首都大学東京 文系| 2018年度大学入試数学
2018/03/12
●２０１８年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は首都大学東京(文系)です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１８年 大学入試数学の評価を書いていきます。
入試シーズン中は、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。
２０１８年大学入試シリーズ（国公立）シリーズ。
首都大学東京(文系)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
首都大学東京(文系)
（試験時間90分、４問、記述式）
１．全体総評～偏った出題範囲で解法次第では時間が足りない～
難易度は、昨年に続いて微難化です。
数IIの高次方程式からの出題が4題中２題を占めました。しかも２問とも整数絡みで、この分野が苦手な人にはかなりアンラッキーなセットです。残りは微積分と空間図形でした。
高次方程式の部分もそうですが、空間の問題なども解法や答案次第では計算量が多く、かなり時間のかかるセットになっています。理系よりも時間に余裕はなさそうです。
試験時間90分に対し、
標準回答時間は95分。
2017年：80分
2016年：65分
2015年：90分
2013年：80分
２．合格ライン
第１問は典型パターン。場合分けして落ち着いて解きたいが、意外とキー問題か。
第２問はキー問題。演習経験がないとかなり厳しく、差がつくと思われます。
第３問は2番で取れなかったら取らないと厳しい。2番よりはマシ。
第４問は（１）は押さえる。（２）は解法次第ではかなりかかるが、たどり着けたか。
３完は不要だが、２完は欲しい。６０～６５％でしょうか。
３．各問の難易度
第１問・・・【積分】定積分関数の最小値（B、20分、Lv.２）
典型的な定積分関数の問題で、絶対値付きのパターンと似ています。
（１）はいいでしょう。（２）は場合分けが必要です、被積分関数はt＝０で関数が変わるので、区間x～x＋１の中に０が入るかどうかで分けましょう。絶対値付き定積分の原則ですが、考え方は同じですね。
（拙著シリーズ(白) 数学II 積分 p.17-21）
（３）ですが、次数が高いものでも２次なので、増減表は大げさ。平方完成してグラフをかけばOKでしょう。
※KATSUYAの解答時間８分。詰まることなく終了しました。
☆第２問・・・【整数＋複素数と方程式】3次方程式の整数解、有理数解（B、25分、Lv.２）
3次方程式が有理数解を持つかどうかに関する問題で、経験がないと（１）などは思いつくのは厳しいかもです。
まず、有理数解を持つということなので、その有理数をサッと設定出来るかどうかです。原則取得者なら反射的にやりますよね＾＾
（拙著シリーズ(白) 数学A 整数 p.65-66）
「有理数＝q／p」として代入したときに、q＾３＝・・・・ の形にするとp＝１と出ます。端っこだけ残して移項するのもお決まりの流れです。
（２）は（１）の結果を利用し、有理数解を持つなら整数解を持つので、整数解なければいいわけです。f（１）、f（２）、f（３）が３で割り切れないという表現から、その整数を３で割ったあまりで分類すればいいことが見抜けたでしょうか。
q＝３k のときはf（３）と対応します。（f(3)が３で割り切れない→f(3k)も３で割り切れない が示せます）他も同様なので、どんな整数解も３で割り切れないので、０にはならないわけですね。
結構勉強してないと思いつきにくいパターンですね。
※KATSUYAの解答時間９分。パターンなので、詰まることなく終了です。（３）は合同式でうまく処理すればもう少し早くまとまったかな。q＝３k、３k＋１、３k＋２として全面的に展開してしまったが＾＾；
第３問・・・【整数＋複素数と方程式】高次方程式の解の情報と係数の決定（B、25分、Lv.２）
第２問と分野がかぶりすぎていて驚きです。再び整数絡みの3次関数の問題です。
（１）は共役複素数も解になることの証明ですが、g(a+bi)とg(a－bi)を実際に計算し、虚部だけ符号が違うことを言うのが最も素直な気がします。実部、虚部がともに０であることがポイント。
（２）は（１）からただちに分かることです。
（３）は原則通り、それ以外の解を「c」とでもおいて、解と係数の関係を用いるのがいいでしょう。
（拙著シリーズ(白) 数学II 複素数と方程式 p.34）
3番全体の流れが、そもそもこの原則そのものですね。
積が13ということなので、残りのk＝１、１３のどちらかですが、k＝13のときはすぐにダメだとわかります。k＝１と分かれば和からa=２もわかるので、３解も決まってmも出せますね。
※ＫＡＴＳＵＹＡ解答時間１０分。詰まることなく終了ですが、「え、また3次方程式ですか」という印象が強すぎました。
☆第４問・・・【三角比 or 空間ベクトル】四面体の一部の体積（B、25分、Lv.２）
正四面体絡みの問題です。三角比だけでも解決できますが、思いつかなかったら空間ベクトルで攻めるしかないでしょう。
（１）はただの三角形です。中３でも（三平方を習っていれば）解けます。
（２）は（１）の平面に垂線をおろしますが、その垂線がOからMNに下した垂線上（OとMNの中点を通る直線上）にあると分かれば、その部分だけ取り出して三角比で責めれそうですが、無理なら空間ベクトルでコツコツ計算するしかありません。
空間ベクトルで出すにしても、「別に正四面体なのでなんでも出せるわ」ぐらいの気持ちを持っていれば怖くないはずです。こう思うためには、こちらの原則が大きな味方になります＾＾
（拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.69）
正四面体であれば、すぐに６つともわかりますので、垂線でもなんでも出そうと思えば出せるわけです。
（拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.69）
これでs、tの連立方程式を解けばOK。時間はかかりますが、これでも解けます。正四面体の１／４になるのは当たり前ですね。（ということは、正四面体の体積を知っていると検算になります。）
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間１５分。空間ベクトルでやりました。私のように空間把握が苦手な人のために、空間ベクトルはあると思っていますので、私は迷わずベクトルです。正四面体の１／４になることで確信を得ました。
４．対策
首都大（文系）は数IIから２題（うち、1題は微積）、数Bから１題、残りが確率（または場合の数）という構図が多いようです。（今年はちょっと偏りすぎ・・・）題材的には、多くが典型パターンの範囲内といった印象です。
IAIIBの基礎がある程度固まってきたら（青チャートか黄色チャート重要例題までマスター）、これらの分野を重点的に行ってもいいでしょう。また、小問間につながりがないこともありますので、柔軟に切り替えて自分の知っている解法で対応しましょう。
量をこなす演習：じっくり演習＝９：１でOK。
以上です＾＾
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■関連する拙著シリーズ■
★ 数学Ⅰ 三角比 (第４問)
★ 数学A 整数 (第２問、第３問)
★ 数学II 複素数と方程式 (第２問、第３問)
★ 数学II 積分 (第１問)
★ 数学B ベクトル (第４問)
