千葉大学 全学部 | 2017年度大学入試数学

   

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●2017年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は千葉大学です。前期最後になります。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^ 2016年前期の大学入試数学の、最後の評価になります。


2017年大学入試(国公立)シリーズ。
千葉大学です。

 

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





千葉大学
(全12問、試験時間・解答問題は学部による)



時間、解答問題が学部によりますので、総評および合格ラインについては、なしとします。ご了承ください。各学部および、指定された問題は下記のとおりです。

【数学IA】・・・1、2、3、4 で90分
【数学IAIIB】・・・2、4、5、6で90分または2、3、4、5、6、8で150分
【数学IAIIBIII(医学部)】・・・5、7、9、11、12で120分
【数学IAIIBIII(理学部数学科)】・・・5、7、8、9、11、12で180分
【数学IAIIBIII(上記2つ以外)】・・・5、7、8、9、10で120分

 

1.各問の難易度

☆第1問・・・【2次関数】三角形の面積の最大値(B,15分、Lv.1)

2次関数の図形問題への応用で、面積の最大値に関する問題です。面積に絶対値と定数が入り、場合分けの必要がありますので、うまく設定されています。

図形の様子はすぐに分かります。高さが「2t」になることは分かりますが、底辺はaとtの大小が分かりませんので、絶対値がつきます。

(1)はaが分かっており、絶対値も外せますので、簡単に分かるでしょう。(2)は場合分けです。最大値は頂点の場所なのか、端っこのt=1のときかで分かれますので、それが等しくなるときをまず求めて、それを境目に場合分けをすればいいですね。

基本的には、2次関数の最大・最小は頂点の議論で場合分けをします。絶対値が入っている場合は、端っこに気をつけましょう。

Principle Piece I-26 

 頂点議論は3パターン、両端の議論は2パターン

(拙著シリーズ(白) 数学I 2次関数 p.29)

※KATSUYAの解いた感想
図形か。面積を求めて、2次関数の問題と判明。絶対値がついて定数入りか。設定がシンプルで、問題としてはうまいな。頂点とt=1の値の大小で場合分けして終了。解答時間9分。

第2問・・・【三角比 or 三角関数】三角形の面積の最小値、三角方程式(B、25分、Lv.2)

第1問に続いて三角形の面積に関する問題ですが、今度は角度の設定がありますから、三角比の問題です。数学IIの三角関数の知識を用いた方が速そうなタイプで、三角比としては難易度が高めです。

(1)はPQを底辺を見て求める場合と、AP,AQを用いて求める場合で変わります。もちろんどちらで答えてもOKでしょう。

(2)ですが、(1)でどちらの答えを用いたとしても、数学IIの知識が大きく有利になる式です。前者の場合は相加平均・相乗平均の関係を用いる形をしています。

Principle Piece II-8 

 相加平均・相乗平均の関係が使える形を把握しておく

(拙著シリーズ 数学II 式と証明 p.19)

数学Iの知識で抜けるにしても、この関係により最小値が3であることがわかった上で、式から3を引いて平方完成(因数分解)するしかないでしょう。

後者の形の場合は、倍角の公式を使えばすぐにわかります、数学Iの知識で抜けるなら、分母のsinθ・cosθについて2乗し、1文字にすることになります。2乗なら乗り換えは自由です。

Principle Piece II-64 

 sin、cosの2乗は乗り換え可能

(拙著シリーズ 数学II 式と証明 p.17-18)

(3)も、どちらの形に置いているかで解法が別れます。前者はtanだけの式で置いていますので、2次方程式に帰着でしょう。後者の場合は、sinθとcosθの関係がわかりますので、相互関係と合わせて連立です。

※KATSUYAの解いた感想
三角比かな。設定はシンプル。面積を求めるも、明らかに倍角を使いそうな式。まあ使ってもいいだろうと判断し、(2)までそのまま終了。(3)も相互関係と連立。数学Iの三角比だけで解くのは比較的しんどいと思われる。解答時間15分。

 

☆第3問・・・【整数】3、9の倍数であることの証明(B、20分、Lv.2)

倍数証明問題です。(3)は少し工夫が必要ですが、全体的には標準レベルです。

(1)は3で割ったあまりで分類して答えるか、合同式でもいいでしょう。3k±1のように場合分けすると、作業量が半分で済みますので、ベンリ。

 

 

Principle Piece A-56

 余りで場合分けする際は、●k±1 などの対称性を利用する

(拙著シリーズ 数学A 整数 p.23)


(2)はa=b+3k とおいて計算すると9でくくれますので、これもOKです。

(3)は少し工夫が必要で、(1)(2)を両方つかうとすんなりいきます。因数分解してa-bが3の倍数のときは(2)から3の倍数。そうでないときは、(1)を利用すると a^3ーb^3=a^3-a-(b^3-b)+(a-b)と変形でき、前2項が3の倍数のため、3の倍数にならないということです。少し発想力が必要です。

なお、(1)の利用が思いつかなくてもできます。因数分解したときのもう片方「a^2-ab+b^2 」が3の倍数になるとき、a,bを3で割ったあまりがどんなときかを調べます。合同式等を用いれば9通りぐらいはすぐに調べられますね。

整数問題の基本は全調査です。「9通りもあるのか」と思うのか、「たった9通り調べれば出る」と思うのかで、整数問題の出来が分かれます。なお、9通り調べても、本問は8分程度で出来ます(実際に私が8分で終了しています)。

※KATSUYAの解いた感想
(1)は合同式、(2)はa=b+3kで即終了。(3)は(1)の使い道がわからなかったので、(2)だけ用いて9通り調査。結局a,bのあまりが等しい時となり、このときはa-bも3の倍数となって終了。解答時間8分。

 

 

 

第4問・・・【確率】サイコロ3個の目と得点の最大値・最小値、確率の最大値(AB、15分、Lv.2)

第7問と共通で、(2)までです。第7問をご覧下さい。千葉大が好きな全調査パターンですが、(2)までの4番は大分マシ。

 

※KATSUYAの解いた感想
詳細は第7問へ。(2)までで解答時間8分。

 

 

☆第5問・・・【ベクトル】正n角形、内分比、面積比(B、25分、Lv.2)

今年も5番がベクトルで、平面ベクトルでしたが、昨年より難易度が下がっています。

正n角形は一部だけを取り出し、詳しく見てみましょう。長さなどはすぐにわかるはずです。今回は2切れ必要ですね。

 

 

Principle Piece I-49 

 正n角形の問題はピザひと切れをピックアップ

(拙著シリーズ(白) 数学I 三角比 p.32)

(2)は平面における交点問題ですから、こちらの原則がそのまま使えます。

 

 Principle Piece B-35 

 交点のベクトルは 1-s、sの係数を2つ作って連立

(拙著シリーズ(白) 数学I 三角比 p.34-35)

求めた「t」は、kで表されていますので、あとはkの評価だけで済みます。微分は大げさです。

 

(3)は、A1A2A3A4が台形であることを利用すると、比較的すんなり「t」で表すことが出来ます。2次/1次なので相加平均・相乗平均の関係を使いたいところですが、範囲が指定されていることと、等号が成り立たないことを考えると、おそらく等号が成り立つ「t」は範囲になく、ハズレと予想できます。素直に式から1/12を引いて因数分解しましょう。

相加平均・相乗平均の関係が範囲限定のせいで使えないときは、左辺から右辺引くとたいていうまくいきます。範囲が指定されているということは、因数分解のはずです。

 Principle Piece II-6 

 不等式の証明1 条件があるなら因数分解形へ

(拙著シリーズ(白) 数学II 式と証明 p.16)

 

※KATSUYAの解いた感想
平面ベクトルか。正n角形とはちょっとややこしそうな予感がするも、密集した一部分しか見てないので、ピックアップして(1)はすぐに解決。(2)も原則通り。(3)の比も相加平均・相乗平均の関係使え、、、ないかな。等号成り立ってないし。じゃあ引いて終了。解答時間14分。

 

☆第6問・・・【微分法+図形と式】3次関数の接線の本数、領域内における最小値(B,25分、Lv2)

6番が今年も微分。3次関数に引ける接線の本数で、典型問題。拙著シリーズ(白)にはほぼそのまま同じ問題を収録しています(数学II:微分 2冊目)。

 

接線の本数は、接点を「t」とおいたときの「t」の実数解の個数に帰着されます。

 

Principle Piece II-109

 接線の本数は接点をおいて解の個数へ帰着

(拙著シリーズ(白) 数学II 微分(2冊目) p.8-10)

境界線として、もとの関数の他にy=ー3xが出てきます。これは変曲点における接線で、もとのグラフと3重解を持ちます。この事実を知っておかないと、領域がうまくかけない場合もありますので、知らなかった人は頭に入れておきましょう。

(2)は領域の最大・最小の問題なので、=kにしてぶつかるところを調べればOKです。今回は接点になりますね。

Principle Piece II-59

 領域内の最大・最小 曲線が含まれているときは接点も候補に

(拙著シリーズ(白) 数学II 図形と式 p.61-62)


※KATSUYAの解いた感想
問題作成経験があるため、作業レベル。ただ答案は長い。(2)は領域の最大・最小なのでこちらも原則通り行って終了。原則のオンパレードやから、サービス問題^^解答時間16分。

 

第7問・・・【確率】サイコロ3個の目と得点の最大値・最小値、確率の最大値(BC,30分、Lv2)

4番と同じ問題で、(3)が追加されたバージョンです。ルールに従ってサイコロを3回投げたときの点数を調べるものです。

(1)最低点は1、1、1で1点、最高点が4、5、6で15点であることはいいでしょう。(2)も、慎重に調べればできるはずです。6、6、6を忘れないように。

(3)は、千葉大お得意の全パターン調査問題です。ルールも単純ではなく計算だけで求めるのは不可能です。全得点について、調べる意外に方法はないでしょう。2個の目が得点にある場合は並べ替えが3通り、3個とも得点になる場合は並べ替えが6通りあることに途中で気づかないと、216通り調べるハメになりますので、気づいたかどうかが分かれ目。

1点~15点全てで調査したあとは精神的に参っている可能性もありますが、かならず足して確率が1(全部で216通り)になるかどうかを確かめましょう。

 

 

 

※KATSUYAの解いた感想
ルールを見たとき、ある程度は調査をするのだなと覚悟。(1)はさくっと。(2)は1個、2個、3個が特典になる場合でわけて調べる。(3)・・・マジ?全部調べろってこと。結構キツくないか^^; でも明らかにそれ以外に方法がなさそうなのでとっとと全部調べることにする。最大になるときがたくさんある上に足して216通りにならず。うわー(>_<)どっか足りないんやな。もう一度見直し、(1、2、6)で9点になるのを抜かしていた。これで9点が最大になり、216通りににもなったので、終了。解答時間16分。(3)は結局8分。意外とかからない。迷っている暇があったら手を動かせってことやね。

 

 

 

第8問・・・【微分法(II)or微分法の応用(III)】4次方程式の実数解の個数(B,30分、Lv.2)

今年はここまで数学IIの問題で、微分法でした。放物線上における2点と原点で出来る三角形の面積に関する問題です。(1)、(2)は設定に合わせて座標を決めて条件式と合わせればすぐにできるはずです。面積は1/2|ad-bc|を使うと早い。

 

(3)はS=1になるとき、ということですが、√が入っていたり分数が入っていたりで、整理すると4次式になります。計算過程は比較的煩雑です。個数だけを聞いているということで、おそらく具体的な値は出せない(因数分解はできない)と予想されます。tだけをくくりだして、残りの3次関数はグラフとの共有点の個数として出すと気づければ、最後までいけたでしょう。

 

しかし、(2)はまた別の特徴のある式で、こちらの形が見抜けたかどうか。同じことを何回もさせているわけではないのは、さすが千葉大、って感じですね。

 

なお、(3)はSの式をそのまま微分して増減を調べ、1になるものが何個あるかを調べるという方法でもOKです。

 

※KATSUYAの解いた感想
(1)(2)はすぐ終了。(3)は・・・うーん、整理するのに時間かかりそうやな。整理した式を見て、なんとんく間違っている気がする。4次のまま解の個数を判断するのはかなり難しい。微分してもさっぱり。面積の式をもう一度見直し、計算間違いを発見。また(3)をやり直し、今度は定数項が消えるのでこれで行けるハズ。3次式側だけ微分して増減やな。解答時間24
分。

 

 

 

☆第9問・・・【複素数平面】1次分数変換、軌跡(C,30分、Lv.2)

新課程の複素数平面は、2連連続の出題となりました。今年は図形が絡むタイプです。

1次分数変換のタイプなので、基本的にはこちらの原則となります。

 

Principle Piece III-新12

 w=f(z)の軌跡  z=g(w) になおして、条件式をそのまま代入

(拙著シリーズ(白) 数学III 複素数平面 p.55-56)


(1)、(2)ともにこれを用いることになりますが、(2)は文字がr、αの2文字ともあるので、文字計算を相当量強いられることになり、この方法ではダメなのでは?と投げた人もいるかもしれません。結局そのまま根気よく続け、w、やwバーの係数が0になるようにすればOKでした。

※KATSUYAの解いた感想
1次分数変換やから原則に従って逆手流。(2)も同じか。文字が多くて煩雑なのはまあ仕方ないかな。千葉大のIIIは結構かかるし。原点が中心になるということは、真ん中の係数が0になればいいから、それを利用して終了。解答時間16分。

 

 

第10問・・・【微積分総合】2曲線が接する条件、面積の最大(BC,25分、Lv2)

微積分総合問題で、12番の一部です。12番で詳しく述べます。 (3)まで、12番と共通。12番には(4)があります。

※KATSUYAの解いた感想
(3)までで解答時間16分。

☆第11問・・・【数列+極限】特殊な漸化式、無限級数(BC,25分、Lv.2)

特殊な漸化式で与えられる数列です。なお、つくり方は異なりますが、同じ数列を題材とした問題が、今年横国大理系でも出題されています。

(1)である程度つくり方の予測をさせるのでしょうが、あまり(2)にはつながらないかと思われます。(2)を求める際には、やはり条件の漸化式をいじる必要があります。Snが混じっている式なので、こちらの原則でしょう。

 

Principle Piece B-18

 Snとanの漸化式 1つずらして辺々引く

(拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.38-39)

 

この原則のポイントは、Sn-S(n-1)=an と出来ることです。シグマの式が分母にあると困るので、分子に引っ張り出してくるために漸化式を式変形すれば見えましたね。

(3)は(2)の式変形の途中で出てくる関係式が、f(n+1)-f(n)の形をしているので、望遠鏡型です。

Principle Piece B-7 

 数列の和の求め方 

 [1] シグマの項式(k,k^2,k^3)

 [2] 等差×等比 は(1-公比)S

 [3] それ以外はすべて望遠鏡型へ

(拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.23-24)

あとは、an-1が∞になることを言うだけです。感覚的には明らかですが、証明が少しメンドウ。

(2)の式を利用して、a_n+1-1=a_n(a_nー1) を示し、繰り返し用いて a_n+1-1=a_1・a_2・a_3・・・a_n(a_1-1) まで持っていき、増加数列であることを示した上で2・2・2・・・2よりも大きいと言えばいいでしょう。

 

※KATSUYAの解いた感想
(1)で2、3、7、・・・またこの数列か。どっかで見たな。こんな漸化式でも出来るんやな。(2)は辺々引きたいから、シグマを分子に持ってこないとな。(3)は原則に従い、望遠鏡型で部分和を出す。a_nが∞になることを上記方針で示し、終了。解答時間14分。

☆第12問・・・【微積分総合】2曲線が接する条件、面積の最大値と評価(C,40分、Lv3)

最後は微積分総合、共通接線や面積の問題です。10番とかぶっています。10番は(3)までです。

2曲線が接する条件なので、こちらの原則です。

 ULTIMATE Principle Piece 

 2曲線 y=f(x)、y=g(x) が接する f(t)=g(t) かつf'(t)=g'(t)

2つ式がつくれますが、平行移動はx軸、y軸で文字設定が必要なため、「t」と合わせて3つとなります。問題の流れからしても、「t」を残せ、ということです。

(2)はただ積分するだけです。(3)は、方程式の解の個数の分野になります。S’(t)=0 となる「t」が1つあり、正から負に移動することを言わなければいけませんS'(t)だけでは分からないため、符号がわからない部分を取り出して、もう一度微分する必要があります。

 

Principle Piece III-38

 微分しても分からなければもう一度微分してみる

(拙著シリーズ(白) 数学III 微分法の応用 p.41-42)

 

(4)は12番専用問題で、(3)のS'(t)=となる解、およびそのときの面積(最大値)に関する評価です。α自体の評価は、S’(α)>0を示せば、単調性からわかります。面積は符号の向きが逆転しているため、難しいと思います。

壁になるのは、α・e^-α の部分かと思われます。log 5/12 と置き換えたところで、αは減少し、e^(-α)は増加しますので、このまま置き換えることは出来ません。このαが、S'(α)=0を満たすことを利用し、α+log2=-e^-α+2 と置き換えれば、αの部分は消え、置き換えたときの符号も、無事に証明すべき向きと一致します。

 


※KATSUYAの解いた感想
(1)は原則通りやな。(2)もx軸の交点を出して積分。(3)はその式を微分して、それが0になる部分を調査すればOKか。この式だけではわからないので、もう一回微分。単調減少が言える。正から負にかわるな。OK。(4)はこれを評価するのね。αの評価はlog 12/5を代入してさくっと。面積も最初は突っ込んでみるも、αがあるのがジャマやな。指数部分は置き換えれば不等号の向き的にもベストやねんけどな、、、やっぱ最後の最後は難しいな。αをどうすれば解消できるか。しばらく考え、S'(t)=0から置き換えれることに気づく。あーこれはもっと早く気づくべきやったかなー。これで全て不等号の向きが「<」となり、そのまま計算。95/144にバシっと一致したので、確信して終了。(4)で解答時間4分、計30分。結構かかったな。

 

 

2.対策~癖のある表現、全調査タイプ、定数入りの計算に対する耐性を~

千葉大の問題は標準的な問題が多いですが、後半になると癖が強く、対策してきても数学的センスがないと、効果が出せないようなタイプの問題が出ます。また、全調査をすることを厭わない忍耐や、定数が入ってもいつもどおりの解法が遂行出来ることが必須となります。

青チャートなどで手法を身につけたら早めに入試演習に入りましょう。表現をひねってくる問題も多いので、国立系の入試問題集(Canpassなど)がいいです。その際、複数の解き方を試みて、いろんな視点から問題を眺められるようにしておくといいです。(式で見るのか、図形で見るのかなど)過去問はなるべく多く確保しておきましょう。

量をこなす演習:じっくり演習=8:2でOK。 医学部や理学部志望の方は、夏あたりから7:3、6:4に切り替えていきましょう。

以上です^^

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■関連する拙著シリーズ■

★ 数学I 2次関数 (第1問)

★ 数学I 三角比 (第2問)

★ 数学A 確率 (第4問、第7問)

★ 数学A 整数 (第3問)

★ 数学II 図形と式 (第6問)

★ 数学II 三角関数 (第2問)

★ 数学II 微分 (第6問、第8問)

★ 数学B ベクトル (第5問)

★ 数学B 数列 (第11問)

★ 数学III 極限 (第11問)

★ 数学III 微分法の応用 (第10問、第12問)

★ 数学III 積分法の応用 (第10問、第12問)

★ 数学III 複素数平面 (第9問)

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