東京大学文系 | 2020年大学入試数学

2020/02/27 2022/05/29

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回東京大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２０年大学入試（国公立）シリーズ。
東京大学(文系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。

また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

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YouTube開設しました。　個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を動画にしてみようと思います。

東京大学（文系）
（試験時間100分、4問、記述式）

１．全体総評～さらに難化で今年はしんどい～

理系同様に３年連続で難化。文理共通の4番は理系でもかなり厳しいですし、場合の数も考えることが多く正答は難しめ。関数関連の1番、3番が頼みの綱といったところです。

試験時間100分に対し、
標準回答時間は140分（４番を捨てれば８０分）

2019年：105分。

2018年：95分

2017年：90分

2016年：100分

2015年：130分

2014年：95分

2013年：120分

2012年：100分

2011年：95分

2010年：95分

過去11年平均：105.9分

２．合格ライン

第１問は全体のセットを考えると取りたいが、こまごまとした部分をきちんと処理できるか。

第２問の場合の数は数えにくいタイプで（１）が出来れば御の字。

第３問も全体を考えると逃せないが、決して簡単ではないのでキー問題。

第４問は（１）だけつまみぐいです。あとは捨ててOKでしょう。

第１問、第３問が両方とれれば、、、、といいたいところですが、現実的には１完１半＋αぐらいがボーダーとなりそうです。４０％~４５％ぐらいでしょう。

３．各問の難易度

第１問　【微分法など】３次関数がｘ軸に接する条件など（B,20分、Lv.２）

文字定数ａ，ｂを含む３次関数がｘ軸に接し、囲まれた部分に格子点が１つだけ入る条件を求める問題。

前半は簡単。接するということは、極値のいずれかが０になればＯＫ。ｘ＝０の方はｂ＞０なので、ｘ＝２ａの方となります。３次方程式の解と係数の関係でも出来ます。解をｐ、ｐ、ｑとおいて対称式と係数と比較しましょう。

後半は、まず格子点が入るなら、囲まれた部分で格子点があるなら、（０，１）のみであることに気づくことから。このためには、極大値の4a^3が１と２の間にないといけません。（A）

このもとでは、１／２＜a＜１なので、左側は格子点はありませんが、右側は(1,1)などが可能性として残っていますので、また、ｘ＝１のときにｙ≦１となることも条件になります。これをとくとa≦√3/2　となりますが、条件Aが成り立てばこれは成り立ちます。大小の吟味もここで要求されていますね。

※KATSUYAの解答時間10分。接する条件か。後にグラフもいるし、微分で計算してさくっと出す。格子点は(0,1)のみ。これのみになる条件を見ていく。はいるとしたら（０，２）と（１，１）（－１，１）とか。これらが入らないように条件式を出して終了。理系のあとなので、簡単に見えるけど、文系の最初にしては差が出そう。

☆第２問・・・【場合の数】16個の格子点から5個を選ぶ方法（C、40分、Lv.３）

場合の数です。文系では確率・場合の数が復活していますが、今年の場合の数は難しめです。16個の点を選んで、直線上に1個も含まないものがあるかどうかを吟味する問題。

（１）は、1個も含まない直線が2本ある場合です。縦2本、横２本、縦横1本ずつで分けて考えることまでは思いつくかと思いますが、どれも過不足が発生しやすいです。

縦2本でいきます。ｘ＝１，２上にないとすると、残り８点から５点を選ぶことになりますが、そのまま８Ｃ５＝５６とはならないのがポイント。５点の取り方次第では、ｙ＝１などにも含まないようにできます。

ｘ＝１，２とｙ＝１で含まないのは、６点から５点を選んだ６通りです。ｙ＝２，３，４も同様なので、５６－４×６＝３２通りです。これに縦棒２本の選び方を考えて３２×６＝１９２と出ます。横棒２本も同じ１９２通り。

縦横１本ずつ（ｘ＝１、ｙ＝１とする）の場合は、残り９点から選びます。このうち、さらにｘ＝２，３，４とｙ＝２，３，４のうち１本を含まないように選ぶ方法が６通りずつあるので、９Ｃ３－６×６＝９０通りです。棒の選び方は今回は４×４＝１６通りあることにも注意すると１４４０通りと出ますので、先ほどの１９２通り２つを足して終了です。

（２）は、私は利用しませんでしたが、（１）を利用することも出来るようです。５点を選んだ時、１点も含まない直線は１本か２本か３本しかないので、あと１本と３本を数えればＯＫ。

３本を含む場合は（１）の途中計算から得られます。１本を含む場合はｘ＝１として、残り１２点から５点です。縦３列を見て１点、２点、２点タイプと、１点、１点、３点タイプなどに分けるといいと思いますが、ここの数え上げが結構しんどいです。

利用するにしても、（１）と独立して解くにしても、過不足の非常に置きやすい問題で、理系でも骨の折れる数え上げです。

※KATSUYAの感想：解答時間25分。うわ、こういうのあんまり好きじゃないな。過不足がおきそう。（１）は上記のとおり数え上げました。（２）は地道に行くことに。５点のｘ座標、ｙ座標を文字でおき、１，２，３，４が全て入るのようにすればいいとして安易に計算し、全事象を超える。でかすぎるわ＾＾；　もう一度数えなおし。まず並べ替えは関係ないな。どうりででかいわけだわ。重複があったり、５点とみせかけて４点だったりするものもあり、結局書き出しに近い作業を行って終了。

☆第３問・・・【関数総合＋三角関数】半直線の通過領域、点の存在条件（B、20分、Lv.2）

放物線上の点と原点を結ぶ直線がどこを通過するかを求める問題と、後半は正三角形の存在条件です。聞き方が遠まわしですが、やることに気づけばこれが本セットで最易問だと思います。

（１）は通過領域です。図形と式の領域の問題のように、解の存在範囲の問題としてとらえてもＯＫですが、原点を通る直線がＣと接するときを出せば、それが境界になるのは明らかでしょうから、それでＯＫでしょう。原点は曲線外なので、先に接点を置いて接線の式を作り、原点を通ることを代入しましょう。

（２）も聞き方が遠回りなだけ。ＯＡを６０°または-６０°回転させたらＯＢになります。Ａの存在条件から、Ｂがｘ軸からどのぐらい回転させた直線上ならセーフかということです。聞いているのは傾きの条件ですから、傾きと角度はtanで結びつければOKですね。

※KATSUYAの感想：解答時間１０分。特に詰まることなく、上記の通りに解いて終了。これはまだましかな。理系に出したら簡単すぎるけど、１問ぐらいこういうのが欲しいところ。

第４問・・・【数列＋方程式】異なるｋ個の積の総和、漸化式（D、60分、Lv.3）

理系と共通です。理系のエントリーをご覧下さい。この最難問が理系と共通とは・・・って感じです。

※KATSUYAの感想：解答時間33分。

４．対策

出題分野は、確率(漸化式と絡む)、図形、微積分です。４題中３題は傾向が固定されていると言えますので、比較的対策は行い易いと思います。（確率が出ませんでしたが、かなりまれ。出ると思ったほうがいいです。）

東大の問題はどれも質が非常にたかく、かつよく考えられた創作問題といえます。パターンにはまった学習だけでなく、数学を本質から理解している人ほど点数が高くなるような試験になってます。標準問題のマスターは前提で、加えて質の高い問題、かつ、さまざまな方面から解説を行っている問題集でじっくり考える演習も必要です。

原則習得段階を確実に、かつ素早く行い、入試演習になるべく早い段階で入っていきましょう。多くの問題に触れることで様々な表現に慣れていくべきです。最終段階は入試標準演習で大丈夫だと思います。

東大は文系の数学も単科で販売があります。理系同様、良問なので解法研究をこれで行うのがいいでしょう。