東京大学 文系 | 2020年大学入試数学

   

●2020年度大学入試数学評価を書いていきます。今回東京大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2020年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2020年大学入試(国公立)シリーズ。
東京大学(文系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





東京大学(文系)
(試験時間100分、4問、記述式)

1.全体総評~さらに難化で今年はしんどい~

理系同様に3年連続で難化。文理共通の4番は理系でもかなり厳しいですし、場合の数も考えることが多く正答は難しめ。関数関連の1番、3番が頼みの綱といったところです。



試験時間100分に対し、
標準回答時間は140分(4番を捨てれば80分)

2019年:105分。

2018年:95分

2017年:90分

2016年:100分

2015年:130分

2014年:95分

2013年:120分

2012年:100分

2011年:95分

2010年:95分

過去11年平均:105.9分

2.合格ライン

第1問は全体のセットを考えると取りたいが、こまごまとした部分をきちんと処理できるか。

第2問の場合の数は数えにくいタイプで(1)が出来れば御の字。

第3問も全体を考えると逃せないが、決して簡単ではないのでキー問題

第4問は(1)だけつまみぐいです。あとは捨ててOKでしょう。

第1問、第3問が両方とれれば、、、、といいたいところですが、現実的には1完1半+αぐらいがボーダーとなりそうです。40%~45%ぐらいでしょう。

3.各問の難易度

第1問 【微分法など】3次関数がx軸に接する条件など(B,20分、Lv.2)

文字定数a,bを含む3次関数がx軸に接し、囲まれた部分に格子点が1つだけ入る条件を求める問題。

前半は簡単。接するということは、極値のいずれかが0になればOK。x=0の方はb>0なので、x=2aの方となります。3次方程式の解と係数の関係でも出来ます。解をp、p、qとおいて対称式と係数と比較しましょう。

後半は、まず格子点が入るなら、囲まれた部分で格子点があるなら、(0,1)のみであることに気づくことから。このためには、極大値の4a^3が1と2の間にないといけません。(A)

このもとでは、1/2<a<1なので、左側は格子点はありませんが、右側は(1,1)などが可能性として残っていますので、また、x=1のときにy≦1となることも条件になります。これをとくとa≦√3/2 となりますが、条件Aが成り立てばこれは成り立ちます。大小の吟味もここで要求されていますね。

 

※KATSUYAの解答時間10分。接する条件か。後にグラフもいるし、微分で計算してさくっと出す。格子点は(0,1)のみ。これのみになる条件を見ていく。はいるとしたら(0,2)と(1,1)(-1,1)とか。これらが入らないように条件式を出して終了。理系のあとなので、簡単に見えるけど、文系の最初にしては差が出そう。

 

☆第2問・・・【場合の数】16個の格子点から5個を選ぶ方法(C、40分、Lv.3)

場合の数です。文系では確率・場合の数が復活していますが、今年の場合の数は難しめです。16個の点を選んで、直線上に1個も含まないものがあるかどうかを吟味する問題。

(1)は、1個も含まない直線が2本ある場合です。縦2本、横2本、縦横1本ずつで分けて考えることまでは思いつくかと思いますが、どれも過不足が発生しやすいです。

縦2本でいきます。x=1,2上にないとすると、残り8点から5点を選ぶことになりますが、そのまま8C5=56とはならないのがポイント。5点の取り方次第では、y=1などにも含まないようにできます。

x=1,2とy=1で含まないのは、6点から5点を選んだ6通りです。y=2,3,4も同様なので、56-4×6=32通りです。これに縦棒2本の選び方を考えて32×6=192と出ます。横棒2本も同じ192通り。

縦横1本ずつ(x=1、y=1とする)の場合は、残り9点から選びます。このうち、さらにx=2,3,4とy=2,3,4のうち1本を含まないように選ぶ方法が6通りずつあるので、9C3-6×6=90通りです。棒の選び方は今回は4×4=16通りあることにも注意すると1440通りと出ますので、先ほどの192通り2つを足して終了です。

(2)は、私は利用しませんでしたが、(1)を利用することも出来るようです。5点を選んだ時、1点も含まない直線は1本か2本か3本しかないので、あと1本と3本を数えればOK。

3本を含む場合は(1)の途中計算から得られます。1本を含む場合はx=1として、残り12点から5点です。縦3列を見て1点、2点、2点タイプと、1点、1点、3点タイプなどに分けるといいと思いますが、ここの数え上げが結構しんどいです。

利用するにしても、(1)と独立して解くにしても、過不足の非常に置きやすい問題で、理系でも骨の折れる数え上げです。

※KATSUYAの感想:解答時間25分。うわ、こういうのあんまり好きじゃないな。過不足がおきそう。(1)は上記のとおり数え上げました。(2)は地道に行くことに。5点のx座標、y座標を文字でおき、1,2,3,4が全て入るのようにすればいいとして安易に計算し、全事象を超える。でかすぎるわ^^; もう一度数えなおし。まず並べ替えは関係ないな。どうりででかいわけだわ。重複があったり、5点とみせかけて4点だったりするものもあり、結局書き出しに近い作業を行って終了。

☆第3問・・・【関数総合+三角関数】半直線の通過領域、点の存在条件(B、20分、Lv.2)

放物線上の点と原点を結ぶ直線がどこを通過するかを求める問題と、後半は正三角形の存在条件です。聞き方が遠まわしですが、やることに気づけばこれが本セットで最易問だと思います。

(1)は通過領域です。図形と式の領域の問題のように、解の存在範囲の問題としてとらえてもOKですが、原点を通る直線がCと接するときを出せば、それが境界になるのは明らかでしょうから、それでOKでしょう。原点は曲線外なので、先に接点を置いて接線の式を作り、原点を通ることを代入しましょう。

(2)も聞き方が遠回りなだけ。OAを60°または-60°回転させたらOBになります。Aの存在条件から、Bがx軸からどのぐらい回転させた直線上ならセーフかということです。聞いているのは傾きの条件ですから、傾きと角度はtanで結びつければOKですね。

※KATSUYAの感想:解答時間10分。特に詰まることなく、上記の通りに解いて終了。これはまだましかな。理系に出したら簡単すぎるけど、1問ぐらいこういうのが欲しいところ。

第4問・・・【数列+方程式】異なるk個の積の総和、漸化式(D、60分、Lv.3)

理系と共通です。理系のエントリーをご覧下さい。この最難問が理系と共通とは・・・って感じです。

※KATSUYAの感想:解答時間33分。

4.対策

出題分野は、確率(漸化式と絡む)、図形、微積分です。4題中3題は傾向が固定されていると言えますので、比較的対策は行い易いと思います。(確率が出ませんでしたが、かなりまれ。出ると思ったほうがいいです。)

東大の問題はどれも質が非常にたかく、かつよく考えられた創作問題といえます。パターンにはまった学習だけでなく、数学を本質から理解している人ほど点数が高くなるような試験になってます。標準問題のマスターは前提で、加えて質の高い問題、かつ、さまざまな方面から解説を行っている問題集でじっくり考える演習も必要です。

原則習得段階を確実に、かつ素早く行い、入試演習になるべく早い段階で入っていきましょう。多くの問題に触れることで様々な表現に慣れていくべきです。最終段階は入試標準演習で大丈夫だと思います。

東大は文系の数学も単科で販売があります。理系同様、良問なので解法研究をこれで行うのがいいでしょう。

以上です^^

■他年度の、本大学の入試数学■

>> 
2010年度

>> 2011年度

>> 2012年度

>> 2013年度

>> 2014年度

>> 2015年度

>> 2016年度

>> 2017年度

>> 2018年度

>> 2019年度

 - 2020年度大学入試数学 , , , , , , , , , , ,