九州大学 理系 講評| 2022年度大学入試数学

      2022/05/29

●2022年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は九州大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2022年 大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

2022年大学入試(国公立)シリーズ。
九州大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。





また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

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九州大学(理系)
(試験時間150分、5問、記述式)

1.全体総評~過去最高レベルの難易度~

昨年比難化で、講評を初めて以来最高の難易度といってもいいと思います。「東大の問題です」って言って出されても違和感のないぐらい、質・量ともに厳しめのセットの印象です。普段のペースで解いていたら確実に時間に追われたと思います。論証も多めで答案量も膨れます。

※私は普段B4用紙を半分におり、そこに答案として書いていきます。九大はB5(紙の左半分)で収まることがほとんどです。しかし今年は、ギリギリ収まったものが2問、右側に突入したのが2問、B4にすら収まらなかったものが1問あり、「きっつ^^;」と思いながらやっていました。

内容的には数III絡みが第2,4,5問で3問、残りはベクトルと整数で、2021年と全く同じでした。2020年もかなり似たような構成です。今年の整数や最後の微積などは、非常に高度でやることも多めです。



試験時間150分に対し、標準回答時間は180分。

2021年:135分

2020年:130分

2019年:140分

2018年:155分

2017年:145分

2016年:130分

2015年:140分

2014年:150分

2013年:135分

2012年:160分

2011年:130分

2010年:125分

2.合格ライン

第1問は空間ベクトル。計算量はある程度あるが、折れ線の最小値という典型問題なので合わせたい。

第2問は(2)までは欲しい。(3)は微分係数の定義をうまく用いないと難しめ。

第3問は整数で本セット最難問。(1)どまりの可能性も。詰みそうなら早々に捨てるべき問題。

第4問は面食らったかもですが、理系としては教科書にも書いてありそうな、典型的な内容。ただ、少し抽象的なのできちんと理解していないと進めにくいかも。キー問題とします。

第5問は本格的な微積総合問題。計算量も多く、時間との勝負。(2)までは行きたい。

第1問を確保、残りはつまみ食いで2完で全然OKでしょう。その意味でも、第4問に手がつくとかなり大きい。今年は55%ぐらいでも大丈夫なのでは。

 

3.各問の難易度

第1問 【空間ベクトル】平面に関する対称点、折れ線の最小値(B,25分、Lv.2)

今年も第1問は空間ベクトルからです。今年は折れ線の最小値なので題材には典型的です。そして本セットで最もラクです。

(1)~(3)を見れば、折れ線の最小値を出すために対称点を出しているのだと気づきたいです。折れ線は伸ばして考え、対称点からまっすぐ引いたときが最小です。

(1)は両方に垂直で大きさ1のベクトルなので、内積ゼロで1文字に減らして大きさの式に代入ですね。3文字設定しますが、内積=0の2式で2文字減ります。条件式の数だけ文字は消去できることは、当たり前ですが非常に大切な考え方です。

(2)は(1)を利用し、Pから平面αに下した垂線の足Hを出します。そのHに関してPと対称な点がP’です。平面に下した垂線の出し方ですが、今回は(1)でn→を出しているので、OH→=OP→+kn→で表します。Hが平面上なら、OH→とn→は垂直なので、内積ゼロでkも出せますね。

nベクトルを出さずに直接出す場合は、平面上にあることを、係数s、tをOH=sOA+tOBとおき、PHベクトルがOA,OBの両方に垂直であることを式にしましょう。

Hが出れば、OP→+PH→とすればP’に行きます。

(3)は折れ線なので、対称点P’を利用し、P’、Q、Rが一直線上になるときであることはほぼ確定ですが、これだと1つ大きな落とし穴があります。それは、PとQがαに対して同じ側にあることを前提としている点です。

「さすがに流れ的に同じ側やろ」って感じですが、自明ではありませんので、少なくともそれを意識していることはどこかで言わないと減点されるでしょう。以下のような流れだと追加の計算は不要です。

とりあえず、P’Qと平面αの交点は必要なので出します。線分PQ上の点は1-u、uの係数設定で、平面α上の点はs、tの係数設定で2通りでおき、成分比較をすれば出ます。

その際のuの値が0<u<1を満たしています。これは、線分P’Qの間にRがあることを示しています。ここでPとQが同じ側にあることを述べればいいと思います。もしPとQが反対側ならP’とQ’が同じ側にありますが、その際に平面α上の点Rが線分PQ上にあることはあり得ないからです。

予想通り反対側を述べ、めでたく交点も出るという流れですね。

 

※KATSUYAの解答時間は17:11です。空間の折れ線タイプ。やることは典型的やけど3成分なので時間は持ってかれる。ギリギリB5に収まった問題です。

 

第2問 【複素数と方程式+極限】多項式の割り算、極限値(C、35分、Lv.2)

整式の割り算と極限の融合問題で、うまく融合されている印象ですが、極限の(3)は式もちょっと複雑で考えにくく、結構難しいです。

(1)はなんか当たり前な気がするだけに難しいですが、3次以上のものを3次式で割るので商は0以上の整式で存在し、余りは2次式、その2次式を2次式(x-α)(x-β)で割るので、商は2次の係数なのでそれがA、余りは1次式です。その1次式を1次式x-αで割るので、商は1次の係数でそれがB余りは定数なのでそれがCである、と言えばOKでしょう。

(2)は(1)を受け入れたうえで、A,B,Cを求めます。因数定理のときのようにαやβを入れてBやCは出すことができます。残りのAですが、割る式に(x-●)の2乗が入っている場合は、両辺を微分してから代入しましょう。(3乗が入っていたら2回微分するなど、回数はその次数に応じて変わります)

微分をしても(x-β)の因数が残るので、微分してもう一度βを入れれば、Aを出すことができます。

(3)は難しいです。αとβのままで行くならうまく関数を設定して、微分係数f'(α)の定義の式になる部分を作り出すことになります。

あるいは、微分係数のもう一つの公式の際に変換するβーα=hとして、β=α+hにしてAの式を書き直し、2項定理で展開します。分子にh^2以上が入っていれば極限はゼロとなります。さらに、hが分母に残るものは、きれいにキャンセルされます(そもそもキャンセルされないと収束しない)ので、これで極限が確定しますね。

どちらの方法を取るにしても、かなり難しいと思います。私は、nβ^n-1という項を、n個のβ^n-1に分けて、後半の引き算に1つずつ組み合わせてシグマの形で書くとすっきりしたので、その項の極限値を取りましたが、発想重視のやり方でこちらも思いつくは難しいです。

 

※KATSUYAの解答時間は21:00です。(3)は結構考えました。たまたま式変形できたからよかったけど、かなり骨がある問題。こちらもギリギリB5に収まりました。

 

☆第3問 【整数】等式を満たす整数解の条件(CD、50分、Lv.3)

等式を満たす自然m、nに関する条件と解を1組求める問題で、誘導はついているものの、かなり難しい問題です。発想的には、今年の東大の整数問題よりもキツイかもです。

(1)はいいと思います。条件式①から右辺は奇数なので、nも奇数です。nが奇数なら2つの式は両方整数であることは言えます。また、この2つの整数は差が1です。差が1の整数なので互いに素も言えます(最大公約数gとして、差の1がgの倍数と言えばOK)。

(2)からかなり難しいです。168=3・7・8(互いに素な3整数に分解)として、3の倍数、7の倍数、8の倍数を言えばいいと気づくことが最初のステップ。

一番簡単なのは8の倍数です。最初に使った、「nが奇数」という条件だけで行けます。n=2k-1とでもおくと、n^2-1=4k(k-1)で、連続2整数の積が表れますので、8の倍数です。

ここから先がつらいところ。条件式をもう少しいじることになります。n^2ー1とかが繰り返しあるので、1を左辺に移項して因数分解することは問題ないかと。

ここで、(1)の結果を応用し、左辺の因数はn^2-1とn^2+1なので、差が2です。なので、片方が3や7の倍数ならもう片方はそうではありません。(差が最低でも3,7以上になるため)

しかし右辺には210=2・3・5・7が入っているため、片方は3や7の倍数になる必要があります。それがどちらもn^2-1側になるということを言えればいいと分かります。

ここでもう一息。逆に、「n^2+1側が3や7の倍数にならない」に切り替えられれば勝ち。「n^2+1は常に3の倍数でないことを示せ」という問題ならよく見かけると思います。ここで自分で演習してきた典型問題を思い出すわけですね。全く同じ要領で、7の倍数にもなりません。どちらも合同式利用がいいでしょう。

これでめでたく、n^2ー1は8・3・7=168の倍数であると言えました。(なお、①を満たすのであれば336の倍数まで言えます。)

最後は一例を見つける問題ですが、(2)の結果だけを用いて順番に入れていったとしても、まあまあ見つかりません。先ほど言ったように、実は336の倍数まで言えることが分かっていると、210の素因数である5も利用して、n^2ー1=1680(=336×5)を最初に入れようという発想になりやすいです。

これでn=41ときれいに出ますし、210m^2=1680×1682=210×8×1682 なので、m^2=8・1682=16・841=(4・29)^2=116ときれいに出ます。

※理系の受験生は平方数は29×29までは覚えておいた方がいいと、本サイトでは繰り返しお伝えしています。このようなときに役に立ちますね。(そもそもここまでたどり着いたのかどうかですが^^;)

※KATSUYAの解答時間は31:10です。難しかったです。(2)が思いついたときはすっきりしました。(3)も最初に1680入れれたので、これでも時間のロスは防げたかなと。試験場では捨て問です。答案はB5に収まりきらず。

 

☆第4問 【微積分総合】定積分に関する性質の証明(BC、25分、Lv.2)

数式主体の微積分で、文章を読んでいろいろ答えていく、国語のような形式。形式が斬新で面食らった人もいるかと思います。書いてあることは超基本的な定積分の性質や、成り立つ不等式などで、理系としては慣れ親しんだ題材です。しかし、これがなんと文理共通と知ったら驚くのではないでしょうか。

(1)の前半は数IIの教科書にも書いてある証明です。当たり前すぎて・・・という感じですが、「導関数の定義に従って」という文言もありますし、これは理系ならできてほしいです。これを証明できない数学の勉強の仕方は、個人的にはちょっと雑な勉強をしているという印象を受けます。

原始関数F,Gを設定すると、前半の結果からf+g=F’+G’=(F+G)'となります。これで定積分を計算し、前半と同様に足し引きの順番を変えればOK。

(2)も、「平均値の定理を用いて」とあるので、道は分かりやすいです。原始関数Gについて、G(b)ーG(a)を分子に持ってこれればほぼ大丈夫でしょう。なお、平均値の定理でなくても、単純にGの単調性から言えます(文系はこれで証明します)。

(3)以降は定積分と不等式の証明の問題でしょっちゅう行う操作です。階段状に縦長の長方形を書きまくるイメージと言えば伝わるでしょう。九大でも過去に、具体的な関数で同じようなプロセスを使う定積分の不等式の問題は出ていますので、抽象的になっても出来てほしいところですね。

(4)はそれを足し合わせて、各辺からSnを引けばOKです。

これで、文章の最後にあるように、ハサミうちによって区分求積を証明したことになります。 

 

※KATSUYAの解答時間は15:54です。なんじゃこりゃ?って感じでしたね。全問が論証なので計算はほとんどないけど答案量が多く、B5に収まってません。

 

☆第5問 【微積分総合】媒介変数表示された曲線の概形(C、45分、Lv.2)

最後も微積分総合で、こちらはグラフ主体。媒介変数表示された曲線の性質やら面積やらを聞かれ、最後に概形を書きます。概形のためのヒントになる誘導はありがたいですが、こちらもとにかくめんどくさいです。

(1)は微分して符号を調べればOK。和積の公式を使っておくと概形を書くときにラクだったかも。

(2)は面積。段階では正確な図は不要で、面積を出すなら、交点と上下関係だけ把握しましょう。また、媒介変数表示の面積は、まず∫ydxで書いておいて、積分区間、y、dxをt、dtに置き換えていきます。

積分計算は三角関数の積の項がたくさんあり、係数的にもまあまあ繁雑。積の形は和にし、2乗なら半角の公式をつかいます。どちらも、次数を下げている操作であること意識しておきましょう。三角関数の積分は、次数を1次に下げる変形が最優先。

(3)は概形のための情報です。x軸対称であることは、tを適当に変えることで、x座標はそのまま、y座標は符号が変わればOK。t→ーtとすればいけますね。回転した点については、複素数平面の出番です。cos●+isin●をかけます。

かけた式を整理すると、再び実部x=5cos●+cos5●、虚部y=5sin●-sin5●のになるはずです。そうなるように強く意識して式変形しましょう。これがまたかなりメンドウな計算。

最後は概形ですが、ポイントはxやyの増減が、t=π/3を境目にして両方逆転すること。これはグラフでいうと、とがった点が存在することになります。このことと、(3)の結果を考慮すると比較的正確な概形が書けると思います。こちらもちょっと難しいですね。


※KATSUYAの解答時間は33:54。いや、今年の九大はちょっとキツイのでは。最後までこんな感じとは。第1問が一番マシだった。そして答案はB4にも収まらずです。(4)だけ問題用紙の下に書きました。これも途中まで出来ればOKって感じ。

 

4.対策

頻出分野は、微積分、確率、整数で、ここに数B(ベクトルが多いかな)が絡みます。融合されていることが多いため、バランスが取れた出題と言えます。2021年は確率以外は全て出題されました。

これらの頻出分野の対策をしっかりしていれば、合格点は望めそうです。青チャートレベルの例題はしっかりマスターしましょう。公式の証明がたまに出ますので、基本から隅々まで見ておきましょう。

入試標準レベルまでこなしたら、過去問演習を行いましょう。九大の問題は独特な印象を受けますので、過去問を多く演習して、自分の中で傾向を掴んでいきましょう。単科長年タイプのものが効果的です。

今年のような難易度で出題されると厳しいものがありますが、誘導小問が多いので、特に取れるところをしっかりとる練習を、過去問できちんと時間を測って行いましょう。

 

 

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^

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