東京大学 理系 講評| 2022年大学入試数学

      2022/05/31

●2022年度大学入試数学評価を書いていきます。今回東京大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2022年 大学入試数学の評価を書いていきます。

2022年大学入試(国公立)シリーズ。

東京大学(理系)です。

やっぱり最初はここですね^^

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

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東京大学(理系)
(試験時間150分、6問、記述式)

1.全体総評~昨年より逃げ道はあるが厳しさ継続~

全体としては昨年並みぐらいの難易度です(それでも、2017年を除けばほぼ例年並みって感じです)。

ただ、今年は第1問や第4問のような逃げ道の問題があるのと、第3問のように長いけど一本道で道も分かりやすい問題などがあるので、最低限の得点を稼ぐことはできたかもしれません。その意味では、微易化といってもいいかもです。

 

分野的には、東大頻出の微積分、空間(体積)、図形、整数と、4年ほど姿をくらませた確率です。代わりに複素数平面が姿をくらましました。


試験時間150分に対し、標準回答時間は205分

2021年:205分。

2020年:210分。

2019年:210分。

2018年:195分

2017年:165分

2016年:205分

2015年:215分

2014年:205分

2013年:205分

2012年:205分

2011年:195分

2010年:200分

※過去13年平均:201.5分

2.合格ライン

第1問は数式の微積分。決して簡単ではないけど、本セットを考えると落とせない。多少時間をかけても完答で抜けたい。

第2問は整数で、捨て問とはいいませんが本格的な難問です。(1)どまりだったかもしれません。(2)以降はとりあえず不完全でも予想がつくなら、乱雑にでも書いておくのが得策か。

第3問はキー問題。やることは決まっていますが、図形の形が複雑で、必要な長さの計算を慎重にできたかどうか。

第4問は数II系の微積分。やることは典型的で、+αがあるぐらい。(2)も予想がつけば少し乱雑でも6~7割答案とかで抜けたい(理Ⅲは完答したい)。

第5問はキー問題。東大頻出の空間の求積なので、演習量の差が物を言いそうだが、対策していれば解ける人もいるか。理I、理IIは解ければかなりアドバンテージ、理IIIは手つかずだと差がつけられるか。

第6問もキー問題。時間的にたどり着かなかったかもだが、意味が分かれば見掛け倒し。第5問を早々にあきらめてこの規則を発見出来れば、作戦勝ちって感じ。

理I、理II:第1問、第4問で30点ちょいぐらい確保。第3,5,6問で25点~30点ぐらいかき集める+第2問は5点ぐらい=合計で半分ちょいぐらいがラインか。

理III:第1問、第4問で40点をしっかり確保。第3,5,6問で35点ぐらいかき集める+第2問は5点ぐらい=合計で80点(2/3)ぐらいですかね。

 

3.各問の難易度

☆第1問 【微積分総合(数式)】定積分関数の最小値(B,25分、Lv.2)

今年の最初は数IIIの微積分総合で、数式主体です。(1)は微分、(2)は積分計算です。

(1)は微分するだけです。log(cosx)でくくれるので、簡単に極小値(最大値)をとるxの値が分かります。問題の聞き方からして、もっとややこしいのかと思いましたが、具体的に数値も出ますね。

(2)は積分計算です。ポイントは最後の項ですが、部分積分が思いつきやすいところでしょうか。先に変形する関数の優先順位は三角=指数>多項式>対数(先に変形しない)と決まっていますので、それに従ってcostの方から変形しましょう。途中、1/costの積分が出てきますが、これは分子・分母にcostをかけて部分分数分解するんでしたね

他にもやり方はあり、これだけで非常にいい勉強になる定積分ですので、また別の機会に紹介したいと思います。(Youtubeとかも考えてみたり・・・)

使う原則は極めて基本的ですが、決して簡単ではないのが東大の特徴で、ハイレベルな知識を詰め込んでマウントを取ることはできないような設定になっており、良問といえます。(ハイレベルな知識はあるに越したことはないですけどね^^;)

 

KATSUYAの解答時間は14:01です。これを確保して波に乗りたい。

 

☆第2問 【整数+数列】漸化式で表される項の最大公約数など(C、40分、Lv.3)

整数からで、東大らしい本格的な整数問題です。設定がシンプルですが、成り立つ性質などはおもしろいです。試験場で思いつけば気持ちいい問題ですが、受験生にそこまでの余裕はないでしょう。

(1)はとっつきやすいですね。nに関する証明ですし、帰納法が思いつきたいところですね。分野も漸化式ですし、思いつきやすいでしょう。教科書では漸化式と帰納法は同じ単元ですしね。

(2)は難問。なんとなくnがkの倍数のときやろなぁと予想はつくと思います。しかし証明となるとなかなか難しいです。nがkの倍数でないときに、nをkで割った余りに応じて、余りがa1,a2、、、ak-1となっていくところまで予想できれば(1)のように帰納法で出来ます。

ちょっと大きくなりますが、a1~a6ぐらいまで求めてみて、(1)で求めたであろうa3で割ってみると見えたかもしれません。とにかく、n絡みの問題ではある程度まで実験してみましょう。多少数が大きくなってもガマン。手をこまねいているぐらいなら3ケタ×3ケタのひっ算をしてでも実験するほうが前進する可能性が高いです。

(3)も(2)を利用しますが、ただ利用するだけではできないところが、さすが東大といったところです。2022と8091ですが、明らかに8088に近いのでこれを利用すると予想できます。a(8088)≡0(mod a(2022))です。modをa(2022)にできたかどうかがポイント。

ここからたどると、(2)のプロセスも合わせてa(8091)≡a3=5なので、2乗したものは余り25となります。

ここからがもう一つのポイント。今回の問題は、最大公約数を求めることです。最大公約数を求める場合は、一度合同式から離れましょう。a(8091)^2=a(2022)×Q+25と、普段の(?)形に書き直すという意味です。

ここでユークリッドの互除法の登場です。文字式が入っている場合の最大公約数は、ユークリッドは数字同士のときより威力を発揮します。(数字同士なんて、見つかればそもそも使う必要ありませんよね^^;)。

(3)のこの2つの原則はレベルも高く、使える人も少ないのではないでしょうか。

※実は京都大理系でも今年(2022年)、最大公約数の問題が出題され、この原則が使えました。(後日エントリーします)

普段の形から、a(2022)と25の最大公約数と分かります。2022は3の倍数なので、5の倍数は確定。あとは5か25かを議論するだけなので、もう一度(1)の作業を、mod 25で行えばOKでした。

 

※KATSUYAの解答時間は22:13です。(2)は比較的すぐに予想がつきました。a6までの計算でa3で割ってみて規則を見つけ、余りの規則も予想がつきました。証明は驚くほどシンプルですが、予想がつかないと証明も思いつかないところがさすがといった感じです。

 

第3問 【図形と式+微分】条件を満たす存在領域の面積の最小値(B、35分、Lv.2)

図形と式からで、存在領域の面積の最小値を求めます。3次関数なので途中で微分が入ります。

設定の文章がちょっと長いですが、要はx座標かy座標が1以上離れてるところってことです。分かればシンプルな設定(なので難易度はBで設定しています)ですが、(2)の領域は場合分けも必要で、領域も思ったより複雑。精密な計算力を見るタイプです。

(1)はいいでしょう。Pの存在領域は1×1の正方形のタイル6枚分の中にあって、放物線上の点です。(左下、右下、右上がない感じ)

(2)はPを中心とした1辺2の正方形がど真ん中に現れる感じです。Pのy座標が2を超えるかどうかで、形が変わることは見抜けたと思います。あとは場合分けして、領域の面積を慎重に求めます。L字型になっている部分が多く、必要な長さを慎重に計算する必要があるので、神経と時間を両方消費します(途中、1個でもずれればアウトなので)。

このような計算がメンドウな場合分の場合は、境目(今回ならa=√2)のときに同じ値になることを確かめるだけでも、安心度がかなり違います。1分もあれば出来ることなので、必ず検算しましょう。

(3)は(2)が出来ればできます。それぞれの場合で微分し、極値を出すなり符号を判定するなりして、増減を調べます。3次関数の方も導関数がゼロとなるaは、どちらも範囲にはずれています。結局、境目が極小かつ最小ということですね。

 

※KATSUYAの解答時間26:09。形がとにかく・・・^^; これ嫌いなタイプやわ。でも他の問題が出来てないときは絶対に落とせないタイプ。

 

☆第4問 【微積分+図形と式】3次関数と直線が3点で交わる条件(B、25分、Lv.2)

数IIの微積分で、グラフ主体の問題です。後半で領域を聞いています。やることも典型的で、かつ計算量がそこまで多いわけではないので、本セットの中では比較的とっつきやすいと思います。これまで振るわなかったら、これを取るしかない。

(1)は表現が遠回しですが、y=k(x-a)+bとおいて3次関数と連立したとき、「kを適当に決めれば、a,bに関係なく3つの解を持つ」ことを証明すればOKです。

言い換えられれば、あとは3次関数とx軸との共有点の個数に帰着できますので、導関数f'(x)=0の判別式D>0、極値の積の符号<0が条件です。k,a,bと3文字が絡んでメンドウですが、東大理系なら、ここはサクサク手が動いてほしい。

kを特定するわけではないので、次数的に大きな項を判断して、「kを十分大きくとれば成り立つ」と言えればOK。ここら辺が少しひねりがあります。

(2)は、「囲まれた部分の2つの面積が等しい」のタイプなので、真ん中の点が変曲点であることは予想がつくと思います。当然それを説明してから進める必要がありますが、時間がないならそれを前提にして進めて、とりあえずの答案を書くのもありです。

「囲まれた2つの部分の面積が等しい」のタイプでは、「左端から右端までの定積分ゼロ」を利用します。その際、とりあえず3点をα、β、γとおき、被積分関数を(x-α)(x-β)(x-γ)と置いておくのがいいと思います。真ん中の(x-β)は、(x-γ+γ-β)として、(γ-α)はくくったままで要領よく計算していきましょう。結果はかなりきれいなものが出ます。

このタイプの問題では頻出の積分なので、東大受験者であれば一度ぐらいは計算しておいてほしい積分計算です。

これで真ん中が変曲点(原点)と分かったので、y=kxとでもおいて、残り2解を持つ条件をkで表せば、領域も出せます。領域自体は非常にシンプルです。

 

※KATSUYAの解答時間16:52。これは典型的。変曲点が真ん中であることはさすがに使えないので、積分計算をコツコツする。積分結果は何となく予想がついていると計算はサクサクいけます。演習量は大事です。

 

☆第5問 【空間図形+積分】点の通過しうる領域の体積(C、35分、Lv.2)

東大で頻出の空間の問題で、条件を満たす点の通過領域の体積です。東大の空間図形としては例年並みぐらいの難易度だと思います。東大を受験するのであれば「ちょうどいい」演習問題になるでしょう。

まずPは円錐の側面上をうごきます。このPに対し、PQ=2となるようにをとったときにMがどこにいるかをまずは判定する必要があります。Pの範囲は自由度が高いので、少しづつ動かしましょう。

Pをxz平面上の点に固定しておくと、PM=1となる必要がありますので、Mはz軸の上から見ると、x軸上に中心のある円を描きます。Pを動かしますが、z座標を固定して動かすとz軸を中心に回転しますので、Mの描く円もz軸を中心に回転するわけです。

z軸方向から見た平面では原点回りの回転体ですから、面積は最も遠い点と最も近い点の距離を出して、ドーナツ型ですね。

大体こんな断面だと分かってから文字を入れて精密に計算していくといいと思います。Mのz座標をzで置いた方が最後の積分で間違えないと思います。Pのz座標をzとおいた場合は、Mのz座標がz/2となり、最後の積分で変換する必要がありますので注意。


※KATSUYAの解答時間は19:14です。東大の十八番がきた感じですね。私がそこまで考え込まずに最後まで行っているので、東大の空間としては普通という印象です。空間系は考え込むと計算時間も加わって30分を余裕で越えますので。

 

☆第6問 【確率+ベクトル】コインの裏表とベクトル、確率の最大値(C、35分、Lv.2)

4年間旅に出ていた確率が、最後の問題で帰ってきました。問題文も長く設定の理解も難しいですし、問題も(1)から間違える可能性があり、残り時間を考えるとかなり厳しいと思われます。

なお、文理共通で文系の方が設定数値が小さいですが、やり方に気づくかどうかという発想寄りのタイプなので、数値が小さくても難易度はほとんど変わりません^^;

まずベクトルの部分はルールと問題からkを3で割った余りが0,1,2になるものが同数ないと戻ってこないことに気づきたいところです。ここは行けたかと。

(1)も(2)も原点にある場合なので、上記の条件を満たす必要があります。これを念頭に入れて、まず小さい数字であるN=8から試します。

表が0回なら、Oのままです。ベクトルの規則から、3つセットで足さないとOに戻らないので、出るとしたら3回か6回です。

3回なので、裏は5回です。ですので、●裏▲裏■裏●裏▲裏■で、●、▲、■に1個ずつ表を入れればいいと分かります。それより左の裏の数が0,3回なら●というように分けています。なので、●、▲、■2個ずつあるので8通りです。

表が6回の場合は裏は2回なので、●裏▲裏■ですから、●に表2個、▲に表2個、■に表2個をいれるしかありません。

この考え方に(1)で気づけば(2)まで一気に解法が分かり、やることも典型的です。

 

(2)では、まず表は3の倍数回でないとダメなので、3の倍数でないときは0です(それだけでも答案に書いておきたいところ)。3の倍数のときは、r=3pとでもおくきます。先ほどと同様にp回ずつ、●、▲、■に割り振っていくわけです。●、▲、■はそれぞれ67-p箇所ずつです。

分かりにくければp=64ぐらいを入れてみるといいと思います。64個の表を、3か所の●に入れる方法ですので、重複組み合わせの考え方になります。(これが見抜ければ勝ちでしょう)

重複組み合わせは、○と仕切りで考えるんでしたね。 p=3ぐらいで実験してもいいですが、仕切り(種類)の方が多いと勘違いしやすいので注意。

確率が出れば、あとは二項係数の最大値です。二項係数絡みの最大値は、比を計算して1との大小比較です。これはいつも通りですね(ここまで来れた人がどれぐらいいるかどうかですが)。

 

※KATSUYAの解答時間は28:17です。(1)で計算の規則を勘違いし、(2)で「最大になるタイミングなんて分からんやろ^^;」みたいな式になったので、(1)から規則を考え直して、重複組み合わせでいいんだな、と分かりました。分かれば割とすんなりですが、残り時間等で焦っているとなかなか厳しいですね。問題文も長いですし。

 

4.対策

東大の頻出4分野である確率、整数、微積(空間系あり)、複素数平面ですが、今年は確率が出ず、空間系の出題もありませんでしたが、引き続き確率、整数、微積、新課程の複素数平面の対策は重点的に行ったほうがいいです。(確率は昨年書いた通り、忘れたころに出題してきましたね。)

分野的にはかなりバランスがとれているので、頻出分野以外にも苦手な部分がないように、演習量を積んでおく必要があります。

ただし、原則習得はもちろんのこと、入試演習も数多くこなしつつ、質の高い問題演習は解説や別解の研究もして、本質的な理解と幅広い視点を養うことが求められます。

今年レベルでの対策をとっておけばかなり万全でしょう。早い段階で解かなくてもいいので数年分見て、難易度(到達しなければならないレベル)を肌で感じておきましょう。

お尋ね者の大学なので、対策本もばっちりあります。東大の数学は良問が多く、解法研究の格好の的にされていますので、他にもたくさん本があります。

 

 

量をこなす演習:じっくり演習=6:4ぐらいでしょう。

以上です^^

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