横浜国立大学 理系| 2018年度大学入試数学

   

●2018年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は横浜国立大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2018年 大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中は、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

 

2018年大学入試(国公立)シリーズ。
横浜国立大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。




また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





横浜国立大学(理系)
(試験時間150分、5問、記述式)

1.全体総評~数IIIが絡む問題が4問あるものの、難易度は昨年並~

難易度は、昨年から変化なしです。番の微積は普段通り抑えやすいものですが、数IIIが絡むものがこれを含めて5問中4問もありました。全体的に計算量・答案量の多い問題が並ぶセットです。今年は確率からの出題がありませんでした。

今年は1番の2問につながりがありましたね。

試験時間150分に対し、
標準回答時間は160分。試験時間に対して適量かと思われます。

2017年:159分

2016年:137分
2015年:180分
2014年:145分
2012年:150分

2.合格ライン

第1問は教科書の例題、とまではいわないが典型パターンで押さえたい。
第2問の空間ベクトルはやることは単純だが、計算量は多め。

第3問はキー問題。(1)も意外と差がつきそうで、(1)が出来ないと(2)(3)が芋づるになる。
第4問は予想は簡単につくが、しっかり答案をかけたかどうかで差が分かれそう。
第5問は小問の流れに乗ってただ計算するだけ。時間を確保して最後までしっかり押さえたい。

1番、5番は押さえて2完。残り2番~4番のどれかを抑える。2番、4番はつまみ食いで部分点を確保。3番は無理と感じたい場合はスパッと切るしかない。 60~65%ぐらいでしょうか。

 

3.各問の難易度

第1問・・・【積分法(数式)】定積分を含む方程式(AB,20分、Lv.1)

横国名物の第1問の微積計算ですが、今年は積分だけで、しかも(1)(2)がつながっていたことが印象的です。

(1)はただの部分積分ですが、これ意外と気つかなさそうですね。ワークにもあると思います。

(2)は(1)が使えることが見える式です。定積分の部分は「a」とおくんでしたね。

 

Principle Piece II-114

 定積分は定数  =aとおいて再びそれを解く

(拙著シリーズ(白) 数学II 積分法 p.15-16)

「k」とおくことでf(x)の形が決定しますので、それに従って、置いた「k」の式を今度は計算で出し、方程式を解けばOKです。再びというのは、置いた「k」を用いてまた計算を始めるという意味です。

※KATSUYAの解答時間計6分。いつも(1)(2)別やけど、今年はつながってた。

 

第2問・・・【空間ベクトル+式と曲線】球面上の点と定点の交点の軌跡(B、35分、Lv.2)

球面上の点と、定点を結ぶ点の軌跡です。文字があるので計算量は多めですが、やることは単純です。

(1)では、QがAP上の点であるということを表す問題です。誘導もあるのでこれはいいでしょう。

(2)は、この点Qが球面S上にあるような「t」が存在するようなa,bの条件を求めればOK。判別式利用になります。聞き方が少し遠まわしでしたが、(1)の誘導に乗りたいですね。

'(3)も一緒です。QがT上にあればOKです。x座標が決まっているので、「t」を消去してしまえばいいでしょう。残りとyとzも、球面の式とx=ー1を連立した式:y^2+(z-1)^2=1を満たします。これに入れるだけです。

(2)、(3)どちらも楕円になりますね。

※KATSUYAの解答時間16分。すんなり流れに乗れましたが、文字式で分数式になるので、計算が結構重めでした。

 

第3問・・・【複素数平面】1次分数変換、垂直条件(BC、35分、Lv.3)

複素数平面からの出題です。

(1)から意外と難しいのではないでしょうか。必要条件から出し、それが十分条件でもあるという流れを利用しないと厳しいですね。図形的には、zが描く円の中心1の符号を変えたー1であることが予想はつきます。(2)(3)に使うので、なんとか答えだけでも出したかったところです。

十分条件を確かめるためには、w=・・・となっているものをz=・・・に直せばOK。よくやる変形ですね。

Principle Piece III-114

 w=f(z)の軌跡 → z=g(w) に直す 

(拙著シリーズ(白) 数学III 複素数平面 p.55-56)

(2)は(1)ができれば、それを解くだけです。

(3)は意外と難しいですが、1+iというのが(2)の答えであることを利用すると、結構計算サボれます。

複素数としてAPベクトル=z-z_0、AQベクトル=w-z_0 となりますが、w=z-2/z-1 とするついでに、z_0=z_0ー2/z_0ー1 と変形して同じ形にしておく((2)より、この変形が出来る)と、z-z_0が共通因数で現れ、かなり計算が楽になります。

※Tさんの解答で最初から成分計算しています。もちろん成分を代入してもできますが、途中の変形はかなりツラそうですね^^;

※KATSUYAの解答時間28分。(1)を図形的にやったのですが、中心を1/2と勘違いし、まったく計算合わず、(2)と(3)のつながりもまったく見えず。違和感を感じ、(1)から見直してつながりが見えたのでなんとか出直せました。

 

☆第4問・・・【数列】特殊な数列と漸化式、帰納法、(BC、30分、Lv.2)

昨年と題材的にはかなり似ています。特殊な規則で並んでいる2種類の数列a_n、b_nについての問題で、規則性を見つけてそれをしっかり帰納法で書こうという流れです。なお、一部文理共通。

(1)は試していけば、4周期になることがわかります。推測ではダメなので、帰納法でしっかり書きましょう。

Principle Piece B-23

 帰納法は次の場合に有効

[1] 自然数nに関する証明   [2] 結果が分かっている or 推測できる 

(拙著シリーズ(白) 数学II 図形と式 p.50-57)

(3)が用意されているので、(1)は多少端折ってもいいようなきもしますが^^;


(2)は本格的に帰納法です。上記の原則をしっかり使って示しましょう。0≦a_n≦c-1、0<bn<5を使えればそこまで難しくないと思います。

(3)は今度は2周期ですが、cの式に「l」まで入っているのではこれは流石に推測だけで終わらせるとしかめっ面されそうなので、(1)よりマジメに答案を書いておきましょう。2個ずつセットで帰納法を使えばOK。

[1]n=1,2 で確認 [2] n=2k-1,2kで仮定→n=2k+1、2k+2の成立

のセットですね。

帰納法に始まり、帰納法で終わる問題でした。

 

※KATSUYAの解答時間16分。変な漸化式。整数、割り算絡みだから明らかに周期性ありと判断し、予測して帰納法の流れ。てか、全部帰納法なのね。答案量がかなり多いですね。

☆第5問・・・【積分法(II)+微分法の応用】接線と放物線で囲まれる部分の面積の最小値(B、30分、Lv.2)

微積分総合問題ですが、積分は数IIです。

(1)はただの接線の方程式です。もちろん「t」は残してOKです。

(2)は、方程式に帰着させるのが一番いいと思います。x=tで交わりつつ、第3象限で接することになりますので、x^2+ax+b=1/x を3次方程式に帰着させ、左辺=(x-●)^2(x-t) に出来るという方針がいいでしょう。

なお、接することを利用する場合は、接点をおいた上でこちらの原則を用いるといいでしょう。

ULTIMATE Principle Piece 

 2曲線が接する → f(s)=g(s) かつ f'(s)=g'(s)  

(本問は文字「t」があるので、sに書き換えています)

(3)は放物線と接線の交点を出すことになります。かなり複雑な2次方程式で解く気が失せるように見えますが、ここは勉強量の差が出るところです。片方は「x=t」で交わっていますので、解と係数の関係でも使いつつ、(そこは黙って)さらっと因数分解しておけばOKですね。

交点が出たら6分の公式が使えます。

Principle Piece II-117

 6分の公式は放物線と直線で囲まれた部分に使える 

(拙著シリーズ(白) 数学II 積分法 p.30)

(4)はその最小値です。3乗部分の中身だけ微分すればOK。微分=0を解く際の式変形が難しいかもしれませんが、分子をt√t の2次式と見て因数分解できますね。結果はルートもなく、きれいです。

2番同様、やることは単純ですが、計算量が多めの問題ですね。


※KATSUYAの解答時間17分。上記の通りコツコツやりました。

4.対策

横国は数学IIIの割合が高く、文理共通問題以外は全てIIIの問題です。しかし、第4問や第5問を見ればわかるとおり、使う知識は数学I,IIも多く入ってきます。IIIを早めに習得し、I,IIの知識も必要な微積総合問題をしっかり演習すれば、6割はとれそうです。

文理共通問題は数Bか数A(確率)が筆頭候補(今年は数Bが2問)となりますので、こちらの演習も行いましょう。チャートで進めるなら、青です。IIIまで全部やっておけば、かなりラク^^

原則習得はしっかりと行い、入試基礎レベル入試標準レベルまでは行いたいです。8割以上を目指したいのであれば、仕上げレベルまで欲しい。

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