京都大学 理系 | 2021年大学入試数学

   

●2021年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は京都大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2021年 大学入試数学の評価を書いていきます。

2021年大学入試(国公立)シリーズ。
京都大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。



京都大学(理系)
(試験時間150分、6問、記述式)

1.全体総評~手のつけやすい穏やかなセットに~

昨年比易化です。昨年は手の月にい問題も散見されましたが、今年は全体的に手がつき、完答しやすい大問も増えました。その分(?)、計算量はある程度以上のものが多かったように思えます。

分野的には数IIIが半分(極限、微分、積分)、あとは整数、確率、ベクトルです。昨年とまあまあ似ています。

試験時間150分に対し、標準回答時間は167分。

2020年:185分

2019年:185分

2018年:230分

2017年:170分

2016年:185分

2015年:195分

2014年:175分

2013年:140分

2012年:187分

2011年:135分

2010年:152分

2.合格ライン

第1問、問1はおさえたい。問2ぐらいのレベルがキー問題になりそう。

第2問はただ式作って微分するだけなので、これは取りたい。

第3問は極限だが、解法次第では計算量が増える。時間的には差がつくが、ここもゴリ押しでも押さえたい。

第4問もただの積分計算。京大理系受験者なら押さえたい。

第5問は難しめ。(2)でベクトルの発想が出てこないと意外とキツイか。

第6問(1)は押さえたい。(2)は今年の最難問で、キツイかも。

微積の第2問、第4問を押さえ、第1問(1)も欲しい。第1問(2)、第3問でどっちも落とすとキツイか。

60%ぐらい(医学部以外)、70%強ぐらい(医学部)ですかね。


3.各問の難易度

第1問(1)【空間ベクトル】対称点の座標(B,15分、Lv.2)

平面に関して対称な点を求める問題です。決して簡単な問題とはいいませんが、ワークの総合問題ぐらいにならありそうな問題です。

平面ABCはx、y、z切片なので、切片型の平面の方程式を活用するのが早いと思います。平面の方程式が出来れば、法線ベクトルも簡単に分かりますので、垂線の足Mの座標を1文字で置けます。(OPベクトル+法線ベクトルのk倍)

あとはMが平面上にあることを利用してkを出せばMも出て、Qも出ますね^^

 

 

切片型でない場合は、平面の方程式を即座に出すことが難しいので、素直にAB、ACとの内積ゼロなどで連立して法線ベクトルを求めましょう。

 

※KATSUYAの感想:解答時間7分。パターン問題。対称点かぁ。計算メンドウかなぁ。。。3点をチェック。切片型やkんけ!よしよし楽勝^^ となり、そのまま原則通りに平面の方程式持ちだして終了。

※平面の方程式を持ち出していいのか、についての個人的な見解

OKです。あの超有名な面積の1/6公式も教科書では発展や研究に記載されている内容です。あの公式の使用に疑問を持つ人はいないと思います。なので、こちらだけがダメな理由はないと思います。

 

☆第1問(2)【確率】4種類の玉が初めて出る確率(B,15分、Lv.2)

4色の玉を繰り返し取り、n回目に初めて4色とも出る確率です。n絡みなので嫌な予感がしますが、見かけ倒しです。n≧4である、という追加が入ったようですが、まあそりゃそうよなって感じで影響はほぼゼロでしょう。

要は、n-1回目までに赤以外ちゃんと出ていて、n回目に赤色を出せばいいわけです。

3つの部屋にn-1人を分けるとき、3つともの部屋に入っている場合は何通り?と聞かれれば京大受験生なら楽勝のはずです。それと同じだと気づけばOK。部屋割りの基本は重複順列です。そこから、1部屋にかたまっている場合と、2部屋にかたまっている場合を引くだけですね^^

n回目はそれ以外の色なので、最後の1/4を忘れずに。

出た答えをn=4のときで検算するといいでしょう。3!/4^4 に一致すれば、正解の可能性と同時に、安心感がぐっと上がります。(試験場では安心感は大事!)

※KATSUYAの感想:解答時間7分。n回目に初めて4種類やから、それまでは3種類やから、、、ん?ただの部屋割りのタイプやんけ。気づいてからは手が止まることなく終了。検算もして確認。

第2問 【微分法(III)】接線、線分の最小値(B、20分、Lv.2)

微分法からで、線分の長さの最小値の問題です。接線もちょっと絡みます。数IIIの微積ですが、発想力も必要なく、計算量もそこまで多くないので、京大受験者は落とせません。

まずはとっとと接点を設定して接線を出して、x軸の交点も出します。あとはPQの長さをtで表せば微分して増減表ですね。対称性からt>0として問題ないでしょう。

これは特別なテクニックも必要なく解ける問題ですね^^

※KATSUYAの解答時間8分。とくに捻りもない。微分計算もそこまで多くないので、京大理系にしてはかなりカンタン。

 

☆第3問 【極限(+複素数平面)】三角関数の無限級数(BC、25分、Lv.2)

n乗×三角関数の無限級数を求める問題です。周期性を持つので場合分けで攻めようとして、「多すぎ^^;」となったのではないでしょうか。

角度がπ/6の整数倍なので、場合分けすると12通りになってしまいます。もちろん思い浮かばなければこれぐらい書くぐらいの覚悟は常に持っておきたいところです。

n乗と角度n倍を結びつけるものとして、複素数平面のド・モアブルの定理を思いつくと、z=1/2(cosθ+isinθ)を導入するという発想になると思います。(θ=30°)

部分和の実部を求め、その極限を求めればOK。部分和は等比数列の和で求めます。あとはz^nの部分がほぼムシ出来ることきちんと議論できればOK。

 


※KATSUYAの感想:解答時間13分。このパターンか。場合分け・・・多いからヤメて複素数利用の方針で解き進めて終了。12通りって、絶妙にあきらめたくなる多さな気がするなぁ。π/4で8通りなら結構やりそう。

 

☆第4問 【積分法(III)】曲線の長さ(B、20分、Lv.2)

数IIIの積分法の応用からで、弧長を求めるだけの問題。京大は単問が多いですが、この単問は京大にしては簡単な気がします。第2問ほど穏やかではないですが、計算をカリカリやるだけですね。

y=log(1+cosx) は高校の積分の範囲で弧長が出せる数少ない関数の1つですので、知っておいて損はないでしょう。もしやったことがなければ、本問で練習してみましょう。初見だと難しいところもあります。

変形すると、ルートの中が2/1+cosxになると思います。半角の公式の逆利用で、これを1/(cosx/2)^2 に変形できないと、ルートが外れません。弧長の計算では、1+cosxの式を半角で次数を上げて変形することが多いです(サイクロイドもそうですね)。ぜひ頭に入れておきましょう^^

1/cos●に出来たら、あとは(レベル高めですが)パターンです。分子分母にcosをかけ、分母を1-sin^2xにすれば、(sinの式)cosxの形になり、置換積分が可能となります。

1/cosx、1/sinxの積分が出来ないと思った人は、教科書や傍用問題集などですぐに復習です!

※KATSUYAの感想:解答時間7分。弧長出すだけかい。関数も典型的なやつ。カリカリ計算して終了。微分よりは計算も多いし京大理系ならギリギリ試験として成立か?第2問みたいな感じやと全員解けてまうような気が・・・^^;


☆第5問 【図形と式(+ベクトル)】外心の座標、垂心の軌跡(C、30分、Lv.2)

図形と式からで、軌跡の問題です。本セットの中では難しい方だと思います。昨年だとこれがキー問題ぐらいですかね。

(1)ですが、見込む角が一定ですから、Aは円周の一部です。なので、Aがどこにあっても外心は同じです。カンタンに円が出せるA(0,2)のときを利用して円の式を出すのが早いと思います。

(2)は垂心ですが、図形と式だけで攻めようとすると計算がキツいです。ここでベクトルの利用が思いついたかどうかです。垂直=内積ゼロの公式だったり、外心Oと垂心Hの関係式OA+OB+OC=OH(←ベクトルの式)なども見たことあると思います。垂心はベクトルと比較的相性がいいわけですね^^

あとはA(s,t)、垂心(x、y)とおいて連動系の軌跡を求めるパターンに帰着されます。連動系は、s=・・・、t=・・・mに変形して条件式に代入する、という手順が原則ですね。

※KATSUYAの解答時間20分。(1)は見込む角一定なら円周。60°か、正三角形になるときで円だしてまおかな。(2)は垂心か。垂心は基本的に座標計算オンリーは厳しいからベクトル利用がいいかな。内積ゼロを利用して連動系の関係式を出し、あとは原則通り。ようやく京大らしい問題になった気がする。

 

第6問 (1)【整数】素数であることの証明(B、15分、Lv.2)

整数問題で、ある式が素数ならnも素数であることを示す問題です。

そのままでは証明しにくい時には対偶を取ることに気づくかどうかです。「n^2が3の倍数ならばnも3の倍数」のような問題とほとんど同じタイプです。

nが合成数n=pqだとしたときに、3^n-2^nも合成数になることが言えればOK。n乗-n乗ですから、因数分解すればすぐに証明できますね^^



※KATSUYAの感想:解答時間7分。整数問題かな。「nが素数」が結論やから、対偶のほうが議論がはるかに楽。原則通り対偶を取って証明して終了。京大の整数問題にしてはかなりカンタン。

第6問 (2)【微分法III】接線の存在の証明(C、30分、Lv.3)

抽象的関数における接線の存在の証明で、京大らしい問題です。小問的な位置付けになってますが、本セットの中では最難問ではないでしょうか。

まずは接点をおいて、接線の式を適当に作り、原点を通る条件としてtf'(t)-f(t)=0・・・① が出ると思います。

まず、f(a)=af(1)が成立するとはどんな状況か、適当に関数を書いてみると少し見えます。状況的には、原点、(1,f(1))と(a,f(a))が一直線上にあるということになります。そのような曲線を書いてみれば、1とaの間で接するような直線がかけそうなことは予想画つきます。

1とaの間です。この表現から、平均値の定理が思い浮かべばぐっと正解に近づけます。あとはどのような関数で平均値の定理を使えばいいかです。ここが最も難しいところですが、原点と関数上の点を結ぶ接線の傾きを議論しているので、f(x)/xという関数が思い浮かべばOKでした。これを微分したときの分子に、①の形が出てくることからもつながりますね。

※KATSUYAの感想:解答時間19分。うーん、抽象的関数の問題は自分も苦手。とりあえず接線の方程式を作り、原点を通る条件とする。aを代入・・・んなカンタンなわけないか^^; 見えないので、とりあえず関数を書いてみることに、原点を通る直線を回転させれば、この辺に接線絶対あるな。間か。間・・・平均値の定理の可能性あるな。でもf(x)でやっても新情報なし。傾きの議論やからf(x)/xにしてみるか。微分したときの分子を見て正解にたどり着けると確信し、最後まで終了。

4.対策

確率、整数、微積、さらに複素数平面が頻出。数学Bのベクトルもよく見かけます。立体のほうが好きなようです。

2021年の傾向はかなりこれに合致しています。これらの分野は特に演習量や解法の幅を増やしておきましょう。解説が方豊富な問題集で、自分の思いついた解法以外のものも身につけましょう。

京大は、発想力に重きを置いた問題が出ることがあります。あとは標準問題か超大物です。超大物は完答しなくとも合格は出来ますので、それよりも標準問題で落とさないように、演習をすることが大事です。

原則の習得は青チャートなどで行いつつ、早めに入試基礎演習入試標準演習段階へと進めていきましょう。最終的には仕上げ段階まで行ってから、過去問に接続したいところです。

京大の過去問は単科長年タイプのものがあります。小問を省いた、発想力重視のものもあるので、その癖を実感するためにも、早めに見ておきましょう。


量をこなす演習:じっくり演習=6:4ぐらいでしょう。

以上です^^

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