名古屋大学理系 | 2019年大学入試数学

2019/03/01

●２０１９年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は名古屋大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１９年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０１９年大学入試（国公立）シリーズ。
名古屋大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

名古屋大学（理系）
（試験時間150分、４問、記述式）

１．全体総評～難化。質量ともに厳しい～

昨年の穏やかさはなく、今年は全体的に質、量ともにUPです。分野は第１問の（３）も同レベルの類題経験がないと厳しく、第２問、第３問がまだましなレベルで、第４問の（４）は難しいです。小問に分かれている分、部分点は稼げそうですが、完答は難しいセットです。

試験時間150分に対し、
標準回答時間は145分。

2018年：125分

2017年：160分

2016年：200分(4番を捨てれば80分で済むが)

2015年：145分

2014年：140分

2013年：135分

2012年：150分

2011年：125分

2010年：135分

２．合格ライン

第１問は本格的な積分。体積は同レベルの類題経験がないと厳しいか（東大、阪大あたりに類題あり）

第２問は創作問題で良問だが、キー問題。全体を考えるとなんとか完答したい。

第３問はまだましなレベルだが、答案が書きにくいので、どこまで減点されずに書けるかがキーとなる。

第４問は（３）までなんとかしたい。（４）を考えるぐらいなら第２問、第３問でなんとか点数を上げたい。

第１問は（１）（２）まで、第２問、第３問のどちらかを頑張る。第４問は（３）まで。これでなんとか半分強ぐらいにしたいですね。

３．各問の難易度

☆第１問　【積分法の応用】定積分計算、定積分漸化式、立体の体積（C,40分、Lv.3）

本格的な積分による体積の計算です。（１）（２）は（３）のためのものでしょうが、（３）は式までたどり着かないかもしれませんね。

本問は漸化式ですが、部分積分をする必要がないタイプです。

（１）は１／cosθの積分で、教科書にもありますし、パターンです。式変形も与えられていますが、名大理系を受験するならノーヒントで大丈夫でしょう。

（２）は定積分漸化式です。定積分の漸化式は部分積分で攻めるのが原則ですね。(Principle Piece III-64 数III　積分法の応用 p.56-60)

（３）は円錐を軸に平行な平面で切断したときの体積です。切断面はｚ軸に垂直にするようですが、ｚ＝１－ｔとおいた方が円の半径が見やすいです。東大理系(２００３年あたり？)でもそんな設定で断面積を出す問題がありました。

円の一部の面積を求めるには、中心角が必要です。(Principle Piece III-75 数III　積分法の応用 p.33)　中心角を設定し、ｔとθの関係を見つけましょう。(Principle Piece III-76 数III　積分法の応用 p.33)

これで置換積分すると断面積はθで表せますが、この積分計算も難しめです。sinθ/cos^4θ　などの原始関数（cosθ＝ｕなどとおくと分かる）がすっと分からないと、途中にある部分積分の操作もなかなか難しい。

ここでも、cosの式・sin　の積分の原則がいきてきます。(Principle Piece III-51 数III　積分法 p.14-16)　

※KATSUYAの解答時間32分。（２）の計算結果にちょっと疑問を感じ、ミスを発見して修正。（３）は方針で詰まることはないが、積分計算はかなりメンドウなので慎重に。（２）も使いし、かなり長い計算で結構かかったな。

☆第２問　【空間ベクトル】直角二等辺三角形の頂点から下ろした垂線（BC、30分、Lv.２）

直角二等辺三角形の１点を含む平面に、残りの頂点から垂線を下したときの点を考える問題です。創作問題ですね。

（１）は、垂直である部分は内積がゼロになることを利用していけば証明できるはずですが、途中で始点を変えたりするので、意外と難しいかもしれません。（AC→＝AC'→＋CC'→　などとすることで、垂直な部分の内積を切りだす作業が入ります。）

（２）は（１）が出来ればいけます。内積が負であれば鈍角です。

（３）は（２）の事実を受け入れて解くことは出来ますが、こちらも意外と難しいかもです。求めるAB＝ｘとすればBB'＝√x^2-16、CC'＝√x^2-21　と出来ます。あとは（１）を利用します。△AB'C'は３辺が分かっているので、内積AB'・AC'は余弦定理などで出せます。(Principle Piece B-37 数B ベクトル p.36-38)　

BB'とCC'が向きが同じなので、これで√x^2-16・√x^2-21＝６だと分かりますので、これでｘを出せます。

※KATSUYAの解解答時間21分。状況設定はおもしろい。（１）はAを始点にしつつ、AB→・AC'→の扱いに迷って、AB＝AB'＋BB'に切って計算。（２）は（１）によりさくっと。（３）は上記のように計算。どこを設定しようか迷ったが、ｘを設定したら意外といけた。

第３問　【整数】√ｎの小数第１位が０となる条件（BC、25分、Lv.２）

整数問題っぽくない整数問題ですが、一応整数だと思います。

平方数に近い数字なのだろうという予想は付くと思いますが、どのように特定するか、またそれをどのように記述するかです。

√９＝３　ですが、√１０＝3.16　と3.1を超えてしまいますので、整数部分が３であるものは存在しません。逆に考えると、3.1^2=9,61で、9の次の整数10を超えないがゆえに、√１０が３．１より大きいことになります。

これを基に考えれば。（●.1）を2乗したときに、●^2の次の整数●^2+1を超えればいいとわかります。

これらが分かれば、（１）も（２）も出来るでしょう。１０個ぐらいなら全部調べた方が早いと思います。

やはりいくつか試してみるのが、初見の整数問題を解くカギになりますね。

※KATSUYAの感想：解答時間９分。これはすぐに思いついたので、さくっとクリアです＾＾

第４問　【場合の数＋積分法(III)】順列とサイクル（CD、50分、Lv.３）

今年も論証に近いものが出ました。サイクルを題材とした順列の問題に、積分の不等式を絡めた問題です。

（１）、（２）は書きだせばいいでしょう。ただし、（２）をやっているときに、４サイクルを持つものが（４－１）！＝６つであることに気づかないと、（４）が出来ません。サイクルになっていることから、それを円順列ととらえられるかがカギになります。

（３）は積分の不等式です。数列から被積分関数が１／ｘだと判断できますね。(Principle Piece III-69 数III 積分法 p.69-70)　

（４）は長さ「ｊ」のサイクルを含む順列を含む確率が１／ｊであることを示せばあとは（３）を利用するだけですが、円順列の考え方を思いついていないと、これになることの証明は難しいです。

※ＫＡＴＳＵＹＡの感想：解答時間28分。（２）を円順列でやらなかったので、（４）でかなり考える。ｎ＝７で、サイクル４，５，６，７のものを探してみることにするが、多すぎるので断念し、ｎ＝５あたりで頑張って調べると予想がついてきたので、一般化で円順列だと分かる。うーん、思いつけば簡単やけど、正答率は低いかな。

４．対策

頻出分野は微積、確率(漸化式と絡むことが多い)、整数の論証系です。(III、A、Bといった印象)

どれも計算量もあり、かつ発想もある程度必要なものが多いです。出題分野も似ている東大レベルで練習を積んでおいてもいいぐらいでしょう。

BレベルとCレベルが５部５部ぐらいで出題されます。Bレベルを落とさないことを最優先に、さらに上のせしていきましょう。Cレベル以上を意識しすぎると、逆効果。Cレベルは、３割とれればいい、ぐらいの気持ちでいるほうがいいでしょう。それよりも、D以上を嗅ぎ分ける能力が本学では必要で、今年の第４問のようなものを、避けられることも重要。過去問で嗅ぎ分けの練習をしましょう。

最終段階では、仕上げ段階まで行っておきたいですが、ここまで行ったとしても点数につながらない問題も出るかもしれません。本学の場合、他の科目を犠牲にしてまで数学に時間を取られることのないようにしましょう。合計で合格すればいいのです。

単科長年タイプの過去問もありますので、ある程度のレベルに達したと感じたら、これに絞って研究するのもいいかもしれません。

※名大理系数学は大竹先生が書いておられます。私も高校生のときにご指導いただいた先生で、個人的には非常にオススメです。