東京大学 文系 | 2019年大学入試数学

   

●2019年度大学入試数学評価を書いていきます。今回東京大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2019年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2019年大学入試(国公立)シリーズ。
東京大学(文系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





東京大学(文系)
(試験時間100分、4問、記述式)

1.全体総評~やや難化だが、ここ数年の傾向に沿う~

理系同様に2年連続で難化。確率は文系では復活し、微積、領域が2問、確率といった感じです。

方針は立ちやすいが、共通問題の第1問含めて計算量が多め。確率も調査するには回数が多く、うまく数えないと難しい。第4問は感覚的には理解できるが、説明できたかどうか。確率を除くとほぼ図形やグラフで、時間はかかります。



試験時間100分に対し、
標準回答時間は105分。

2018年:95分

2017年:90分

2016年:100分

2015年:130分

2014年:95分

2013年:120分

2012年:100分

2011年:95分

2010年:95分

過去10年平均:102.5分

2.合格ライン

第1問は誘導に従ってなんとか計算を合わせたい。

第2、4問はともに領域問題で、キー。

第3問は(1)だけでも。(2)は難しめ。

第2,4問でどちらかをしっかり確保し、片方は半分ぐらいできれば十分。60%ぐらいがボーダーかと思われます。


3.各問の難易度

☆第1問 【微分法】図形と最大・最小(B,25分、Lv.2)

理系と共通です。理系の2番をご覧ください。文系は理系に比べると親切で、文字設定もあり、さらにどの文字を残すかまで指定されていますので、理系よりは解きやすかったと思います。

 

※KATSUYAの解答時間20分。

☆第2問・・・【図形と式+ベクトル+微積分】関数総合(B、25分、Lv.2)

うまく融合された関数と図形の問題です。直接的ではないですが、いろいろ聞いてきます。

コツコツといわれたことを式にしていけば(1)は出来るでしょう。条件2は放物線で条件1は2直線の間です。1つは接することになります。面積は6分の公式を使えばいいですね。(Principle Piece II-117 積分 p.29)

(2)は原点を通って放物線と接する直線を求めることになります。なす角の問題は接するタイミングを聞いていることも多いですね。y=kxとおいて重解条件でもいいですし、原則に従って接点を置いてから接線の式を作ってでもいいです。(ULTIMATE Principle Piece)

※KATSUYAの感想:解答時間14分。最初は式にしていくだけか。1つは接するから下の直線はあまり意味がないのか。じゃあ面積も楽勝。(2)はなす角やから接線やな。接点を置く方法のほうが領域内かどうか判断しやすいのでそちらを採用。片方は外れなので端っこ。値汚いな^^;

☆第3問・・・【確率】ランダムウォーク(BC、25分、Lv.2)

文系は確率が復活しました。何十年と続いた確率が出なかった2018年の入試には少し驚きましたが、今年は復活です。ただ、まあまあ難しい^^;

(1)まだ大丈夫だと思います。表n回、裏10-n回で、8の倍数(マイナス含む)進むようにする方法を数えるだけです。教科書にもあるような、反復試行で回数不明の問題のパターンです。(Principle Piece A-34  数学A 確率 p.21)

(2)はまともに数えると大変。「少なくとも1回Fを通る」とありますので、余事象には気づきたいです。(Principle Piece A-9  数学A 集合と場合の数 p.24) 10回目にAかつFを通らないときを調べることになります。

ランダムウォークのときのように斜めの正方形を作って数えるのが一番早いのではないかと思われます。例えばこれだと、10回目に「初めて」Aに到達する確率など、多少条件が重なっても出せるので、ぜひ覚えておきたい手法です。K塾さん、Yゼミさんはこの方法です。

※KATSUYAの感想;解答時間17分。ランダムウォークのやり方で解けばいいかな。10回分書くのが意外とメンドウ。(1)は結局計算で出してるし、(2)だけならもう図が少し小さくて済んだかな。

第4問・・・【ベクトル+図形と式】ベクトルの存在領域(B、25分、Lv.2)

第2問に引き続き、ベクトルに領域が絡んでいます。ここまで分野がかぶるのは珍しいですが、第2問とは全然違い、図形色が濃いです。また、説明をある程度必要とするタイプです。

(1)のDはいいでしょう。対称性を活かしてパタパタ折り返すのがいいかと。Eの方ですが、まずはOR→=OP→OQ→ としても、変わらないことをいいましょう。領域Dが原点対称なので、OQ→も、マイナスOQ→も同じところを動きます。

あとは、2文字が動くので1文字固定の考え方(ULTIMATE Principle Piece)で、領域Dの正方形が対角線の交点がD内にあるように動くことを説明すればいけます。

(2)は感覚的には理解できると思いますが、どう説明するかが難しいところです。OA→=(a,b)を導入することを思いつければ、引き算するとOA→分が消えるので、結局OP→ーOQ→になると言えそうですね。

文系の受験生にはちょっと難しめかもしれません。

※KATSUYAの感想:解答時間13分。(1)のDはさくっと。Eの前に、引き算はいやなので「+」に変えても変わらないことを示し、あとは1文字固定でDを動かす。(2)も中心までのベクトル分が引き算でキャンセルされることを示せばいけるはずなので、それを利用。

 

4.対策

出題分野は、確率(漸化式と絡む)、図形、微積分です。4題中3題は傾向が固定されていると言えますので、比較的対策は行い易いと思います。(確率が出ませんでしたが、かなりまれ。出ると思ったほうがいいです。)

東大の問題はどれも質が非常にたかく、かつよく考えられた創作問題といえます。パターンにはまった学習だけでなく、数学を本質から理解している人ほど点数が高くなるような試験になってます。標準問題のマスターは前提で、加えて質の高い問題、かつ、さまざまな方面から解説を行っている問題集でじっくり考える演習も必要です。

原則習得段階を確実に、かつ素早く行い、入試演習になるべく早い段階で入っていきましょう。多くの問題に触れることで様々な表現に慣れていくべきです。最終段階は入試標準演習で大丈夫だと思います。

東大は文系の数学も単科で販売があります。理系同様、良問なので解法研究をこれで行うのがいいでしょう。

以上です^^

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■関連する拙著シリーズ■

★ 数学A 確率 (第2問、第4問)

★ 数学II 図形と式 (第2問、第4問)

★ 数学II 微分 (第1問、第2問)

★ 数学II 積分 (第2問)

★ 数学B ベクトル (第2,4問)

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