東京大学 文系 | 2021年大学入試数学

   

●2020年度大学入試数学評価を書いていきます。今回東京大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2020年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2020年大学入試(国公立)シリーズ。
東京大学(文系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





東京大学(文系)
(試験時間100分、4問、記述式)

1.全体総評~難易度高止まりで厳しい~

理系と同じく、ここ数年はかなり難しいセットが続いています。文理共通の4番が理系でも最難問で厳しく、その他も決して簡単とは言えないです。



試験時間100分に対し、
標準回答時間は

2020年:140分(4番を捨てれば80分)

2019年:105分。

2018年:95分

2017年:90分

2016年:100分

2015年:130分

2014年:95分

2013年:120分

2012年:100分

2011年:95分

2010年:95分

過去11年平均:105.9分

2.合格ライン

第1問はキー問題。全体のセットを考えると取りたいが、おそらく他では差が付きにくい。

第2問もキー問題。(1)(2)ともにパターンではあるが、文系受験生がこの手の問題に明るいかどうか。

第3問も(1)止まりの可能性大。(2)は文系には厳しい。

第4問は途中から捨て問確定でしょう。

第1問を完答し、他をかき集めて1完分あるかないかぐらいだと思います。45%ぐらいでしょう。

3.各問の難易度

☆第1問 【微分法など】3次関数と円の共有点(B,25分、Lv.2)

単円と3次関数が6つの共有点を持つ条件です。放物線と円なら良く見かけますが、3次関数になると結構メンドウ。

交点なので、基本的には連立でしょう。3次式の方からyを消去して円の式に代入すると、x^6、x^4、x^2の項が出ますので、x^2=Tとでもおいて3次式に帰着です。円の範囲からして、-1≦x≦1でああることを忘れないように。

あとはこのTについての3次式が、0<T≦1で3つ持てば、それに応じてxは2つずつあるので6つになります。微分して増減を調べ、慎重に条件を調べましょう。文字定数aもあって決して単純な数値計算ではありませんが、ここであきらめたら点数取るところありません。

 

※KATSUYAの解答時間13分。3次関数と円か。しかも3次の係数にaついてるし。メンドそう。とりあえず連立してみる。x^2の置き換えが見えるので、定義域に注意して置き換える。3つの解をもてばいいから、微分。これ因数分解出来るんか・・・出来たわ^^; うまく数値が設定されるんか、そういうもんなのか。あとは極値は端っこの符号等を調べて終了。範囲せま・・・^^;

 

☆第2問 【場合の数】連続する整数を含む選び方(B、25分、Lv.2)

今年も文系の2番は場合の数です。確率・場合の数は文系のみの出題になりつつあります。が、そんなに簡単ではありません。連続2整数がない、あるいは連続N-2整数がある選び方の総数を聞いており、Nに具体的な数値が入っていても入試として成立するレベルです。

(1)は、3~2Nの中から、連続する2整数がないように選ぶということです。これはラクなやり方があります。

簡単な例題でやり方を示します^^

1~20から4つ選ぶとき、連続する2整数がないようにするには?

小さい順にa,b,c,dとします。このとき、a,b,c,dは連続していないので、どれも2以上離れています。従って、1≦a<b-1<c-2<d-3が成り立ち、さらにd-3≦17です。

すなわち、1~17から異なる4つを選び、順にa,b-1,c-2,d-3とすればいいので、答えは17C4です。

本題に戻ります。1以外のN-1個について、3≦a<b-1<c-2・・・・<N-1個目-(N-2)≦2N-(N-2)=N+2 となります。

3~N+2のN個から、N-1個を選べばいいので、N通りとなります。

東大の理系受験生であれば知っていてほしい手法ですが、文系の受験生はなかなか見かけないかもしれません。地道に数えてなんとか合わせられたらいい感じですね。

(2)は連続する数字が始まるところで場合分けするのが原則です。このタイプの方が良く見かけます。1対1対応とかにもあった気がします。1から始まる場合と、それ以外から始まる場合で場合分けすればOK。

※KATSUYAの感想:解答時間13分。文系には場合の数出るのね。(1)は・・・ああこれはパターンだわ。でも文字Nは言ってるから、文系にはキツイのでは? (2)は連続の先頭で分ければOK。まぁ、これは余裕かな。でも文系の人がどこまで手が付けられるか。

☆第3問 【図形と式】放物線の通過領域(C,30分、Lv.3)

理系と共通です。理系のエントリーをご覧ください。理系でも結構厳しい問題だと思います。

第4問 【整数】二項係数を4で割った余り(D、60分、Lv.3)

理系と共通です。理系のエントリーをご覧下さい。この最難問が理系と共通とは・・・って感じです。

4.対策

出題分野は、確率(漸化式と絡むことが多い)、図形、微積分です。4題中3題は傾向が固定されていると言えますので、比較的対策は行い易いと思います。(確率が出ませんでしたが、かなりまれ。出ると思ったほうがいいです。)

東大の問題はどれも質が非常にたかく、かつよく考えられた創作問題といえます。パターンにはまった学習だけでなく、数学を本質から理解している人ほど点数が高くなるような試験になってます。標準問題のマスターは前提で、加えて質の高い問題、かつ、さまざまな方面から解説を行っている問題集でじっくり考える演習も必要です。

原則習得段階を確実に、かつ素早く行い、入試演習になるべく早い段階で入っていきましょう。多くの問題に触れることで様々な表現に慣れていくべきです。最終段階は入試標準演習で大丈夫だと思います。

東大は文系の数学も単科で販売があります。理系同様、良問なので解法研究をこれで行うのがいいでしょう。

以上です^^

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