名古屋大学 理系 講評| 2022年大学入試数学

      2022/05/29

●2022年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は名古屋大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2022年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2022年大学入試(国公立)シリーズ。
名古屋大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

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YouTube開設しました。 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を動画にしてみようと思います。





名古屋大学(理系)
(試験時間150分、4問、記述式)

1.全体総評~昨年の続き名大としては穏やか~

昨年比では変化なしです。2021年は、(名大にしては)そこまで時間をかけずに解答できるものもありましたが、今年もその傾向が続いています。

普段の、4問で150分という構成による「重量級」の名大という印象は薄く、穏やかだったと思います。道のりの長いものが、比較的やることは決まっている問題が多めでした。


試験時間150分に対し、
標準回答時間は130分

2021年:120分

2020年:135分

2019年:145分

2018年:125分

2017年:160分

2016年:200分(4番を捨てれば80分で済むが)

2015年:145分

2014年:140分

2013年:135分

2012年:150分

2011年:125分

2010年:135分

2.合格ライン

第1問は文理共通で道のりも長くなく、かつ分かりやすい。これは押さえたい。

第2問の確率も文理共通。こちらキー問題。結局すべて調査する必要があり道のりが長い。

第3問の(1)は出来るはず。(2)も因数分解には気づきやすいので道のりは少し長いがおさえられる。

第4問は発想力タイプなので、(1)から手が止まる人もいそう。(2)まで出来れば御の字。

第1問、第3問を確保+第2問も押さえられれば、第4問が最悪全滅でも大丈夫でしょう。時間的にも第2問をゆっくり調査したい。

今年は65%ぐらいでしょうか。

3.各問の難易度

第1問 【式と証明+微分法】整式の割り算、条件を満たす関数の個数(B,20分、Lv.2)

整式の割り算と微分法の融合問題で、3次式を2次式で割った時の余りに応じて、条件を満たすf(x)が何個あるか求める問題です。

(1)は割り算するだけ。なお、答えの1次式は(a,a^3)におけるy=x^3の接線の式と一致します。多項式を(x-●)^2で割った場合は、一般的に接線の式になることは知っておいてもいいと思います。

(2)は(1)が利用できるわけでもなく、もう一度割り算をし、余りの式と3x+bを比べます。βを消去するとb=(αの3次式)となるので、あとはグラフを書いて視覚化ですね。αの個数と、求めたい関数の個数が一致することはひとこと断っておきましょう。

 

 

※KATSUYAの解答時間は7:43です。名大ってもっと重量級な問題が並ぶ印象やけど、最初はラク。

第2問 【確率+整数】サイコロ3個の目に関する条件(BC、30分、Lv.2)

サイコロを3個投げたときの目a,b,cに関する不等式や、互いに素になる条件を求める問題です。阪大でもサイコロの目と互いに素が絡んだ問題が出ました。今年は最大公約数系(互いに素も、最大公約数=1ということです)が流行っているんですかね。

(1)は整数解を求めるときのムリヤリな因数分解を利用して、(ab-2)(c-1)≦2と出来れば比較的ラクです。あとはcの値に応じて(a,b)の組を探します。これが思いつかないとシラミつぶしに探しますが、そこまで大して変わりません。時間をかけてでも、全調査を辞さない構えで受験することが大事。

(2)はある程度絞ったら全調査になります。abが奇数出ないといけないので、あり得る(a,b)の組は高々9通りで、値としては6通りです。その値に応じてc=1~6まで入れて調査をします。おそらくこれより簡単に出せる方法はないので、ためらうことなく全調査を始めて最後までやり切った人が時間的にも勝ちでしょう。

 

※KATSUYAの解答時間16:14。(2)は迷わず全調査できたので、時間短縮かな。

 

☆第3問 【複素数平面】等式を満たす正六角形の特定(B、30分、Lv.3)

複素数平面からで、条件式から正六角形OABCDEを特定する問題。3点からなる三角形の位置関係を述べるタイプの問題の延長線上と判断できれば、道のりが長いだけで分かりやすいです。

(1)は教科書や傍用問題集レベルです。原点を含む3点の位置関係の問題は、β/αを極形式で表します。与式はすべてが2次の項で同次式ですから、比でおくことで一文字減らせるんでしたね。α^2で割ると(β/α)の2次式になりますので、解の公式で求めましょう。

正六角形の頂点にあり、かつ与えられた位置関係になるには、偏角も考慮するとA=α、B=γしかないですね。

(2)は残りの式の処理がポイントになります。見た目ごつそうですが、意図的にγについて整理されていることと、定数項の意味深な因数分解から、たすきがけによる因数分解を思いつきたいです。これが思いつけば本問は勝ち。

γ=α+β/2、α+1のどっちかですが、前者だとγが正六角形の頂点にこないので、後者のみです。あとはγが残りの頂点B,D,Eの場合をすべて調べて答えましょう。

例えばγ=Bの場合は、OABCDEを回転してみて、ABが真横(Aが左、Bが右)になるようにすればOK。他の場合も同様にぐるぐる回してみればわかります。場所が特定できれば、頂点の複素数を出すのはそんなにしんどくはないです。

同じようなことを何度もやらさられるので、道のりは長めですね。

※KATSUYAの解答時間は19:21です。3回も同じようなことをやらされるのはちょっとメンドウ。「面積が一番大きいもの」とかにしてほしい。

 

☆第4問 【微積分総合+極限】発散の証明、解の存在とその範囲(C、50分、Lv.3)

最後は数式主体の微積分総合に極限が加わり、本格的な数IIIの融合問題です。名大らしい重量級かつ高難易度の問題です。他がしっかりできているならば、ぶっちゃけ捨てても大丈夫かと(配点が全部同じなら・・・)

(1)から思いつかないかもですが、f(x)≧f(0)=1ですから、f(x)のところを1に変えて積分するだけです。定積分の不等式ではよく使う手法で、積分可能な式で不等式を作るという考え方ですが、ふだんは●≦■≦▲みたいに挟む形のものが多いので、発散の証明(追い出し)なので意外と出てこなかったかもしれません。

f(x)は抽象的で情報も少なく、f(x)のところを1に置き換えるぐらいしかできませんので、出来ることもこれぐらいですよね。

(2)の発散の証明も(1)と同じです。なので、(1)が出来ればここまで出来ます。後半から微分的な考え方が必要。Fn(y)は微分するとf(y)/y-2 となりますが、これが正なのでFn(y)は単調増加です。

等式の左辺は(第2項の分母に注意して)、(定数)ーFn(y)の形なので単調減少です。y=2+1/nなら第2項がゼロなので正、∞のときは前半の証明で-∞になりますので、中間値から一つは存在します。

(3)は(2)で等式を満たすyが、4未満になることを示す問題なので、(2)でy=4を入れて負になることが言えれば、実は一気に証明できます。ただ、y=4のときは∞よりさらにテクニカルな式変形が必要なため、問題を分けたものと思われます。

y=4を入れた時の第1項と第2項は、積分区間がx=2で対称であることに気づくことが最初のステップです。なので、グラフをイメージして、x=2に関して対称移動すれば区間が一致します。グラフをx=2に関して対称移動する際には、x→4-xに変えます。

そこで、第2項を、x→4-uに変数変換して置換積分するという発想になります。これが次のステップです。ここまで思いつけば、積分区間が一致するので、あとは被積分関数の比較になります。

0≦x≦2-1/n (2より小さい)という区間ではx≦4-xですので、f(x)≦f(4-x)となります。ここでもう一度単調性を用いるのが最後のステップ。これで負になることが示せますね。


※KATSUYAの解答時間は33:46です。(1)も実は結構積んでました。使えるものがf(x)≧1ぐらいしかないと気づいてようやくって感じです。最後の変数変換はx=2を漸近線としたグラフをなんとなく書いてみたときに思いつきました。これはなかなか難しいですね。

 

4.対策

頻出分野は微積、確率(漸化式と絡むことが多い)、整数の論証系です。(III、A、Bといった印象)

どれも計算量もあり、かつ発想もある程度必要なものが多いです。出題分野も似ている東大レベルで練習を積んでおいてもいいぐらいでしょう。

BレベルとCレベルが5分5分ぐらいで出題されます。Bレベルを落とさないことを最優先に、さらに上のせしていきましょう。Cレベル以上を意識しすぎると、逆効果。Cレベルは、3割とれればいい、ぐらいの気持ちでいるほうがいいでしょう。それよりも、D以上を嗅ぎ分ける能力が本学では必要です。2019年の第4問のようなものを、避けられることも重要。過去問で嗅ぎ分けの練習をしましょう。

最終段階では、仕上げ段階まで行っておきたいですが、ここまで行ったとしても点数につながらない問題も出るかもしれません。本学の場合、他の科目を犠牲にしてまで数学に時間を取られることのないようにしましょう。合計で合格すればいいのです。

単科長年タイプの過去問もありますので、ある程度のレベルに達したと感じたら、これに絞って研究するのもいいかもしれません。

※名大理系数学は大竹先生が書いておられます。私も高校生のときにご指導いただいた先生で、個人的には非常にオススメです。

 

 

 

量をこなす演習:じっくり演習=8:2(入試演習初期)→6:4(仕上げ期)ぐらいでシフトしていくといいでしょう。

以上です^^

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