早稲田大学 理工学部 講評| 2022年大学入試数学

      2022/05/29

●2022年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は早稲田大学(理工学部)です。


2022年大学入試(私大)シリーズ。

早稲田大学(理工学部)です。




問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

 

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早稲田大学(理工学部)
(試験時間120分、5問、記述式)

1.全体総評~難化したが良問セット~

ここ数年は手がつけやすかったですが、質・量ともに今年はそれ以前の難易度に戻った印象です。微積分問題を中心に計算力を見る問題と、少し発想も必要な問題のバランスが取れたセットです。

分野的には5問中4問に数IIIが絡み、極限や微積分が主体でした。今年は確率からの出題がありませんでした。




試験時間120分に対し、標準回答時間は145分

2021年:130分

2020年:140分

2019年:145分

2018年:160分

2017年:160分

2016年:135分

2015年:150分

2014年:135分

2.合格ライン

(全科目の合格最低点は、55%~60%程度)

全ての問題がキー問題だと思います。その意味で試験としては適切なセットです。自分にフィットしたものを見分け、それを確実に得点できるかどうかです。

第1問はやることは分かりやすい分、計算力が問われる。(2)までは最低合わせる。(3)があうかどうか。

第2問は発想寄りの問題で、思いつけば最後まで行ける。

第3問(1)は押さえられる。(2)の証明法が思いついたかと、(3)で(2)を生かせたか。

第4問(1)が最難問かと。(2)は押さえられる。(3)はパターンとしては典型だが、図のイメージが湧いたか。

第5問は第1問同様でやることは分かりやすいが、計算量は多め。時間との闘いか。

発想よりの真ん中3問を考え込んでしまうとアウトなパターンです。解く順番も非常に大事なセットですね。

合格ラインは3完分ぐらいあればいいかと思います。

 

3.各問の難易度

☆第1問 【微積分総合】グラフの概形、面積、回転体の体積(B、30分、Lv.2)

最初は微積分総合問題。やることは分かりやすいが、計算量は多めで計算力を見ている問題です。

(1)の概形はいいでしょう。同じ平面上に書かせるということは、交点や位置関係なども分かるように書いてくれということです。(2)や(3)の流れを見ても明らかです。

なお、概形を書くだけなら、微分するのは大げさだと思います。g(x)も、x=log2で最小値をとり、交点はx=log4しかないと分かれば十分グラフはかけます。

(2)は(1)のグラフが書けていれば楽勝です。面積で必要なのは、交点と上下関係です。その意味でも、それ以上の細かい情報が(1)では求められていないだろうと思われます。

(3)は回転体の体積ですが、x軸をまたいだ領域なので、x軸より下側を反転させたものが必要です。その際、新たに求める必要のある交点(f(x)=-g(x)となる点)が出てきます。こちらも綺麗に出ます。

あとは丁寧に積分計算をすることになります。先に上側(外側)の部分を積分し、まとめて下側(内側)の部分の積分を引くといいでしょう。積分計算は指数に対数が入った形をしていますが、本学受験者ならつまづくことはないかと。

指数に対数→指数を対数の底に合わせる+対数の係数は真数に乗せるのが原則ですね。この状態にして、真数をそのまま書けばOK。例えば、e^(4log6)=e^(log1296) とすれば、そのまま1296となります。

今年だけでも3度目ぐらいですが、累乗の値はある程度は記憶しておいた方がいいです。6^4の計算程度に時間を割いてられません。

※ KATSUYAの解答時間は20:39です。(3)の計算は多めやけど交点もキレイに設定されてるし、試験としては適切かと。

 

☆第2問 【整数+方程式】条件を満たす整数係数の方程式(BC、25分、Lv.2)

方程式の解に関する問題で、整数絡みです。こちらは少し発想寄りですが、思いつけば(1)(2)はほぼ同時に解けます。

(1)でいきなりf(x)をすべて求めよ、ということなので、条件を整理します。整数解を持つので、それをα、もう一つをβとします。すると、解と係数の関係と、最初の条件からα+βは整数ですので、βも整数と分かります。

さらに、f(x)=(x-α)(x-β) と置けることがポイント。残りの条件により(1-α)(1-β)=pqとなります。p、qが素数なら、1-α、1-βの組み合わせは限られますね。(対称性から、順番の入れ替えは結果が同じになります)

(2)は、(1)ですべてのf(x)を求める際に、解α、βを出していますので、そのまま全部足しましょう。p、q、pqがすべてキャンセルされることは、(1)を解いている途中で分かりますので、ほぼ同時に(2)もクリアですね。

※KATSUYAの解答時間は12:41です。こちらは割とすぐに思いつきました。

 

☆第3問 【数列と極限】漸化式の極限、不等式の証明(B、25分、Lv.2)

漸化式と極限に関する問題で、ガウス記号が絡んでいます。誘導も適度に差がつくうような(分かりやす過ぎず、分かりにく過ぎず)感じで、思いついた人はすっきりしたかと思います。

(1)はいいでしょう。どちらも4型漸化式なので特性方程式を利用して等比型に帰着させます。なお、極限は(存在が保証されているなら)、特性方程式の解になります。穴埋めであれば漸化式の一般項を解く過程を飛ばせますので、時短テクとして使えますね。

(2)はnに関する証明なので、帰納法です。意外と思いつきにくそうですが、n絡み+証明は、帰納法をまず考える癖をつけましょう。

k→k+1の証明の際のポイントは、ガウス記号の扱いです。ガウス記号の問題は、一般に成り立つ性質[x]≦x<[x]+1(もしくは xー1<[x]≦x)を使うだけで、99%以上解決します。本学受験生なら経験済みであると期待したいところです。

(3)は、(2)を見た後だとハサミうちしたくなりますが、残念ながら両端の極限が違いますので、(2)はハサミうちには使えません。(1)の結果と合わせて、nが十分大きければ[an]=1と決まると言えば、anも漸化式は確定しますね。

なお、anの一般項を、an=13/9+(r-13/9)×(1/4)^n-1 と書いた人、いませんか?これだと減点されます。[an]=1となるのは、nが十分大きくなってからです。なので、[an]=1となる最初のn=mとでもおいて、そこから始めないといけませんね。

※KATSUYAの解答時間は16:38です。(2)でガウスの性質を使うあたりが差がでるか。(3)もハサミうちにとらわれると思いつかない人が多いかも。

☆第4問 【空間図形+積分】四角錐に内接する球、球の共通部分の体積など(C、40分、Lv.3)

分野的には数Aの平面図形+数III(数IIでいけますが)の積分という感じです。正八面体を題材に、球をいっぱいかいて和集合やら積集合やらを吟味してくれという問題。

問題文が(実際の試験用紙上で)7行ぐらいありますが、要するに正八面体を半分に切った正四角錐(6つあります)に内接する球を考えますよ、ということです。

(1)が個人的には本セット最難問だと思います(答えだけということですが、配点が低ければ助かる感じ^^;)。n=2,3のときはいいでしょう。場合の数の時と同じ、2つ、3つの時の和集合の考え方がそのまま使えます。

問題はn=6のときです。一般的に和集合というのは、以下のようにして求めることを知っていればかなり楽ですが、それでも結構難しいかと。

たとえば4個の和集合の場合だと、

1個の集合の全部ー2つ以上がかぶっているところ+3つ以上がかぶっているところー4つがかぶっているところ

となります。このように、プラスとマイナスを交互にすると、一般的に和集合になります。

これを利用すると、今回は6つがすべて同じ体積の球で、対称性からかぶり方も対称です。なので、和集合の体積は、一般的には

6Xー15Y+20Zー15W+6Vー1U 

です。W,V,Uは4つ以上、5つ以上、6つがかぶった部分の体積で、係数の根拠は6C1、6C2、・・・6C6となります。

これを今回のケースにあてはめていきます。

まず、4つ以上被ることはないので、後半の3項は0です。また、Yの係数もP1とP6、P2とP5、P3とP4はあり得ないので3つ引いて12Yとなります。

Zもあり得ないものを引きます。B1とB6とB●、B2とB5とB●、B3とB4とB●は存在しません。●は、前2つの数字以外の4つが入りますので、4×3=12です。この分を引いて、8Zとなります。

従って、a=6、b=ー12,c=8となります。答えだけでいいとはいえ、このn=6のときが最難問かと。

(2)はただの内接球の問題なので、半径が出ればOK。内接円のときに面積を媒介にするように、内接球なら体積を媒介にしましょう。1辺の長さの√3+1は一見汚くみえますが、この半径がきれいになるように考慮されています。

(3)は球と球の共通部分の体積です。複数の球絡み、円絡みの問題は、中心を通る平面で切るのが原則です。平面上の和集合を中心を通る線で回転したときの回転体の体積となります。うまく軸上に座標を設定し、積分計算に持ち込みましょう。

計算はそこそこといった感じですが、y^2の積分なのでルートもはずれ、範囲的には数IIの積分で済みます。

※KATSUYAの解答時間は25:31です。(1)のn=6で1/3ぐらい持ってかれた^^;

 

第5問・・・【微分法+極限】関数の極限、変曲点、接線の条件(BC、30分、Lv.2)

最後は再びがっつり数IIIで、最初と違って微分色の濃い問題。こちらも計算が主体なので、時間をうまく残していればここは稼ぎどころになると思います。

(1)最初の極限はよくある問題です(aに具体的な数値が入っていることが多いですが)。与えられた極限から考えても、明らかに置き換えでしょう。logxを置き換えれば、xが指数関数になりますので、あとはうまく式変形して与えられている条件が使えるように合わせましょう。

(2)はただの計算です。変曲点の話なので、2回微分したものを求めます。軸上に変曲点とのことなので、元の関数でy=0とするとx=1です。したがって、f''(1)=0であればOKですね。グラフを書く際に、(1)の結果を用いましょう。

(3)最後は接線の問題。接点が与えられているので、接線の式をとっとと出します。そのy切片が負であればいいということですので、そのまま条件式にします。at平面上なので、t=・・・に直すと書きやすいと思います。

logtについている係数がa-1となります。不等式の場合は係数が0かどうかに加え、符号も大事です。a=1、a<1、a>1の3つに分けて領域を書きましょう。

e^(1/1-a)のグラフですが、ある程度単調な関数なので、a=1付近の極限(右側、左側)と±∞の極限さえ求めておけば、微分までしなくてもいいとは思います。

※KATSUYAの解答時間は19:24です。やることが単独なので、計算問題という感じ。

 

4.対策

今年も5問中4問にに数IIIが絡んでおり、数III中心の出題です。複素数平面も頻出。これに確率とベクトル関連が多い印象です。また、今年は少なめでしたが、論証させるのが割と好きです。

IAIIBは2年生の段階で出来れば青チャートを終え、3年生では入試演習で徐々にレベルを上げたいところ。IIIもなるべく早い段階で入試演習に入りましょう。

過去問はもちろんですが、国立と併願の場合は、国立の2次対策がそのまま対策になると思います。入試標準演習までは最低でも行い、より高得点をめざすなら仕上げ段階までいっておきたいですね。

量をこなす演習:じっくり演習=6:4ぐらいですね。

以上です^^

 


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