大阪大学 理系 | 2021年大学入試数学

   

●2021年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は大阪大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2021年 大学入試数学の評価を書いていきます。

2021年大学入試(国公立)シリーズ。
大阪大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





大阪大学(理系)
(試験時間150分、5問、記述式)

1.全体総評~昨年よりは骨があるが、易しめ~

昨年はかなり易しめのセットでしたが、今年はそこから少し難化したという印象です。とはいっても例年に比べれば穏やかな方で、全く手が付けれない問題はなかったと思います。、

分野的には数IIIが3問、残りは整数とベクトルでした。阪大は「良問セット」という印象です。難しすぎず、演習するにはいいと思います。(阪大の試験としては易しい気がしますが^^;)

 


試験時間150分に対し、標準回答時間は130分。時間内に収まりました。

2020年:111分

2019年:165分

2018年:165分

2017年:150分

2016年:160分

2015年:165分

2014年:140分

2013年:145分

2012年:135分

2011年:170分

2010年:135分

2.合格ライン

第1問は微分の問題。計算量もそこまで多いわけではないので、しっかり押さえる。
第2問もやることは明快なので、落ち着いて最後までいきたい。

後半の3つがキー問題。
第3問は数式系の微積分総合で不等式。誘導は比較的分かりやすい。(2)まではなんとか。
第4問は整数問題なので差がでそう。本セットでは最難問か。
第5問は微積。(1)はとれるはず。(2)は問題文の意味をきちんと数式に落とせばいけるはずだが、差がでそう。

1番、2番はおさえる。3番、4番。5番はかき集めて1完以上は欲しい。65%ぐらいでしょうか。

3.各問の難易度

☆第1問 【微分法の応用】接線、最小値(B,20分、Lv.2)

双曲線xy=1に引いた2本の接線の接点に関する問題。問題文の通りに計算するだけで流れも見えやすいので、ここはおさえたいところです。

(1)は、接する問題では、接点をおくことが原則。接点がないと、接線の公式は使えません。答案的にまとまりをよくするなら、s、t以外の文字pなどでおき、(a,b)を通るという条件から2次方程式を作り、「pに関する2次方程式の解がs、tである」という流れがいいでしょう。

(2)は(1)がちゃんと出ればどうってことはないです。要は、abが最大になる時が、t/sが最小になる時だと気づけば、ただの数IIの3次関数の微分です。

 

※KATSUYAの解答時間11分。最初から数IIIか。重いんかな。接点は与えられてるけど、別で置いた方がまとまりがいいな。(2)は比をとるってみるとabだけの議論にあるとすぐに分かるので、abが最大?最小?のどちらのときが満たすかだけ慎重に判断あとはただの計算。

第2問 【ベクトル】四面体、4点が同一平面上にある条件(B、20分、Lv.2)

四面体を題材とした空間ベクトルの問題で、同一平面上にある条件と、さらに角度等の条件から、値を決定していく問題です。こちらもやることは明確なので、しっかり確保したいです。

(1)は同一平面上の条件なので、1-s-t、s、tの係数設定で行うか、始点をAなどにそろえでs、tだけで行うか。今回はOが入っていないので、前者の方がすぐに立てられると思います。

OQ=・・・を係数設定すると同時に、QがBC上にあることからも1-t、tなどの係数で表せますので、これで連立しましょう。

今回はすでにs、tが使われているので、それ以外の文字を2つ置かなければいけません。連立はややこしく見えますが、落ち着いて消去しましょう。自分で設定した文字を含めて文字4つ、空間ベクトルでの等式は3つですので、1文字残ります。問題文からsを残さなければいけませんので、s=・・・・にさえしなければsは残ります。

(2)は(1)が出来れば楽勝です。角度が与えられていたら、ほぼ100%内積を使います。空間ベクトルでは、長さ3つ、内積3つの計6種類の値を準備しておけば、基本的に怖いものはありません。本問も、OPとOQの内積を展開し、6つの値をカリカリ代入していくだけです。

※KATSUYAの解答時間12分。(1)の連立が文字が乱立するので、少し落ち着いて計算。文字はs、tで置いて、あ!s、t使えんし。やり直し(苦笑)。k、lにしてもう一回。sを残すから、t=・・・の式とかはどんどん代入。そんなに変な式でもないし、大丈夫かな。(2)は原則通り先に値を全部準備。あとは展開しながら代入するだけ。思ったより簡単にs出たな^^

☆第3問 【微積総合(数式)】不等式の証明、極限(BC、30分、Lv.2)

本格的な数IIIの微積分総合問題です。不等式の証明が2つ、(微分、定積分)と、それを利用した極限です。例年の阪大としては標準レベルぐらいの印象ですが、今年のセットの中だと難しい方です。

(1)は不等式なので、差を取って微分するのが原則。どちらも単調性がすぐに言えるので、これは取れるでしょう。

(2)は真ん中にある定積分の区間が大ヒントです。(1)の式を、その区間で積分すると得られると予想出来ます。積分記号が入っていない項について、積分計算をすると同じ式になることを示せばOK。

(3)は極限ですが、anが(2)の式のどれにあたるのかを見極めるのが最初のポイント。1/n logt の部分です。このtを、(1+k/n)に置き換えて、k=0~n-1まで変化させて和を取ることになります。そうすると、定積分の部分の和は、区間がつながり、積分区間が1~2となります。これが第2のポイントです。

それを見越して、anを真ん中においた不等式を作ると、ハサミウチの形が見えるでしょう。項の中に1/2tnのシグマが出てきますが、これを区分求積で求めることに気づくのが最後のポイントです。1/nが前に出ていて、中にk/nも見えます。比較的分かりやすいかと。

※KATSUYAの解答時間18分。数IIIの数式総合系か。見た感じはいけそう。(1)は差をとるだけ。単調なので楽勝。(2)も区間がまる見えなので簡単、(3)は(2)の式利用は明らか。t=1+n/kにして和を取ってみる。積分はつながる。anの場所も判明。残りの項を計算してハサミウチして終了。阪大ってハサミウチまあまあ好きな印象がある。


☆第4問 【整数】等式を満たす整数の条件、組数(C、30分、Lv.2)

整数問題で、等式を満たす場合のcの条件、a,bの組数を聞いてきます。定積分はおまけ程度。

(1)はとっととインテグラルを外して整理しましょう。式の両辺や、a≠bという文言からも、a-bで割れると予想出来ます。問題文から判断して、残った式をa,bの式=cの式に分けた方がいいでしょう。すると左辺がさらに因数分解できることがポイント。a,bを3で割った余りの組み合わせを全てためせば、片方の因数が3の倍数なら、両方3の倍数と分かります。もっとスマートにやる方法もありますが、「高々9通りぐらい、全部調べてやる」ぐらいの気持ちは持っておきましょう。

(2)は条件を満たす組数です。a<bならa<0<bになること、因数が両方3の倍数でさえあれば、2a+b,a+2bがどんな整数であっても、a,bは整数になること。それを述べれば、あとは3・3600・3600の素因数分解で、その約数の個数になると分かります。3の指数だけは1~4でないとダメなので、そこだけ注意です。

言われれば「なんや、そんな感じか」と思いますが、思いつきにくいタイプだと思うので、この問題は差が出るでしょう。

※KATSUYAの感想:解答時間22分。(1)の因数分解を行うことに気づかず、展開式のまま9通り調べたので、まあまあ時間かかりました。(2)でcが大きかったため、「このままじゃムリやろ」と思ったときにようやく因数分解に気づきました。cがもっと小さかったら、正直(2)は危なかったかもです。

第5問 【微分法(III)】方程式の解の個数、接線の条件(BC、30分、Lv.2)

最後は数IIIの微分からで、グラフが少し絡みます。(2)は問題文の意味が分からずギブした人もいそうですね。

(1)は楽勝でしょう。グラフは微分して単調減少であること、定義域の端の極限をとると∞~ー∞で動くことを言えばOK。

(2)は、言われた通りに接線の式を作ればOKです。その接線は、y=sinxの原点付近(ーπ/2~π/2)で作った接線です。その接線が、同じグラフのもっと右でも接するとき、最初の接点をどう決めればいいか、ということです。このように解釈出来れば、あとは接線の方程式を立てるだけでした。

接点を2点(x=t、x=uなど)用意し、その接線が同じになるには、傾き、切片が同じである必要があります。傾きの条件から、cost=cosuですから、tとuの関係式がすぐ出ます(すぐ出せない人は、今すぐ三角関数復習しましょう!)

それを利用し、切片の方の等式に代入すれば、(1)の方程式まで見えてくるということですね。

※KATSUYAの解答時間17分。最初は単調性示して極限とるだけね。(2)は、、、、一読して「何のこっちゃ?」となる。国語力が^^; 2度読みして、「うーん?接線実際に書いてみるか」となり、ようやく意味を理解。単純に接線作るだけやな。あとは等式といじってたら(1)の式まで来たので、案外ラクやった。

4.対策

阪大は良問ぞろいです。融合型が多く、分野はまんべんなく出ます。中でも確率、整数、微積は頻出なので、重点演習が必要。昔の傾向からすると、複素数平面は東大や京大に比べると頻度は少ないかもしれませんが、出てないわけではないので油断はできません。(2019年、2020年は複素数平面出てます)

阪大は微積で空間図形のことが多いので、空間図形の演習も必要です。図形的な感覚よりも、数式処理で考察できることを重視しましょう。感覚だけでは、積分計算に持ち込めませんので。

原則の習得は早めに終わらせ、早い段階で入試演習へ移行したいところです。阪大数学は下記のように単科長年タイプの本もありますので、傾向つかむ上でも早めに購入しておきましょう。本格的にやるのは秋以降でもOK。先に入試標準レベルまでは最低限行い、できれば仕上げ段階まで行いたいところです。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^


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