名古屋大学 文系 | 2019年大学入試数学

   

●2019年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は名古屋大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2019年 大学入試数学の評価を書いていきます。


入試シーズン中はコメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

2019年大学入試(国公立)シリーズ。
名古屋大学(文系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。






また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





名古屋大学(文系)
(試験時間90分、3問、記述式)

1.全体総評~難易度が高止まりで相変わらず厳しい~

2017年から難を継続中です。今年も全体的に質・量ともに重く、理系で出題されても十分試験になるセット。理系との共通問題はありませんでした。2番も文系にはなかなか難しめの問題で、3番は時間をかなり持っていかれます。マシなのは①番ぐらいですが、あくまでもマシなだけです。


試験時間90分に対し、
標準回答時間は95分。

2018年:100分

2017年:100分

2016年:75分

2015年:90分

2014年:95分

2013年:90分

2012年:95分

2011年:90分

2010年:85分

2.合格ライン

第1問は3次関数の共有点の個数で、パターン問題だが計算は膨らむように設定されている。全体を考えると合わせたい。
第2問はキー問題。(1)で気づかないと(2)(3)はかなり厳しい。大きくわか
第3問は(1)は押さえたい。(2)あたりがキー問題。(3)はうまく数えないと全調査に近いので時間的に無理そう。


第1問と第3問(1)を押さえて、第2問が完答出来れば安心でしょうが、そうでない場合は第3問の残りを頑張って調べていくことになります。ボーダーは昨年と同じ半分程度と判断します。

3.各問の難易度

☆第1問 【微分+積分(ちょっと)】3次関数とx軸の共有点の個数(B ,20分, Lv.2)

3次関数がx軸と3点で交わる条件を求める問題で、原則をそのまま用いることが出来るパターン問題ではありますが、関数自体も積分式が入っていたりと、計算が敢えて膨らむようになっています。積分は無理やり入れてきた?

3次関数y=f(x)とx軸との共有点については、導関数f’(x)=0の解の個数(判別式Dの出番)と、極値の積で攻めるんでしたね。(Principle Piece II-106,107 数学II 微分法  p.2~5)

微分すると(x+a)(x-2)と出ます。まずはa≠ー2が条件です。この条件のもとで、極値の積が負になればOKです。aの値によってどちらが極大でどちらが極小になるかは変わりますが、結局異符号であればよいことを利用します。

不等式は4次不等式なので、交点を出してグラフの概形を書き、x軸より上か下かを見ましょう。4つの解の大小関係をには気をつけましょう。

 

※KATSUYAの感想:解答時間10分。パターン問題やな。ただ、関数の設定が無駄に複雑。最後は4次不等式になるのね。4次方程式好きな印象があるな。

☆第2問 【数列+三角関数】連立漸化式(C、35分、Lv.2)

連立漸化式を題材としていますが、三角関数を絡めています。(1)である程度気づかせたいのですが、少し難しめの式変形が含まれており、それに気づかないと(1)もきれいに答えられません。

まず、与えられている条件式はそもそも整理されていませんので、x_n+1、y_n+1を未知数と見た連立方程式を解きまし

その上で、k=tanα/2を代入します。このとき、1-k^2/1+k^2、2k/1+k^2 がどちらもキレイになります。(拙著 Principle Piece 数学II 三角関数 をお持ちの方はp.40の例題6を参照) 比較的有名な式変形ですが、ここが出来たかどうかが大きな分かれ目です。

これによりP1、P2の座標が出れば、Pnの予想が付きます。nに関する証明で予想がついたら帰納法による証明が有効ですね。(Principle Piece B-23 数学B 数列  p.50-57)

(3)は簡単です。OPnは常に長さが1ですし、なす角はαです。もう一度sinαをkに戻すことだけ忘れずに。

※理系であれば複素数平面の知識を使い、x(n+1)+y(n+1)i=(cosα+isinα)(x(n)+y(n)i) と出来ると分かるので、ドモアブルなどから簡単に一般項が出ます。

※KATSUYAの感想:解答時間14分。まず(1)は代入するだけなので、、、、あれ^^;自分で連立しなおさんとアカンのか。じゃあnのままやってあとで代入。tanα/2の導入と係数から、有名な式変形だと分かったので、正解を確信。複素数平面でいけば回転で一瞬やけど、ここは帰納法でやっておくかな。

第3問・・・【確率】サイコロの目と2次方程式の整数解(C、40分、Lv.2)

サイコロの目を係数とした2次方程式の解が整数になる確率についてです。極めて単純な題材ですが、逆に単純すぎてほぼ全調査に近い作業を強いられますので、時間はかなり持って行かれます。

(1)はb、cだけなので、全調査も可能でしょう。(Principle Piece A-7 数学A 集合と場合の数  p.20) 解の和がbなので、片方が整数解なら残りも整数で、しかも正の数です。c=1~6でかけてcになる組み合わせを探せばいいでしょう。b=7になるものが入らないように注意。

(2)まではなんとか行けるでしょうか。こちらも解と係数の関係から、解が全て整数になるには、b、cがaの倍数である必要があります。a=1のときは(1)で数えた通りです。a=b=cのときに解にならないことを確認し、a=2のときは(1)でb、cが1~3になるもの、a=3のときは(1)でb,cが1~2になるものだけを数えればOK。その意味でも、(1)の段階で表を書いておくと見やすいかもですね。

(3)は実質全調査に近い作業を強いられます。軸の位置とx=0では正であることから、整数解をもつとすれば解が1,2,3,4,5のどれかになることを利用すると比較的絞って調査出来ます。解で分けるというのは少し難しいテクニックですね。

4.対策~演習量を確保しつつ、過去問の研究を徹底的に~

「図形」「確率+数列」「整数」の3本柱という軸がぶれていません。(今年は数列が単独で、確率+整数となりましたが)これを中心に演習しましょう。原則習得入試基礎演習を夏までに一通り終えて、標準レベルの演習まで行ってから過去問に接続しましょう。微積は今年は出ました。昨年から警告していた通りで、やはりやっておいた方がいいですね。

量をこなす演習:じっくり演習=8:2ぐらいでしょう。

以上です^^

 

 

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■関連する拙著シリーズ■

★ 数学A 確率 (第3問)

★ 数学A 整数 (第3問)

★ 数学II 三角関数 (第1問)

★ 数学II 微分 (第1問)

★ 数学II 積分 (第1問)

★ 数学B 数列 (第2問)

微積、今年も全く出ませんでしたね^^;

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