すという流れにも読めますし、(1)でまずちゃんと式変形して、(2)ではそれが「1」と等しいから、tをaで表すという流れにも読めます。どっちでもいいとは思いますが。

いずれにしろ、式変形をするには、まずP_k(t)予想をする必要があります。予想が出来れば帰納法ですね^^

Principle Piece B-23

帰納法は次の場合に有効

 [1] 自然数に関する証明 [2] 結果が分かっている or 推測できる

(拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.50-57)

 

一般項には二項係数(組み合わせ記号)が入ります。そのシグマ計算は、二項定理です。

Principle Piece A-22 

 nCr の和と二項定理は結びつく

(拙著シリーズ(白) 数学A 集合と場合の数 p.51 ※今は数IIに入っている単元です)


これに気づけば、最後までそこまで詰まるようなことはないと思います。(3)は「t」の式だけにして微分して増減です。
(4)も(3)に続きます。その値を入れて計算すれば、また二項定理と結びつきます。nなのかn-1なのか、といった「1つずれ」に注意。

※KATSUYAの解いた感想
ん?確率?いや、なんか確率ではないな。(2)を見るに、足すと1になることだけ使いそう。(1)は「値を求めよ」やったら、「1」って書いていいんかな^^; (2)で証明すればいいか。まずはk=3ぐらいまでやってみる。予想がついたので帰納法。これの和やから二項定理やな。(3)は微分増減。(4)はまた同じようなことをやらされる。二項定理に発想がいなかいと全滅って感じで、ちょっときついかな。解答時間18分。

 

☆第5問・・・【複素数と方程式+三角関数】解の巡回、3次方程式の解を三角関数で表す(CD、50分、Lv.3)

3次方程式の解の循環に関する問題です。「なんじゃそりゃ」と思うかもしれませんが、それなりに存在感のある題材です。

97年の都立大に、聞き方は異なりますが、全く同じ方程式で巡回を題材とした出題があります。また、同じ早稲田理工でも、別の方程式で2006年に出しています。こちらは、本問と誘導の仕方は似ています。(内容は違いますが)

それを知っていたとしても、本問はかなり難しいです。そして知らなかったら、なおさら難しいです。本セット最難問といえます。

(1)は解き方は複数考えられますが、とりあえずf(g(α))を計算して分母を払った式が、f(α)=0という条件下でで常に成り立つ条件なので、連立してから恒等式として解いて、それが実際に満たすことを確認するといいでしょう。(2)は(1)が出来れば出来ます。ー2~2の間で適当な値を計算し、正負が入れ替わっていけばOK。

(3)からが激ムズです。解の巡回をしっていれば、g(g(α))、g(g(g(α))) などを計算して、α、-1/α+1、ーα+1/αの3種類しか出てこないことを確認し、どれがどれに当たるかを予想すればいけます。2cosθ=αとすれば、倍角の項式で2cos2θ=α^2-2 です。これが-1/α+1 になるなら、(α^-2)(α+1)=-1 になるはずで、実際に解αであればこれは成り立ちます。したがって、これを逆に書けば出来ます。2cos3θも同様です。

(4)は、(3)を利用しますが、ここまで出来ても意外と難しいと思います。変換の仕方によって、結局cos4θとcos3θが等しいことを示さないと最後までたどり着けないでしょう。

全体にわたって原則も使えるところがほとんどなく、捨て問レベルです。

 

 

※KATSUYAの解いた感想
巡回ネタか。あれ、前も出してたけど、あれ理工やったよな。何年かは忘れた。あと都立大か。とりあえず(1)は上記方法で終了(2)は適当に値を代入x=ー2、ー1、0、2で入れ替わるな。(3)をやるには、g(x)をどんどん変換する必要がありそう。g○g○gの合成3回で循環することを確認、2θのほうがgで、3θのほうがg○gと予想し計算してドンピシャ。(4) gとして2回使うとθ→2θ→4θ、g○gとして使うとθ→3θ ってことは、4θと3θのcosが同じってことね。これ、巡回するって知ってないと無理なのでは?解答時間24分。

 

4.対策

新課程の複素数平面を含めて、5問中3問が数学IIIです。この構成は昨年と全く同じです。残りはあまり傾向が固定されませんが、確率は比較的多いようです。

IAIIBは2年生の段階で出来れば青チャートを終え、3年生では入試演習で徐々にレベルを上げたいところ。IIIもなるべく早い段階で入試演習にきましょう。

過去問はもちろんですが、国立と併願の場合は、国立の2次対策がそのまま対策になると思います。入試標準演習までは最低でも行い、より高得点をめざすなら仕上げ段階までいっておきたいですね。

量をこなす演習:じっくり演習=6:4ぐらいですね。

以上です^^

■他年度の、本大学の入試数学■

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2010年度

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>> 2016年度



■関連する拙著シリーズ■


★ 数学A 確率 (第4問)

★ 数学II 式と証明 (第4問)

★ 数学II 複素数と方程式 (第5問)

★ 数学II 三角関数 (第5問)

★ 数学B ベクトル (第3問)

★ 数学III 微分法の応用 (第2問、第4問)

★ 数学III 積分法 (第2問)

★  数学III 複素数平面 (第1問)

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