【後期】九州大学 理系| 2017年度大学入試数学

   

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●2017年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は九州大学(理系)【後期】です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^
2017年 大学入試数学の評価を書いていきます。

 

【お知らせ】
3/12~3/19 まで所用で海外にいたため、後期のエントリー、コメントの返信が遅れています。現在までに頂いているコメントはほぼ返信いたしましたので、ご確認ください。

 

 

2017年大学入試(国公立)シリーズ。
九州大学(理系)【後期】です。



問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、
典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





九州大学(理系)【後期】
(試験時間120分、5問、記述式)

1.全体総評~最後以外は手が付けやすく易化~

昨年より易化です。最後は難しい論証問題が入っていますが、それ以外の大問は手が付けやすく、昨年より計算量も減り、点数には結びつきやすいセットとなっています。昨年は5問中4問が数IIIでしたが、今年は2問が数IIIでバランスがとれた出題です。



試験時間120分に対し、
標準回答時間は140分。


2016年:160分
2015年:125分
2014年:150分

 

2.合格ライン

1番~4番は手が付けやすいので、ここで取れるところをしっかり取りたい。3完は欲しい。5番は(1)止まりになる可能性が高いです。


65%ぐらいでしょうか。

3.各問の難易度

第1問・・・【微分法の応用&極限】2法線の交点、長さの極限(B,20分、Lv.1)

最初は比較的簡単です。法線の式を2つ求めて交点を出し、距離の極限値を求める問題です。

(1)は交点を求めます。同じ形をしていますので、√q-√p でくくれることを視野にいれて式変形していくと見通しがいいです。(2)はただの距離公式ですが、傾きを利用して計算すると楽です。極限は特別な操作は必要なく、ただqをpに変えるだけなので、おまけです。

 

※KATSUYAの解いた感想
ただ交点出すだけだよな。(2)の極限もなんの式変形もなく、ただ置き換えるだけか。解答時間10分。

 

☆第2問・・・【確率】サイコロ4個の目と確率(B、25分、Lv.2)

サイコロを4回投げ、1、2、3回の目の最大公約数の倍数の目が4回目に出る確率を求めます。条件的には計算で出すのは難しく、ある程度は調査をする必要がありますので、試験としては適度な難易度と言えます。

1~6の目を3回出したときに、最大公約数の候補はもちろん1~6です。調べていくと、圧倒的に「1」になるときが多そうなので、先にそれ以外を調べていく、という発想に行き着けば、本問は勝ちでしょう。

  ※KATSUYAの解いた感想
とりえあず1が入ってればGCM1やから、dは何でもいいな。でも2、3、4とかでも1になるな。まてよ、1以外を先にし調べて、1になるときは余事象で考えればいいのか。方針がたったらあとは調査して終了。解答時間10分。

 

☆第3問・・・【空間ベクトル】平面と直線の共有点、三角形の面積(AB、20分、Lv.1)

今年も後期の3番は空間ベクトルです。昨年は少し受験生に意地悪な問題でしたが、今年は反省したのでしょうか。比較的穏やかになりました。

(1)のE,Fは楽勝です。GはBC上の点を「係数1-t、t 」で設定して、x=3/2となるようにするだけです。Hも同様です。平面と直線なので、こちらの原則に従ってコツコツ連立するだけですね。

Principle Piece B-54

 平面上の点:1-s-t、s、tの係数 直線上の点:1-u,uの係数

(拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.70-71)

 

(2)は(1)で座標が出れば、面積公式に当てはめるだけです。今年は昨年よりかなりラクになりました。
 ※KATSUYAの解いた感想
昨年の気分の悪さが蘇る九大後期のベクトル。また空間か。問題文をざっと読む。いや、これはいたって単純なのでは?計算がまたややこしいかな。とりあえず原則に従って交点を全て出す。そこまでしんどくはない。(2)の面積も公式に当てはめるだけ。教科書レベルとまでは言わないが、これは簡単。解答時間10分。

 

☆第4問・・・【微分法&微分法の応用】グラフの増減、凹凸、概形、極限(B、25分、Lv.2)

文字定数「k」を含む関数について、グラフの概形を書く問題です。関数の見た目は少しややこしそうに見えますが、グラフはいたって単純です。直線も含めて3つもグラフの概形(増減、凹凸あり)を書かせるあたりは、若干時間稼ぎにも見えなくはないですが、、、

(1)は微分するだけです。所詮、(ax+b)^n の形をしているだけだと見抜ければすぐに出来ますね。

(2)もくどいですが、コツコツ場合分けして調べるしかありません。k=0のときも増減、凹凸を調べるのかといいたくなりますが、直線かどうか不明な状況が前提なので、概形が合っていればOKでしょう。なお、0<k<1のときと1<kのときもそこまで大きく概形は変わりません。

(3)は単独で出来ます。与えられている式からも、e絡みの極限と見えますので、こちらの原則に従います。

Principle Piece III-26

 指数の極限 (1+●)^1/● の●を合わせる

(拙著シリーズ(白) 数学III 微分法 p.22、一部省略)

今回は、●の部分がー(1-k)xなので、ムリヤリそれに合わせます。調整するためには、さらに指数部分に(ーx)をかければOKですね。

※KATSUYAの解いた感想
関数はなんかややこしそうやな。(1)で微分してみて、そうでもないと判断。(2)3つもグラフ書くんか。k=0は直線やな。増減凹凸とは大げさやけど、とりあえず書く。残りもコツコツ調べるだけ。微分結果はほとんど変わらんけど^^; (3)は単独やな。e絡みってところやな。原則に従って終了。解答時間16分。

 

☆第5問・・・【微積総合】媒介変数表示、面積(CD、50分、Lv.3)

フィボナッチ数列を題材にした問題ですが、すべて論証問題で、(2)(3)はかなり難易度の高い論証です。

(1)はなんとかなるでしょう。各項が正(ほぼ明らかとしてよいハズ)→漸化式から{a(n)}は増加数列でa(n+1)>a(n)→a(n+2)=a(n+1)+a(n)>2a(n)  が最もスッキリしますね。

(2)からは難しいと思います。帰納法を用いてとありますが、m以下を全て仮定し、m+1を証明するという、現在完了法的な方法で証明するタイプです。また、mを表す際にa_1やa_2を用いている可能性もあるので、m+1の1をa_1に変えればいいわけではないので、難しいです。m+1を超えないフィボナッチの最大項を持ってくれば、残りはm以下で、かつ最大項未満なので完了法の仮定から和で表せますね。

(3)はさらに難易度があがります。(2)の際に(1)を用いていないので、(1)を用いるのだろうという発想がまず必要。また、(2)における表し方も一通りではありませんので(例:5=a_4+a_3=a_4+a_2+a_1)、最も数を稼げるのがいつかを考えるのが妥当でしょう。

フィボナッチの項ー1(例えば m=a(n+2)-1)のときは、a_1+・・・+a_nまでの項の和になり、足している項は小さい項からn個になりますので、これが最大です。これと(1)の不等式を等比数列的に用いると、題意の不等式が得られます。

発想が必要な部分がいくつもあり、非常に難しい論証だったと思います。
※KATSUYAの解いた感想
フィボナッチか。(1)は自然数項で増加数列を言えばいいな。(2)はどうすればいい。とりあえず3~15ぐらいで和で表してみて、完了法的に証明できそうと判断。上記方針で証明完了。(3)は個数の評価か。(1)使いそうやけど、まずkが大きくなるのがいつかを考えるしかないな。小さい方からできるだけ足すと、、、あ、これでいけそうやな。個数と項がつながったので、これで評価して終了。解答時間32分。

 

4.対策

九大は、今年はちょっと難し目、というより計算量の多い問題が目立ちましたが、手法としては標準的なものが多く、問題文から適切に解釈できれば、それらの組み合わせで解ける問題です。教科書程度ではもちろん足りませんが、一通りの手法を終了させたら、入試基礎レベルへ移行し、その後、もう少し手間のかかる問題の演習へと進みましょう。

なお、今年の最後のような論証が九大では散見されますが、これが出来るようになることよりも、取れる問題でしっかり取ることが大事です。



量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^
■他年度の、本大学の入試数学■

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■関連する拙著シリーズ■


★ 数学A 確率 (第2問)

★ 数学B ベクトル (第3問)

★ 数学B 数列 (第5問)

★ 数学III 微分法 (第4問)

★ 数学III 微分法の応用 (第1、4問)

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