神戸大学理系講評| 2022年大学入試数学

2022/03/06 2022/05/29

●２０２２年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は神戸大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２２年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２２年大学入試シリーズ（国公立）。
神戸大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

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神戸大学(理系)
（試験時間120分、５問、記述式）

１．全体総評～落ち着いて計算すれば時間的余裕も～

難易度はやや易化。どの問題も一ひねりありますが、誘導は丁寧で素直に従えば最後まで解ける問題が多いです。今年は５問中４問が数III絡みと、数III色の濃いセットでした。

計算量が多い大問もありますが、考え込んでしまうような問題はないので、落ち着いて解き進めれば時間内に終わらせることも可能だと思います。

試験時間120分に対し、標準回答時間は98分。

2021年：解いていません(解いたら更新します)

2020年：125分

2019年：115分

2018年：120分

2017年：145分

2016年：110分

2015年：150分

2014年：130分

２．合格ライン

第１問は素直に従うだけなのでとりたい。（1）が意外と迷う？
第２問は典型的な題材だがキー問題。文字計算に負けずに完答できたか。
第３問は微積総合で計算力勝負。(2)がの計算が合うかどうかで差がつくか。
第４問は（１）（２）は行ける。（３）は意外と差が出そう。（４）は場合分けに気づいたか。
第５問は整数問題だが誘導が丁寧なので迷うことはないはず。

第１問、第５問は合わせて、残り３問は最低１つは合わせたい。できればかき集めて2完ぐらい欲しいか。今年は75％ぐらい取れそう。医学部は高得点の殴り合いって感じですかね。

３．各問の難易度

第１問　【数列の極限】３項間漸化式の一般項と極限（Ｂ,15分、Lv.２）

数列の極限で、少しひねりのある3項間漸化式の問題。誘導があるので難易度はかなり下がっています。

（１）は、証明すべき式を変形をするとan+1・√an=2(一定)　ということなので、3項間漸化式の両辺に√an+1をかけるだけで済みます。もちろん、漸化式に関連した性質の証明であれば帰納法でもOK。

（２）は誘導通りに行えばOK。漸化式の項どうしが掛け算・割り算の式であたえられているタイプは対数をとることは知っておきましょう。今回は（１）で利用した式を使えば２項間になるので、こちらを利用します。置き換えた式は4型なので、特性方程式によって等比型に帰着しましょう。

※底が２の対数で置き換えた方がいい気がしますが＾＾；

（３）は（２）の極限を取りましょう。それからａｎに戻して極限を取ればＯＫ。

※KATSUYAの解答時間は5:15です。ここは時間的に貯金できますね。

☆第２問　【極限】円に内接する正ｎ角形の面積、極限(B、20分、Lv.２）

正ｎ角形と内接円、外接円に関する極限で、題材としては典型的です。三角関数の極限の匂いがプンプンする問題です。問題文にもそもそもヒントが書いてありますので、こちらも親切設計。文字が多めですが、計算力に負けずに解答できたかどうかがポイントです。

（１）正多角形問題では、完全に書くのではなく、一切れだけピックアップして書きましょう。二等辺三角形の辺がrn、高さに当たる部分がrn+1なので、これで漸化式を作りましょう。等比型ですね。一定の規則で図形を次々に書いていく場合は、ほとんどの場合が等比数列になります。rnが出ればCnの面積もPnの面積も出ますので、ｓｎが出ます。

（２）も、snが等比数列ですから、無限等比級数の和の公式で一発です。

（３）は（２）の式の整理の仕方次第ですが、θ－sinθが分子に見えるので、問題文の式をうまく使いたいところです。分母に無理やりθ^3が来るように、分子で調整しましょう。

※KATSUYAの解答時間は13:38です。

☆第３問　【微積総合】極値、面積（B、20分、Lv.２）

グラフ主体の微積総合問題で、微分により極値を、積分により面積を求めます。題文字定数ａが入ってますが、関数も単純なのでそこまで計算もしんどくはないので、合わせたいですね。

（１）は微分して＝０を解き、増減表を書けばＯＫ。文字定数、ルートが入りますが負けずに計算しましょう。

（２）は条件からa=log２を出し、面積を求めます。f(-x)=f(x)でy軸対称なグラフなので、０～１までの定積分を2倍すればいいですね。

積分計算の山はlog(1+x^2)の積分でしょうか。logがある場合は、1・log(f(x))=(x)'log(f(x))として部分積分の利用です。途中で1+x^2の積分も出てきます。こちらはｘ＝tanθによる置換積分ですね。

ポイントになる積分計算が2つ含まれているという意味でも、このlog(1+x^2)という式はよく見かける積分です。入試演習をやりはじめたぐらいの人は、ぜひ一度練習しておきましょう。

※KATSUYAの解答時間は11:52です。グラフ系の微積総合ですが、計算するだけですね。

第４問　【式と曲線】双曲線と直線の2交点の中点（B、25分、Lv.２）

2次曲線から。双曲線と直線が2点で交わる条件下で、その中点について議論する問題。

（１）は連立した式の判別式D＞０でOKですが、双曲線との連立の場合はx^2の係数が０になることがあるので注意。グラフ的には、漸近線と傾きが等しい場合は片側の双曲線と交わりませんので、1個になるということです。

（２）交点の中点の軌跡と言われたら、解と係数の関係の利用です。中点のｘ座標は和の半分ですので、連立した式の係数だけで分かります。ｙ座標は直線の式に代入して出しましょう。

（３）ですが、ｓは1次分数関数なので、ｙ＝k/(x－a)＋ｂの形にして漸近線が分かればすぐにグラフが書けますので、これが思いつくと早いです。思いつかなければ微分して増減を調べればＯＫ。そこまで大変ではありません。

（４）は媒介変数表示の軌跡を求めることと同じなので、媒介変数の消去が原則です。ｓの式からa＝・・・にしてｔに代入すればＯＫ。全部ルートの中に押し込む場合は、ｓの符号に十分注意しましょう。ここが抜けやすそうですね。

文字式はルートをはずす(ルートの外に出す)ときもルートに押し込むときも符号に注意しましょう。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は14:42です。結構いろいろ聞いてきますね。

☆第５問　【整数＋指数対数】指数に関する等式、等式を満たす整数解（B、18分、Lv.２）

指数に関する等式を満たす整数解を求める問題。指数対数と整数の両方の頻出分野を融合した感じの問題で、うまく設定してありますが、（３）がちょっと見え見えですね。

（１）のような等式では、対数をとって文字をｚに統一する方法が一番ラクかと思います。ａを底とする対数をとり、ｘ、ｙをともにｚの式で表し、1/x+1/yを計算するのがいいでしょう。

（２）は整数問題。分母を払い、ムリヤリ因数分解して(m－●)(n－■)=定数の形にするパターンですね。ｐが素数であることと、大小関係から1組に決まります。

（３）は（１）と（２）をそのまま融合しただけなので、そのまま利用して等式にｍ＝p^2+p、n=p+1を入れるだけです。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は7:09です。（１）（２）のどちらかを削れば適度な難易度になりそう。