一橋大学講評| 2021年大学入試数学

2021/04/11 2022/10/08

●２０２１年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は一橋大学です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２１年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２１年大学入試（国公立）シリーズ。
一橋大学です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

一橋大学
（試験時間120分、５問、記述式）

１．全体総評～良問(苦手な人には苦しい)セット～

昨年比やや難です。とびぬけて難しい問題があるわけではないですが、「これは易しい」という問題もなく、どの問題も発想力や計算力が必要なため、数学の得意不得意で差が出そうなセット。試験としては適切で良問セットです。

昨年は前半と後半で難易の差が大きいセットだったので、苦手な人でもある程度点数を取れたと思いますが、今年は数学が苦手だと厳しい。

なお、数Aの整数が絡む問題が、5問中3問ありました。

試験時間120分に対し、標準回答時間は130分。

2020年：115分

2019年：120分

2018年：138分

2017年：135分

2016年：130分

2015年：150分

2014年：145分

2013年：125分

2012年：135分

2010年：125分

２．合格ライン

全問題がキー問題だと思います。発想の整数問題、や計算力勝負の微積分や確率など、どれも差がつきそう。

苦手な人は、比較的わかりやすい一本道であろう後半3つを頑張って計算して稼ぐ。得意な人は前半2つも方針が立つと思われます。

ラインは65%ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

第１問　【整数】1000以下の素数の個数（BC,25分、Lv.2）

1000以下素数の個数に関する問題。当時は話題を呼んだ素数の個数の問題ですが、そこまで特殊で高度なテクニックが必要な問題ではありません。問題文も短く、(問題文だけなら)だれでも意味の分かる内容なので話題にしやすかったのでしょう。

素数である以上、少なくとも２，３，５で割り切れません。本問で必要な発想はこれだけです。２や３や５で割り切れないものが1000までに何個あるかを数えます。「～も～も・・・ない」のパターンは補集合で考えます。全体から3つの和集合の計算をすればOK。ただし、２，３，５は素数なので注意。

これでだいたい270個ぐらいになります。あと20個ぐらい素数でないものを探せばOK。７×素数など、7以上の素数の積だけで表されるもの(1000以下は守ること)を探しましょう。これだけでも余裕で20個以上あります。

KATSUYA解答時間10分。これは差がでそうですね。思いつく人はすぐ思いつくかと。

本問を解く際に必要な考え方(思考中に使う知識など)は、拙著『Principle Piece』シリーズに全て載っています。こちらをこなしていれば楽勝でした＾＾

★　Principle Piece 数学A Chapter1~集合と場合の数

★　Principle Piece 数学A Chapter3~整数

本問について解説をした動画もご覧ください＾＾

☆第２問　【数列＋整数】ガウスを含む数列の和（BC、25分、Lv.２）

数列の和を求める問題で、ガウス記号が数列の項に絡んでいます。第１問に続いて整数が絡んだ問題ですが、メインは数列の和です。

ガウス絡みの数列の和の問題は、群数列を自分で作ることが原則です。ガウス記号のところがしばらく一定の数値になることが多いからです。

今回であれば、例えば[√ｋ]＝３となるk＝9～15～までです。なので、2^3という項は7個あるわけです。この要領で、第m群には、2^mが何個あるのかという考え方が出来れば、かなり前進します。

[√ｋ]＝ｍとなるｋは、m^2～(m+1)^2－1までの2m+1個です(2m個ではないので注意)。これでｍ群の構成が分かりましたので、ｍ群だけの和を出すことができます。それを第1群～第n－1群まで足せばOK。和の最後の項は第ｎ群の初項ですから、これだけ仲間ハズレになることに注意。

和の計算は等差×等比になりますので、S－公比Sを考えて斜めに書いて辺々引き算しましょう。

等差×等比に設定してきてもうひと計算してもらうあたりは、一橋らしい良問だと思います。

KATSUYAの解答時間は9分です。こちらも差がつきそうですね。

第３問　【図形と式＋三角比】三角形の存在条件、領域内の最大・最小（B、25分、Lv.2）

図形と式の単元に少し三角比が絡んだ問題。三角形の存在条件を領域図示し、その領域内で式の値の範囲を求める問題です。こちらは方針に迷うことはなさそうですが、領域を書いたりと、書くことが多く時間を要する問題です。

（１）は１，α、βを3辺とする三角形の存在条件です。対称性からα≦βとすると、条件はβ－α＜１＜β＋αでOK。

三角形の存在条件は、式であれば3辺ｐ，ｑ，ｒとすると、条件は|p-q|＜ｒ＜p+qだけです。左辺の絶対値の方を整理するとp+r>q、q+r>ｐとなります。「どの2辺も、残りの1辺より長い」を満たしています。しかし、３つとも式にするのはメンドウなので、上記のように1式で書くとラク。

数学を受験で使う場合は、むしろ「ある１辺について、他の2辺の和より小さく、差より大きい」と覚えておきましょう。このほうが式にしやすいです。

本題に戻ります。１＜α＋βは解と係数の関係利用で瞬殺です。βーα＜１の方も、解の差が出たら解の公式で出して引き算しましょう。判別式の部分しか残りませんね。

（２）はαβやα＋βがありますので、解と係数の関係の利用も見えます。a,bで置き換えましょう。すると（１）で出した領域内の最大・最小の問題に帰着されます。求めたい式＝ｋとおき、グラフで視覚化しましょう。

※なお、（１）の答案とは別にもう一度図を書いた方が無難です。（１）の答案には（１）で聞かれていることだけを書いておいた方がいいと思います。

放物線の2次の係数がｋなので視覚化されにくいですが、ｋが大きいほど放物線が閉じていく感じです。したがって、k=1/4だと領域内の放物線と同じ形なので交点はありませんが、1/4よりちょっとでも大きければ(感覚的に)めっちゃ右側でいつかは交わります。あとは、がどこまで大きくなれるかを調べればOKですね。

答案では、一応数式で連立しておいた方がいいでしょう。このあたりの議論が少し時間がかかりそうです。

※KATSUYAの解答時間は14:33です。こっちは一本道。