東京工業大学 |2019年度大学入試数学

   

●2019年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東京工業大学です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2019年 大学入試数学の評価を書いていきます。

2019年大学入試(国公立)シリーズ。
東京工業大学です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





東京工業大学
(試験時間180分、5問、記述式)

1.全体総評~さらに難易度を上げて激難レベルに~

昨年からさらに難化しました。途方もない計算量に、考えにくい問題など一筋縄ではいかない問題がずらりと並びます。数IIIも5問中3問と多めで、この3問が計算力や精密性を問われます。下手をすれば、いや下手をしなくても、完答どころか部分点も稼ぎようがないのではないでしょうか。

 




試験時間180分に対し、
標準回答時間は225分。

2018年:200分

2017年:200分

2016年:170分

2015年:195分

2014年:165分

2013年:175分

2012年:243分

2011年:330分(制限時間150分) 平均計算にはのぞきました。

2010年:130分(制限時間150分) 平均計算時には1.2倍しました。

2.合格ライン

第1問でしょっぱなからまあまあ計算しますが、全体を考えればまだまし。(1)が出来れば(2)は出来る。
第2問は絶対値も付いているし、方針が立っても非常に計算が長い。
第3問はまだ手はつけられるが、これがキー問題。(1)(2)ともに精密な図が要求されるが、図をかけたかどうか。
第4問は捨て問です。(1)が無理なら、(2)(3)はまず無理でしょう。
第5問はまだマシです。(1)を取り、(2)は原則に気づいて(1)を利用したい。


第1、3,5問のうちどれかは押さえたいところ。ここで2つ押さえられればもういいよ、と思えるぐらいのセットです。あとは第2問で、自信のあるところまで進めて適当に手を止め(苦笑)、残りを見直した方がいいです。45%ぐらいでもいいのではないでしょうか。

3.各問の難易度

第1問 【図形と式+式と証明】四面体の辺の長さと表面積に関する不等式の証明(B,30分、Lv.2)

三角形の面積と辺の関係、さらに四面体の辺と表面積の関係に関する不等式を証明する問題です。最初から文字が多く抽象的な感じですが、全体を考えるとマシです。これを飛ばして他から手をつけようとすると絶望します。

(1)は、座標で与えられていますし、長さの2乗が出てくるので、明らかに「座標で計算してくれ」ということなのでしょう。(Principle Piece II-30 数学II  図形と式  p.6-7)

座標設定により、左辺、右辺がどもにh、s、tの式になります。式的に2乗の形にしていくのでしょう。(Principle Piece II-7 数学II  式と証明  p.17) 

3変数の2次関数ですが、2文字のときと同じなので、1文字ずつ平方完成していきましょう。(Principle Piece I-28  数学I  2次関数  p.31)   1次の係数が整理しやすいのと、独立していることを踏まえても、hからやるといいと思います。

(2)は(1)が出来れば、4面について不等式を作って足すだけです。(1)での等号が成立するときは、三角形が正三角形になるときであることは先に確認をしておきましょう。

 

※KATSUYAの解答時間21分。お、有名な式やけど、これしょっぱなからまあまあ計算メンドウ。(2)はただ4面足すだけやな。

☆第2問 【積分法(III)】定積分方程式を満たす関数と係数の決定(C、60分、Lv.2)

題材的には定積分方程式で、積分区間にxを含むパターンですが、被積分関数に絶対値が入っていることと、置換が必要であることに加え、そこからの計算もとにかく長い長い。答えも汚いし、試験という状況では、私は最後までたどり着ける気はしません^^;

まず、パターン的に「両辺を微分するパターンだな」とはわかるでしょう(Principle Piece II-116  数学II  積分  p.23)   その前に絶対値があるため、まずは区間を切る必要があります。絶対値の中身が0となる所で分けましょう。(Principle Piece II-115  数学II  積分法  p.17-21)   1≦x≦2なら1/x≦1≦2/xですので、1を前後に分けます。

これで微分出来るかと思いきや、f(xy)となっているため、xy=uなどと置換も必要となります。ここまでの作業でもずいぶんメンドウです。これでやっと微分できます。uに関する積分なので、xの式は前に出しましょう。

整理した式は1/xが全体的に付きますので、右辺に持って行ってから微分しましょう。これをやらないと、底なし沼にはまる計算となります。微分すると、また1/xだけが残る式が左辺に来ますので、右辺に持っていきましょう。(★:後述)

そしてもう一回微分します。ようやくf(x)が出ます。Aが残りますので、上端と下端が等しくなるようなxを代入します(Principle Piece II-116  数学II  積分  p.23) 直前の★の式にx=1,2を入れるなりすると両辺ともに計算できます。

※両方入れて、定積分(=定数)と定数Aで連立すると変な計算をせずに時間短縮出来るようです。私は気づかず片方だけ入れたのまあまあメンドウでしたが、T進さんがこの手法でやっています。

f(x)が決まったら、あとはBを決めますので、最初に微分する直前の式に代入します。こちらもx=1,2を両方代入するとうまく連立出来ます。片方入れるとまあまあ、いや、部分積分が2回入るので、こっちは非常にメンドウです^^;

※KATSUYAの感想:解答時間37分。定積分方程式か。みるからにややこしそう。絶対値入ってるし。とりあえず外す。置換しないと微分できないから置換する。xが分母にあるままの微分は嫌なのでかけてから微分。またxが分母に来たので持ってくる。ようやくf(x)が出るがAが残る。x=1を代入する。1つは積分が残るが、形が決まっているので計算可能。Aを決定。もう一回これやるの?x=1を代入する。いや、ここにきて部分積分2回やるんかい^^; 心が折れそうになるが、ここまで来たので頑張る。Bも値きたな^^; あってんのこれ? さすがに見直す気にならずそのまま終了。(※x=1,2を両方入れるとラクに出来ると後で分かる) てか、(★の状態)あたりから問題にしても十分やろ^^;

 

第3問 【複素数平面】特定の形で表される複素数の個数(B、35分、Lv.2)

数IIIの複素数平面からの出題で、実部と虚部が整数であるような複素数を考えていることから、格子点の個数を数える問題に帰着されます。ある程度数字が具体的な分、まだマシな難易度です。今年、同志社(理系か理工か)で似たような問題出てましたね。

(1)は実部=p、虚部=qとおいたときに、p^2+q^2≦R^2 となるp、qの組み合わせが10以上25未満になるような半径Rの範囲を調査しろ、といっているだけです。順番に調べ上げるしかないでしょう。

まず原点が入り、R=1になると(±1,0)、(0、±1)の4個追加で5個。

R=√2になると(±1、±1)の4個追加で9個。複号任意です。(以下同様)

R=2になると(±2,0)、(0、±2)の4個追加で13個。

R=√5のときは注意。(±2,±1)、(±1、±2)の8個追加となり、21個。

次のR=2√2で(±2,±2)の4個が追加されるので、これで25個となります。

(2)も簡単です。zの範囲に直しましょう。Mの要素になっている複素数をwとするとz=w・(2+3i)です。複素数をかけることは、複素数平面では回転と拡大の操作と見なせますので、wの領域(ぶっといL字型)をそのまま回転拡大します。頂点がどこに移動するかだけで掛けます。

あとはまた精密に格子点を探しましょう。なるべく等間隔に格子点を打っておき、図を大きく書くのがコツ。



※KATSUYAの感想:解答時間24分。2番ですでに疲れてるんですけど^^; 気を取り直す。(1)は最初意味がわからず。ただ、円にどれだけ入るかってだけですよね、これ。(2)は最初、z=p+qiとおき、wのままやろうする。まてよ?この領域内を動かしてp、qの動く領域にした方がどう考えてもラクやろ。途中で方針変更。もっと早く気づけばよかった。

☆第4問 【数列+場合の数?】空間を平面で分割したときの個数(D、70分、Lv.∞)

大物の論証系です。平面を直線で分割するタイプなら教科書の例題にも載っているかとは思いますが、実はあれが活かせると、どれほどの受験生が気づいたか。それでも(2)、さらに(3)は論証が難しすぎます。私もn=4のときは抜け落ちてしまいました。

(1)は、上記の通り、平面の分割数が関わってきます。平面の最大分割数は「どの2本も平行でなく、かつどの3本も1つで交わらない」です。これを出すのに、n+1本の直線を引くと、、、などとして階差数列を立てたと思います。

こうして出た平面の分割数a_nに対し、空間の分割数Tnは、その階差が平面の分割数a_nとなるようにすればOKだったということです。1つのn+1番目の「平面」と1~n番目の平面の「交線」の関係としてとらえれば、わかりますね。

(2)は、n番目の平面を考えた時、交線がどれか1つだけと平行になるように入れればよいので、-1すればOKなはずです。(1)が出来れば出来るでしょう。

(3)は、、、、私も間違えてしまいましたが、とりあえず途中までは述べておきます。

 交線を考えた時に、どれか1つ平行で、かつどれか3本だけが1点で交われば2減らせるので、実現できます。もちろんnが小さいときは怪しいです。ただ、問題文にn=3でT=6が実現出来ていますし、一番小さいn=3で大丈夫だからn=4も大丈夫だろうと考えたため、n=4でT=13になるような平面もあるだろうという先入観から、具体的にこうやって平面を構成すると図示して数えたところ、数え間違えてしまいました。(実際にはT=14でした。)

※KATSUYAの感想:解答時間37分。(1)絶対空間では無理だから、平面に帰着。教科書にあった分割数の問題を思い出し、それをもとに議論を進める。(2)はー1すればOKなはず。(3)は上記のとおり。「だろう」運転はダメですね。。。

☆第5問 【微分法の応用+数列】関数の単調性、数列の項の最大値(BC、30分、Lv.2)

最後は見た目からごつそうなaの式がありますが、実際は微分法とちょっとした計算ですみます。

(1)はいいでしょう。微分した式が負であることを言えばOK。1/x=uと変えればu>0は変わらないので、これで負になるこをを言いましょう。log(1+u)ーuの方が微分もしやすいですしね。

(2)は(1)を利用したいことと、bkの項から、比を取って1を比較する手法を思いつきたいところです。確率の最大値を求める問題では、隣り合う確率の比を計算すると、ごそっと約分できます。あれは、式が掛け算と割り算だけで表されているから有効なわけです。確率だけで使えるというわけではありませんよね(Principle Piece A-38  数学A  確率  p.27)   

比をとってさらにlogを取ると、(1)の結果が使えます。比が1になるので、logの値が0になればOKです。そもそもすでに1ギリギリなので、割とすぐに見つかると思います。また最後の計算はメンドウですけどね^^;

※KATSUYAの解答時間21分。 かなり疲れましたけど、あと1個。(1)は微分して負になればOK。変数は変換しよう。ちょっとでもラクに。(2)は比を取る。(1)の形が見えそうなので、logを取って調査。b2/b1でも1ギリギリやけど^^; じゃあ次かな。お、1ぴったしか。うまく設定してきたな。でも最後の計算はいらん。私は2,3の累乗は知っている範囲だったので計算してませんが、k=2,3だけでいい。いちいちメンドウだわ、今年は。

4.対策~論証力、段階を踏んで解決していく能力が必要~

分野的には、数IIIの微積(2問はある)、整数、確率、あと1問何かという感じですが、ここ2年は複素数平面です。積分の問題は立体図形が絡むことが多いので、ベクトルも要演習。

東工大の問題は例年、誘導を省いた問題が多いです。(ここ数年はまだまし)。普通なら小問になっているようなものを自分で見つけ出し、自分でそれを解くという作業を行わなければいけません。対策をするなら、誘導がない過去問のレベルに照準を合わせたほうがいいかもしれません。

原則習得段階では、小問になっているようなものについては、その手法をよく意識し、なるべく吸収していきましょう(増減を調べるのにこんな方法があるんだな、こういう立体のときは、x軸切断がラクなんだな など)。

その後の入試基礎演習入試標準演習の際にも、似たような問題と解法は常に見比べるようにしましょう。したがって、同じレベルの問題でも1冊だけ行うのではなく、複数行ったほうが解法の幅が広がると思います。

昨年の第5問のようなこと(ネタが同じ問題を11年越しに出題)が今後、起きないとは限りません。また、複素数平面は2005年以前のものでないと演習できないので、これらも10年分ぐらいチェックしておいてください。最新年から、20年分ぐらいはチェックしておきたいですね^^。

東工大の数学は単科長年のものがありますので、実力がUPしてきたらそちらで演習してもいいでしょう。

初期は、量をこなす演習:じっくり演習=8:2ぐらいがいいですが、少しずつじっくり演習にシフトすべきです。受験後期(秋以降)には、逆に試行錯誤を多めにし、4:6でもいいぐらいです。

以上です^^

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■関連する拙著シリーズ■

★ 数学II 式と証明 (第1問)

★ 数学II 図形と式 (第1問)

★ 数学B 数列 (第4問)

★ 数学III 複素数平面 (第3問)

★ 数学III 微分法の応用 (第5問)

★ 数学III 積分法 (第2問)

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