東北大学理系 | 2019年大学入試数学

2019/03/03

●２０１９年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東北大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１９年　大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中はコメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

２０１９年大学入試シリーズ（国公立）シリーズ。
東北大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

東北大学（理系）
（試験時間150分、６問、記述式）

１．全体総評～中盤以降の問題が厳しめ～

昨年並みです。易から難に並んでいる傾向は継続中で、第１問、第２問は簡単な方ですが、第３問以降は発想力、計算量がともに問われる問題が多く、完答が難しい問題が多いです。なお、今年は数学IIIは第１問、第３問、第５問から３問出ており、例年の第５問、第６問からの出題ではなく、複素数平面は姿を消しています。

試験時間150分に対し、
標準回答時間は190分

2018年：185分

2017年：170分

2016年：135分

2015年：178分

2014年：185分

2013年：155分

2012年：170分

2011年：140分

2010年：200分

２．合格ライン

前半の第１問、第２問はこの後を考えるとおさえておかないとキツイ。

第３問は（１）（２）までは欲しい。（３）は難しいか。

第４問は中盤の中ではマシな方かと思われます。誘導を活かして最後まで行きたいところ。

第５問はキー問題。最初の証明に発想力、後半は計算力を問われます。後半は前半の事実を受け入れればいいですが、前半の証明の発想が一部必要な計算があるので、前半が出来ないと全滅に近い。

第６問は（１）（２）までは押さえたい。（３）は漸化式として難易度高め。解法が分かっても計算量が多い。

第３，５，６問がどれも完答できない可能性も大きいです。その場合は残りを出来る限りおさえます。５５％強ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

第１問　【微分法の応用】接線の直交条件（B,20分、Lv.2）

めずらしくしょっぱなから数IIIの出題で、ｙ＝sinｘの接線が直交する条件です。

（解いていくと分かりますが、微分係数はー１~１までしかとりませんので、直交するなら接線の傾きは－１と１しかありません。片方をー１、片方を１として接線を求めて、その交点を求めれば終わりです。ｘは一般角なのでcosｘ＝１となるｘ＝２ｋπなど、一般角で出すことに注意。

※KATSUYAの解答時間10分。お？しょっぱなから数III？珍しくないか？いつも5番と6番にあるけど。まいいか。直交やから傾きの積＝－１、、、いや、１とー１しかないのか。じゃあ簡単だわ＾＾；　1番だけあってそこまで難しくない。

第２問　【対数関数＋２次関数】対数不等式を満たす整数の存在条件（B、25分、Lv.２）

定数ａ，ｎの入った対数不等式を満たす整数ｘの存在条件を聞いています。

（１）はｎに具体的な値が入っているので余裕ですが、底が１より小さいかどうかで向きが変わるので場合分けを忘れずに。真数条件も忘れずに。対数不等式は、何よりも真数条件が大事です。(Principle Piece II-87 数学II 指数関数・対数関数 p.20-22)

（２）はｎ＜ｘ＜２ｎの間に、不等式を満たす整数があるようにします。分母を払ったりｌｏｇをとったりすると、左辺ー右辺＝（ｘ－ｎ）^2－（２ｎ－ｘ）などとなります。ｘ＝ｎでこれが負に、ｘ＝２ｎでは正になることに気づけば勝ちです。存在範囲のタイプなので、端っこの符号を確認することは自然な発想のはずです。(Principle Piece I-32 数学II 2次関数 p.44)

０＜ａ＜１の場合は、ｘ＝ｎ＋１で負に、ａ＞１の場合はｘ＝２ｎ－１で正になればＯＫ。どちらからも同じ条件が出ます。

※KATSUYAの感想：解答時間１４分。（１）は代入して解くだけ。（２）があるから、先にｎで表しておいてもよかったか。解の存在範囲の話やから、ｘ＝ｎ　ｘ＝２ｎの符号を調べてみるか。符号が確定するので安心。なら１つずらして符号が同じなら満たすものが存在するな。同じ条件になるんか。ちょっと興味深い。

第３問　【極限】一般項不明の漸化式の極限（CD、45分、Lv.3）

一般項不明の漸化式の問題で、パターンに見えて結構難問です。（１）（２）まではそんなに難しくないですが、（３）は意外と証明しにくく、発想力が問われます。ｙ＝ｘ＾２＋ｘとｙ＝ｘのグラフからはなんとなく想像がつくでしょうが、ちゃんとした証明は難しい。

（１）から意外と難しいのではないでしょうか。ｘn+1ーxn=xn^2＞０　ですから、｛ｘｎ｝は単調増加であることが言えます。

さらに、先の式の左辺の形から、ｎ＝１，２，・・・で和をとれば、x_n-x_1＝x_1^2+x_2^2+・・・x_n-1^1となります。｛ｘｎ｝が単調増加なら、その各項はa^2より大きいので、(n-1)a^2以上と出来ますので、これで発散が言えます。

（２）は、ｎに関する証明なので帰納法を用いればＯＫ。ｆ（ｘ）＝x^2+xのー１＜ｘ＜０における値域が、再びー１~０の範囲に入りますね。(Principle Piece Ｂ-23 数学Ｂ数列 p.50-57)

（３）は難問です。－１＜ｘｎ＜０のとき、－１／ｘｎ＞１　であることを利用して、両辺の逆数を取って漸化式を立てると、これが∞に発散することが言えますが、発想としてはレベルがかなり高いです。　xn^2+xn＝xn(xn＋１)なので、逆数を取っても部分分数分解出来ることなども逆数を取ろうと思う理由になっています。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間28分。（１）（２）は詰まることなく終了。（３）の極限は０になることは予想できる。原則的には等比数列的不等式か。平均値の定理を活用してｆ'(c)の範囲に持ち込もうとするも、ｆ’（ｃ）＜１と出てしまうのでうまくいかず。はて・・・？式の形から逆数を取っても部分分数分解可能やから、ちょっと試す。お、発散が言えた＾＾　ちょっと発想が難しいかな、これは。

☆第４問　【式と証明＋三角関数】整式の割り算と余り（B、25分、Lv.２）

X^2+1で割った余りや、その余りからもとの式を求める問題です。

（１）はただの計算です。（２）の前座でしょうが、あまり実感は出来ません（苦笑）

（２）は合同式にもある「ａ≡ｃ、ｂ≡ｃならａｂ≡ｃｄ」のような命題が整式にも言えるということです。これを証明する要領でＡ（ｘ）＝(ｘ＾２＋１)Ｐ＋[Ａ(ｘ)]　などとおけばすぐに証明できるでしょう。

（３）は計算して割り算すると、うまく倍角に当てはまります。面白い性質ですね。

（４）は（３）の性質をうまく使いたいので、合成の要領で√a^2+b^2＝ｒ　として、a=rcosθ、ｂ＝rsinθなどと強引に（３）の形にします。余りはｒ＾４(xsin4θ＋cos4θ)と出せます。1次の係数からsin4θ＝０、定数項とｒの符号からcos４θ＜０が出ますので、４θは奇数×πでないとダメで、ここからｒ＝１も出ますね。

ａｘ＋ｂのままで、（２）だけを駆使して計算することもできます。それでもそんな苦しい計算ではありませんので、いずれの方法でもこれは完答したいですね。

※ＫＡＴＳＵＹＡの感想：解答時間16分（１）の計算は別にいらんな＾＾；（２）やったところで実感はない。（２）は合同式の要領で解けばＯＫ。（３）はまた割り算するのね。結構面白い結果。（４）は（３）があるからこれを使いたいな。４θになるんやろーけど、三角関数の形にしたいから、ということで、「上記のｒ」の導入を思いつく。あとは計算。

☆第５問　【積分】定積分計算、積分方程式（C、35分、Lv.３）

特殊な定積分の計算と、それを利用しつつ定積分方程式を解く問題。（２）はパターンですが、（１）の証明が出来ないとおそらく計算の途中で詰まるし、計算量もかなり多めで難しいです。

（１）は比較的有名な特殊積分になります。－１~０と０~１にちぎって書き、－１~０の方をｘ＝－ｔで置換するのが最もオーソドックスでしょうが、一度でもやったことがないと思いつくのは難しいです。

今回は、真ん中の式が区間が０~１であることと、その被積分関数が分子になっていることなどで、積分区間を０~１にそろえればいいのでは、という発想似なりやすいかとは思います。中辺がなく、いきなり１／２だとほぼ思いつくのは不可能でしょう。

（２）は定積分方程式のパターン問題。定積分は定数なので、定数ａ，ｂなどと見やすくしておきましょう。(Principle Piece II-114 数学II 積分 p.15-16)　なお、e^xは積分の外に出せます。

f(t)のー１~１の積分と、e^tf(t)の－１~１の積分になりますが、（１）の式以外に１／１＋e^ｔ　の積分(ｅ＾ｔ＝ｕで置換)は入ったりするので、計算量は多め。さらに（１）とは別にsin^2(πｔ)・e^t/1+e^t　の積分が入ったりします。下線部を１－1/1+e^tと変換しないと（１）を利用出来ません。

ようやく計算した連立方程式も解がまあまあ煩雑なので、完遂するのは難しいかもしれません。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間２４分。（１）は有名な積分。区間をちぎって片方は置換ね。（２）はそれを利用して積分方程式を解かせると。原則通り定数をａ，ｂなどとおいてａ，ｂの積分計算。げー、結構メンドウな計算がいろいろ入ってるな。係数もe-1/eとか出るし。あってんのかこれ。いや絶対出てくるだろ。しょうがないかなこれは。発想力も計算力も必要やから、結構きびしめやな。

☆第６問　【確率＋数列】確率と漸化式（C、40分、Lv.３）

最後はめずらしく数IIIではなく、確率と漸化式です。数IIIは今年は場所が散っていましたね。本問は最後らしく、計算は5番に引きつづき煩雑です。

設定はシンプルなので漸化式の作成にはそこまで苦労はしないと思います。（１）は使う文字も指定もあるので、ｎ回目→ｎ＋１回目の把握は問題ないでしょう。(Principle Piece Ａ-41 数学Ａ確率 p.39-43)

（２）は１回だけ赤玉を取り、あとは白球です。赤を取るまではひたすら確率１／２、そこからは確率３／５です。赤を取るタイミングが１，２、・・・ｎ回目として和を取るか、（１）みたいに漸化式を立ててもＯＫ。

漸化式を立てた場合は指数型になりますので、ｐやｑのｎ＋１乗で割るなりしましょう。(Principle Piece Ｂ-13 数学Ｂ数列 p.34-35)

（３）は（１）（２）を利用しますが、かなり難しめの漸化式です。実はこれも指数型で、このように後ろに指数がたくさんある場合は、階差型の方に帰着させれば同じ要領で出来ます。ただ、計算は煩雑ですので、ゆっくりやって合わせましょう。ｎ＝２からなので、これも注意。

等比型に帰着させることも出来ますが（Ｋ塾さん、Ｙゼミさんはこちらの方法。Ｓ台さんは別解として）、発想としてはかなりレベル高めで、繰り返しこの手法を用いた経験がないと厳しいでしょう。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間24分。最後がこれか。数IIIではないと。いつも通り原則で、、、いや、たいした漸化式ではないけど、数値入れたら複雑そう。（２）は予想通り指数がくる。この漸化式ノーヒントなのね。結構厳しくないか？階差型になおして計算するも、計算がかなり煩雑にってきて気がめいる。係数も１０／７やら出てきてごちゃごちゃする。ｎ＝２で一応確認するが、合わない。まじか＾＾；　これで探すのキツイぞ。半分あきらめつつも、運よく秒で発見。最後の式変形でくだらないミスあり。よかったーすぐに見つかって。