京都大学 理系 | 2019年大学入試数学
●2019年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は京都大学(理系)です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2019年 大学入試数学の評価を書いていきます。
2019年大学入試(国公立)シリーズ。
京都大学(理系)です。
問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
京都大学(理系)
(試験時間150分、6問、記述式)
1.全体総評~手がつけやすい問題が多くやや易化~
昨年比ではやや易化です。京大らしい誘導のない問題を中心に並びますが、計算量もそこまで激しいものはなく、手を付けようと思えば付けられるセットだったと思います。第1問が2つの小問に分かれましたが、難易度が下がった分これもお得感があります。
試験時間150分に対し、
標準回答時間は185分。
2018年:230分
2017年:170分
2016年:185分
2015年:195分
2014年:175分
2013年:140分
2012年:187分
2011年:135分
2010年:152分
2.合格ライン
第1問(1)は意外とキー問題。(2)はどちらもおさえる。
第2問は発想力重視の整数問題。発想はしやすいと思われるのでとりたい。
第3問はベクトルに見えるが、実際は数IIIの積分で見た目より難しい。
第4問の確率は本セット最難問と思われます。題意を読み取るのも難しいし、読み取れてもそれを計算に落としにくい。
第5問はキー問題。KO薬学部にほぼ同じ問題あり。設定力がものを言う。
第6問はそんなに難しくないので、全体の難易度を考えると取りたい。
60~65%ぐらい(医学部以外)、75%ぐらい(医学部)ですかね。
3.各問の難易度
☆第1問(1) 【三角関数+論理】三角関数の有理数、無理数条件(B,15分、Lv.2)
三角関数に有理数、無理数条件を絡めた問題。
2倍角や3倍角はいいとは思いますが、cos3θ=cosθ(4cos^2θー3)=cosθ(2cos2θー1)と出来るかどうかです。あとは、「0でないとすると無理数=有理数で矛盾」となるおなじみのパターンになります。
☆第1問(2) 【積分法(III)】定積分計算(B,15分、Lv.2)
2つとも標準的な定積分の計算で、京大受験者ならこれはおさえたいところ。
前半は傍用問題集にもありそうな、ただの部分積分です。意外と気づきにくいですかね。後半も教科書の例題に載っているはずです。1/cosθ、1/sinθの積分はお決まりの変形があり、(sinの式)×cos などと出来れば、sinを置換して積分可能です。(Principle Piece III-51 数学III 積分法 p.14-16)
※KATSUYAの感想:解答時間9分。(1)はcos3θは3次式でcosθ×(2次式)になる。から、2次式の部分をcos2θで表せれば、、、いけたいけた^^ (2)はどちらもパターンの定積分。東大も最初に定積分やったけど、こっちは簡単やな。
☆第2問・・・【整数】3次式が素数となるnの値(BC、20分、Lv.2)
昨年とタイトル変えてません。となり合う整数を代入したときに3次式が素数になるものを探す問題。
京大受験者なら整数対策は万全と期待したいので、これは正解できると思っています。
まずはいくつか入れてみることで、(ULTIMATE Principle Piece) 、nが偶数だと確実に偶数です。3次関数なので、nが大きければ2より大きい偶数になりますし、nが小さい(絶対値の大きい負の数)なら、やはり2より大きい偶数になります。
微分などをすれば、2以上やー4以下では|f(x)|の値はどんどん大きくなるので、隣り合う整数を入れれば片方が偶数のため、2より大きい偶数が得られます。あとはそれをきちんと説明するだけです。
候補としては、n、n+1に上記の数値が含まれない「n=-3,-2,-1,0」となりますが、これらは全て答えとなります。
※KATSUYAの解答時間9分。昨年よりは説明がメンドウかな。でも偶数になることには気づける。あとは、2以上やー4以下での単調性を言うのか。増減表がラクかな。
☆第3問 【図形と式+積分法】三角形内部のPが描く軌跡と面積(C、30分、Lv.3)
見た目よりずっと難易度の高い問題で、手をつけかけてあきらめた人も多いでしょう。
問題文的にはベクトルっぽいところに原因があります。ただ、Pの軌跡は明らかに放物線ですので、ベクトルだけで面積を出すのは厳しいです。そこで、座標を設定して積分計算をすることに気づけるかどうかが、この問題の山場です。
三角形の向きによりますが、数IIの積分でも解決します。媒介変数のまま積分するなら数IIIの知識が必要です。一般性を失わないように、かつラクな座標を設定しましょう。
※KATSUYAの感想:解答時間22分。内分点いっぱいなのでとりあえずベクトルで設定。係数的に軌跡は、放物線か。ん?じゃあこれ以上進まない気がする^^; どうすればいい?(結構考えました) 座標で設定しないとダメってことか。ベクトルの問題じゃないわこれ。と思って座標設定して内分点を出し直し。媒介変数でやってしまおうかな。結果が1/3倍で直感とあっていたので確信。
☆第4問・・・【確率+数列】確率、「和の和」計算(C、40分、Lv.2)
確率+数列で京大なので、漸化式絡みを想起しそうですが、今年は漸化式ではなく、状況も考えにくいため難易度は高めで、本セット最難問かと思われます。先に言っておきます。私は壮大に時間をかけて間違えました。
4以上をL(LOWのつもり)、5以上をH(HIGHのつもり)で置いたときに、1回目はLで、あとはどこでHが出始めるかです。さらにその後、一度でもLになったらあとはLが続かないとダメです。イメージはこんな感じ。
LLL・・・・LH・・・・HL・・・・L (最初のLは固定)
最初のL軍団の個数=i、次のH軍団の個数=j とし、i、jを動かせる範囲で動かしたときの確率の和となります。2文字がうごくので、1文字を固定しましょう。(ULTIMATE Principle Piece) それで和をとり、さらにそこから和とる。ことになります。いわゆる「和の和」の計算をします。
私が間違えた原因は、「X0=0としておく」を見落としたことです。これを見落とすと、最初がHで始まった場合に、
H・・・HL・・・LH・・・・HL・・・・L
となる場合まで考えてしまうことになります。しかも、この計算は上記の計算よりも難しい(「和の和の和」を取る計算になり、最後に(等差×等比)の和の計算が入る)ため、時間だけをかけて答えが合わないという結果になりました。この計算をしなくていいようにX0=0になっていたんだと、後で気づきました。
※KATSUYAの感想:解答時間35分。上記の通りで、35分は無駄になりました^^; X0=0やったらHから始まってても全然楽勝やんけ。もし本番でやったら笑えないわこれ。
☆第5問 【微分法(II) or 微分法(III)】半径1の球に内接する四角錐の体積の最大値(BC、30分、Lv.2)
題材としてはありがちな問題ですが、誘導がまったくない状態だと、設定力など総合的な力を問われます。良問だと思います。
なお、ほぼ2週間ぐらい前に行われたKO薬学部でほぼ同じ問題が出題されています(誘導あり)。早慶あたりの問題が同じ年の旧7帝大にも出題されるのは結構ある印象です。マジでやった方がいいです。
正方形を固定するところから始まるとは思いますが、正方形を固定したときのAの位置は、正四角錐になるようにおいたときです(AからB1~B4までの距離が等しいとき)。ほぼ明らかですが、記述はしておかないと意識していないとみなされます。
次に設定をしていきますが、立体なので切断面を考えます。球の中心を通るように切りたい(Principle Piece I-53 数学I 三角比 p.40) ので、AB1B3などがいいでしょう。すると、正方形の1辺よりも対角線を2xなどとおけばいいと分かります。「底面は2乗するのでルートが入ってもいい」と思っておくと、先に高さを設定する方が賢いです。
先に高さを設定すれば数IIの微分で行けます。先に対角線を設定するとルートが残るので、うまく置き換えない限りは数IIIの微分となります。が、理系なのでどちらでもOKですよね。
※KATSUYAの解答時間14分。は?どっかで見たけど。KO薬やったけな?半径違うだけやん^^; なので解法は全く迷わずさくっと終了。
第6問 【複素数平面+対数】常用対数、式が100億を超えるnの値(B、30分、Lv.2)
最後は複素数平面をちょっとだけ触った感じの問題で、常用対数と絡んでいます。最後にしては穏やかな問題です。
まず、左辺は極形式にして計算することで、2・(√2)^n・cosnπ/4 と出ます。
三角関数の部分を見ると、nを8で割った余りで分類するのが自然でしょう。条件を満たすにはそもそも正でないとだめですから、余り0,1,7のときでないとダメだと分かります。n=8kなどおいて、あとは常用対数の計算を3回ほどすればOK。
最後にしては穏やかですね。
※KATSUYAの感想:解答時間16分。いつも最後あたりに大物がくる印象やけど。今年はラク。てか、これだけのために常用対数表はっつけるんかい^^;上記のとおりに計算して終了。
4.対策
確率、整数、微積はほぼ確実に出題されます。新課程の複素数平面も、昔好きだったので要注意です。数学Bのベクトルもよく見かけます。立体のほうが好きなようです。
京大は、発想力に重きを置いた問題が出ることがあります。あとは標準問題か超大物です。超大物は完答しなくとも合格は出来ますので、それよりも標準問題で落とさないように、演習をすることが大事です。
原則の習得は青チャートなどで行いつつ、早めに入試基礎演習→入試標準演習段階へと進めていきましょう。最終的には仕上げ段階まで行ってから、過去問に接続したいところです。
京大の過去問は単科長年タイプのものがあります。小問を省いた、発想力重視のものもあるので、その癖を実感するためにも、早めに見ておきましょう。
量をこなす演習:じっくり演習=6:4ぐらいでしょう。
以上です^^
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