名古屋大学 文系 | 2020年大学入試数学

   

●2020年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は名古屋大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2020年 大学入試数学の評価を書いていきます。


入試シーズン中はコメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

2020年大学入試(国公立)シリーズ。
名古屋大学(文系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。






また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





名古屋大学(文系)
(試験時間90分、3問、記述式)

1.全体総評~理系でも厳しめのセットが続く~

2017年から難を継続中で、難易度は高止まり中です。今年も全体的に質・量ともに昨年レベルを維持しており、理系で出題されても十分試験になるセット。2019年に引き続き、理系との共通問題はありませんでした。

1番もパターンに見えて計算の仕方によってはドロ沼にはまりかねず、2番、3番も後半を中心に、理系でも差がつく出題でかなり苦しいです。全滅もありえそうなセットです。


試験時間90分に対し、
標準回答時間は100分

2019年:95分。

2018年:100分

2017年:100分

2016年:75分

2015年:90分

2014年:95分

2013年:90分

2012年:95分

2011年:90分

2010年:85分

2.合格ライン

どれも完答は難しいと思います。確保したいのは第1問の(1)、第2問の(1)、第3問の(1)(2)まではなんとか。残り時間で、第1問の(2)(が出来れば(3)もいける)、第2問の残りか第3問の残りに手をつけたい。

第1問は多少計算が拙くても、時間がある限り頑張ればたどり着きます。第2,3問で手をこまねいているぐらいなら手をつけたほうがよかったです。


ボーダーは、、、半分も厳しいのでは^^; 40%~45%でしょうか。

3.各問の難易度

☆第1問 【微積分総合】絶対値付き定積分の最小(BC ,30分, Lv.2)

2次関数の絶対値の定積分の問題ですが、普段のパターンと毛色が違うようです。

中身=0となるaと区間で場合分けする原則を用いるタイプが典型的ですが、今回は場合分けは不要です。(一番めまぐるしく符号が変わる時が前提)f(x)=0となる解が汚いため、(2)の計算が処理の仕方によってはかなりかかります。うまく計算したいところです。

(1)はいいでしょう。解の存在範囲の問題です。解が必ずー1≦x≦1という表現に「ん?」となったかもしれませんが、重解はOKで、2個あるときは2個ともその範囲に入っていないとダメということです。判別式(常にOK)、軸、端の符号でいきましょう。

問題は(2)です。f(x)=0の解は汚いので、「時が来る」までα、βで置いておきます。区間は-1~α、α~β、β~αとなりますが、定積分計算(符号付き面積計算)で区間-1~1でf(x)を積分してから、負の面積になった部分を2回足せばOKです。

この負の面積の部分が、「6分の公式」利用で出せることが分かれば、αやβで置くどころか、積分計算もまともにする必要ないので、かなり計算は減ります。√a^2=|a|で絶対値は残るので注意。

(3)は(2)が出れば微分するだけです。a≧0だけで調べれば絶対値も外れ、こちらもラクになります。

Sさん、Yさんは6分の公式利用、Kさんはα、βとは置いて計算はまともにやっています。

 

 

※KATSUYAの感想:解答時間17分。(1)は原則通り。(2)は最初式を書き、「α、βで置くとしても、あんまり計算したくないな^^;」となる。うまく出来ないか。原始関数Fを持ちだして式を書いてみると、ややこしいところは、F(α)ーF(β)が2回出るだけと気づく。符号付き面積で考えたら当たりまえか。そうか。このおかげで計算はラクに。ありそうでなかったタイプ。うまく作られてるなぁと思いながら最後は微分してさくっと終了。文系には厳しいような^^;

 

第2問 【平面+空間ベクトル】円周上の3点、球面上の4点(C、30分、Lv.2)

前半は円周上の3点、後半は球面上の4点に関する問題で、後半は図形的な考察も合わさるので、難しいと思います。

前半は正三角形をなす3点です。1つを移項して2乗すれば内積が出ます。なす角がみな120°と分かりますので、正三角形ですね。

後半の(i)が難しめ。最初に両辺を3で割ることに気づけるかどうか。それにより、左辺はABCの重心Gを表すベクトルになります。次に、OG=OHで、GもHも平面ABC上にあり、OHは最短距離を表すので、GとH自体が一致することに気づけるか。これに気づけば、三平方でGA=GB=GCも分かり、外心にもなるので正三角形と言えます。

(ii)は(i)を利用すれば簡単です。条件が成り立つとき、|OA→+OB→+OC→|=|OD→|=1=3|OH→|が成り立ってますから、ABCなどは全て正三角形になりますね。

※KATSUYAの感想:解答時間13分。最初はさくっと。後半は少し考えて、3が邪魔なので割って重心に気づく。OHが距離なら、GとHが一致することも気づけた。OGも平面ABCに垂直なのね。じゃあ外心も言えそう。思いつけば計算はあまり必要ない。

☆第3問 【数列】和の計算、領域内にある長方形の個数(C、40分、Lv.2)

直角二等辺三角形で囲まれる領域内にある、格子点を頂点とする長方形の数を求める問題。こちらも後半を中心にかなり難しく、理系でも差がつくレベルの問題です。

(1)は数えるだけですが、R(4)は2×2の正方形などを見落としがちかと思います。(自分が見逃したので^^;)

(2)から一般化していきます。x軸上にあるので、その横の長さが1の場合、2の場合と考えていくと、長方形の数の計算方法に規則性があることが分かります。説明は少しメンドウですが、式が正しく立てれていれば大丈夫でしょう。

横1:1+2+3+・・・+(nー1)

横2:1+2+・・・・+(nー2)

一般に、横n-kなら1+2+・・・・+k=1/2k(k+1)になりますので、これをもう一度シグマ計算することになります。まともにやってもいいですが、連続整数の積の和は、うまく変形すると「真ん中ごっそり」型に直せますね。

k(k+1)=1/3{(k(k+1)(k+2)ー(k-1)k(k+1)}として足せばOK。

(3)はR(n)とS(n)の関係の考察。S(n)を除いた長方形の数ですが、選べる格子点を見るとR(n-1)と同じであることに気づけば、階差数列から一般項を求める要領で計算可能です。こちらも連続整数の和なので、真ん中ごっそり型にすれば計算はさらにラク。

(4)はたんなるおまけではなく、良問です。まともに4次方程式を解こうとするとかなり厳しいです。連続4整数の積が24×1001となるので、24や1001を素因数分解して、うまく組み合わせて連続4整数にします。11・12・13・14になると分かりますね。

1001=7・11・13は覚えておいて損はないでしょう。999=3・3・3・37などもよく見かけます。

※KATSUYAの感想:解答時間28分。この中の長方形の数ね。結構ありそうで計算は多そう。(1)は数えるだけやけど、、、R(4)は意外とある。最初2×2を見落とす。そのまま(2)でS(n)。しばらく思考錯誤し、横の長さで分けて計算すると規則が見えたのでシグマ計算。「和の和」のパターンね。(3)も階差の関係になることに早めに気づけたので、同様に計算。検算でR(4)が1個足りないと気づく。こっちがあってるはず。数え直して修正。(4)はうまいな。4個かけて2万ぐらいやから、だいたい10台が4つ並ぶ。1001=7・11・13。11と13はそのままとして12を作る。あとは7があるから14か。OK。

4.対策~演習量を確保しつつ、過去問の研究を徹底的に~

頻出分野は、「図形」「確率+数列」「整数」「微積」です。原則習得入試基礎演習を夏までに一通り終えて、標準レベルの演習まで行ってから過去問に接続しましょう。2018年までは影を潜めがちな微積は、ここ2年は連続で出ました。

量をこなす演習:じっくり演習=8:2ぐらいでしょう。

以上です^^

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