九州大学 文系 講評| 2022年度大学入試数学

      2022/05/29

●2022年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は九州大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2022年 大学入試数学の評価を書いていきます。


入試シーズン中、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

2022年大学入試(国公立)シリーズ。
九州大学(文系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。




また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。


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九州大学(文系)
(試験時間120分、4問、記述式)

1.全体総評~馴染みのない題材に苦戦か~

難易度は昨年比やや難化です。量的には適量だと思いますが、文理共通の微積分の問題が文系にとっては馴染みがなさ過ぎてしんどいのではないかと。それ以外は九大文系の例年並みの難易度です。

分野的には、グラフ主体の微積と数式主体の微積、あとはベクトル高次方程式です。2021年に引き続き、数IIの出題が多いです。確率と整数からの出題がありませんでした。



試験時間120分に対し、標準回答時間は105分。

2021年:90分

2020年:95分

2019年:88分

2018年:75分

2017年:85分

2016年:115分

2015年:85分

2014年:110分

2013年:100分

2012年:130分

2011年:105分

2010年:120分

2.合格ライン

第1問は2次関数と面積を絡めた問題。絶対値がついていますが、これは押さえたい。

第2問は文理共通の空間ベクトル。理系より聞かれていることは少なく、こちらも誘導に乗って押さえたい。

第3問の高次方程式はキー問題。(1)は押さえたい。(2)(3)は設定文字が多いので最後までたどり着いたか。

第4問が文理共通の微積。数IIIなら教科書にも多少書かれている問題文だが、数IIまでではあまりにもなじみがなさ過ぎてキツイ。抽象度も高く、文系の人にとっては酷です。


第1問、第2問は出来る限りとりたいところ。そこで第3問が出来れば勝ちでしょう。第4問を捨てて、逆に残りにリソースを割けば70%ぐらい取れそう。ラインとしては65%ぐらいでしょうか。

3.各問の難易度

☆第1問 【2次関数+面積】絶対値付き2次関数と直線が接する条件、面積(B,25分、Lv.2)

2次関数と積分法の融合問題で、絶対値付き+文字定数の入った2次関数と直線が接する条件の考察と、その際の面積を求めます。適度に答案量も多く、バランスの良い問題だと思います。

(1)では接するときのaの値を求めます。まずは、f(x)の絶対値を外し、2つの式に分けましょう。aの範囲も決まっており、交点はー3よりaの方が右側です。

※グラフだけなら、x軸より下をひっくり返せば書けます。お馴染みのカニのはさみのような感じのグラフです。

各々の場合について、直線と接する条件を求めていきましょう。どちらも、連立して判別式D=0です。-3<x<aの方ではa=4となりますが、これで直ちに答えとすると減点されます。このときの接点の座標x=1が、-3<x<a(=4)に入っていることを確認しましょう。

外側のグラフの方は図的にも明らかに2点で交わるので接することはないのでしょうが、一応連立してDを計算し、Dの式を平方完成して正であると言っておいた方が無難かと。

 

(2)はa=4として面積を出していきます。接点はx=1と出ましたので、残りの交点を出します。こちらもx=5ときれいに出ます。この手のタイプは、片方がきれいだともう片方が汚いことが多いので、数値の設定がうまいですね。

面積はx=1~4と4~5に分けて考えましょう。x=1~4は接線絡みの積分なので、被積分関数が(x-●)^2→積分して(x-●)^3/3として計算しましょう。

 

 

※KATSUYAの解答時間は12:50。一本道ですが量が多めのタイプですね。

 

第2問 【空間ベクトル】平面に関する対称点、折れ線の最小値(B,20分、Lv.2)

理系と共通問題です。詳しくは理系のエントリーをご覧ください。(1)が共通、(2)は理系でいう点Hを出す作業、(3)で対称点を出す作業になります。理系の(3)は文系にはありません。

 

第3問 【複素数と方程式】4次方程式の解の条件(B、25分、Lv.2)

4次方程式を題材に、虚数解や整数解を持つ条件を求める問題。(2)はそれまでの誘導以外にも考えることが多く、少し難しめです。

(1)は因数定理です。x=2を代入して0になることを確かめるだけです。

(2)は(1)を利用してまず因数分解し、3次式g(x)の方に着目します。3次式は必ず実数解を1つはもちます。それが負であることを言えばいいので、g(0)=32>0、十分大きな負の数aでg(a)<0となるので、これで少なくとも1つは負の整数解をもちますね。

十分大きな負の数を持ち出すところがポイントです。あるいは、(3)で使う解と係数の関係を使っても出すことはできます。ただ、文字が増えるので何を利用すればいいかが分かりにくくなりそうですね。

 

(3)はkの値を特定する問題ですが、虚数解をもつときは共役複素数も解で、あとは負の整数です。これだけ解の条件があるなら、解と係数の関係の利用が思い浮かびたいところ。積=ー32であることに着目すると、負の整数が32の負の約数で絞れます。候補は多めですが、これを調べれきれば終わりなので、頑張って調べましょう。

整数の実数解が決まると、和=ー8なので虚数の実部がすぐに出せます。あとはもう一度積に戻れば虚部も出ます。すべて整数のものを残し、kを出しましょう。

 

※KATSUYAの解答時間は14:39です。(3)の答案量が多め。理系同様に文系もちょっと長い答案が多い。昨年の倍ぐらいの解答時間。

 

☆第4問 【微積分総合】定積分に関する性質の証明(C、35分、Lv.2)

数式主体の微積分で、文章を読んでいろいろ答えていく、国語のような形式。形式が斬新で面食らった人もいるかと思います。書いてあることは超基本的な定積分の性質や、成り立つ不等式などで、理系であれば文章の後半の式変形②~③なんかは、よく触れる題材です。

しかし、数IIまでの学習である文系の受験生にとってはあまりにも馴染みがなく、関数も具体的に与えられていないため、キツ過ぎると思います。

理系を解いた後に文系を解くのですが、まさか文系にもこの問題があるとは思いませんでした。普段、共通問題のときは難易度や解答時間を変えることはありませんが、今回は例外的に、理系のエントリーと難易度を変えました。

詳しくは理系のエントリーを参照してください。

(2)だけ、平均値の定理は文系では使えませんので、別の方法で証明します。

g(x)の原始関数G(x)を持ち出せば、g(x)がa≦x≦bで正ならG(x)は単調増加なので、G(a)<G(b)です。G(b)ーG(a)>0となりますので、左辺は定積分そのものですね。(文章の①の利用)

理系の平均値の定理よりこっちの方がラクです。

 

4.対策

ここ2、3年は易しめでしたが、今年は難化しています。理系の難化度合いに歩調を合わせてくるのかは分かりませんが、文系もあまり最近のレベルを前提とした対策は避けましょう。頻出分野は微積、確率、整数です(2021年、2022年ともに数IIが多めでした)。確率は理系のものもやるといいでしょう。

Bレベルの問題が確実に解けるように、基本手法を身に付け、それを2、3個組み合わせられるようになりましょう。3年の頭には、入試基礎演習にとりかかりたいですね。

 

量をこなす演習:じっくり演習=8:2ぐらいでしょう。

以上です^^

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