東北大学 理系 講評 | 2022年大学入試数学

      2022/05/29

●2022年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東北大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2022年 大学入試数学の評価を書いていきます。

2022年大学入試シリーズ(国公立)シリーズ。
東北大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。





また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。


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東北大学(理系)
(試験時間150分、6問、記述式)

1.全体総評~数IIIの割合が増えるがバランスの取れたセット~

昨年同様に例年並みぐらいの難易度で、質・量ともに試験時間に対して適量だと思います。

比較的易しめ、計算重視、発想重視、難しめの問題の割合もばらんすがとれ、どの問題も差が出る可能性があります。

出題分野は変更があり、例年は前半4つはIAIIBから、数学IIIは第5問、第6問の2題でしたが、数IIIが絡む問題が4題に増えました。残の問題にも数IIの微分があり(しかも最難)、分野的には重めです。



試験時間150分に対し、標準回答時間は168分。

2021年:155分

2020年:125分

2019年:190分

2018年:185分

2017年:170分

2016年:135分

2015年:178分

2014年:185分

2013年:155分

2012年:170分

2011年:140分

2010年:200分

2.合格ライン

第1問は文理共通でこちらは易しめなのでおさえたい。

第2問は本セット最難問で(1)どまりか。(2)も計算の仕方次第ではキツイ。(3)はさらにキツイ。

第3問は発想タイプでキー問題。(2)で左辺の変形の仕方がポイント。

第4問は計算量タイプ。文字の計算だが、そこまで繁雑ではないので取りたい。

第5問も計算量タイプなので東北大理系受験者なら押さえたい。

第6問はキー問題。共通部分が回転体であることを利用できたかどうか。


第1,4,5問を確保。第3,6問のうちいずれかをある程度解答出来れば勝ちでしょう。65%ぐらいでしょうか。

3.各問の難易度

☆第1問 【場合の数】不定方程式の解の個数(B,20分、Lv.2)

奇数を、3つの奇数の和で表す方法に関する問題。小問に分かれていますが、通してやることは一緒なのでそんなに難しくはありません。

3つの奇数なので、2a-1,2b-1,2c-1とおいて自然数a,b,cの個数とみれば、(1)~(3)全部出来ます。

(1)では、K=99なので、a+b+c=51です。自然数の解の個数は重複組み合です。仕切りを間(端っこ除く)に2か所入れる方法を考えましょう。

 

(2)は3つとも同じとき、2つだけ同じときに分けます。こちらも落ち着いて数えればできます。

(3)もKのまま計算するだけ。a+b+c=K+3/2 です。間は1引いてK+1/2個なので、この中から2か所に仕切りを入れましょう。これがKを超えればOK。

 

※KATSUYAの解答時間は12:31です。なんか思ったよりかかってますね。

 

第2問 【微分法】4次関数の極小値と最小値の関係(C、45分、Lv.2)

4次関数を題材にし、最小値や極小値に関して聞いています。平たく言えば、どっちのくぼみが最小値になるかを調査する感じです。

(1)は気づきたい。最小値の定義から、どこかのxで負になることがある条件ということ。微分せずとも(x+1)^2≧0なので、左側の2次式の因数が負になることがあればOKです。グラフ解釈なら、2次関数がx軸で交わればいいので、判別式D>0でいいですね。なお、このときにx=ー1以外で(x=-3/2で)負になることは断っておきましょう。

 

(2)は計算の仕方次第では相当道のりが長いです。極値に関する話なので、微分します。(x+1)の因数は保たれるので、残りの2次方程式の解がα1、α2です。まず、解の順番的にα1<ー1<α2であることは述べないと、これらが極小値と言い切れません。解の存在範囲のパターンで、間のー1で負になると言えばOK。

ここからが本番。不等式の証明ですが、素直に引き算するのが、計算量を覚悟できるなら最も素直でしょう。4次式なのでキツイですが、(α2-α1)を因数に持つことは確実なので、くくった先が正になることを頑張って示します。

くくった後の式は対称式になります。対称式と2次方程式の解ですから、解と係数の関係を利用し、和と積で表していくパターンとなります。分数が繁雑ですが、aの1次式になるだけなで、計算が遂行できれば正であることは言えます。

あとは、極値同士の値なので、3次関数の極値の差のときのように、∫f'(x)dxの定積分で表すと少しラクにできますが、4次関数の方は一度やったことがないと、試験会場で編み出すのは無理でしょう。

 

(3)はさらに難しいです。そもそも問題文の意味も分かりにくいですが、W型になっているときは、左側のくぼみの方が小さいようにしてくれってことです。

そもそもそうでないときもあります。微分したf'(x)=0の解が2つまたは1つだと、極小値は1つしかありませんので、そのときのxをβとすれば成り立ちます。なので、(2)で利用した2次方程式の判別式D≦0であればそもそもOKです。

さらに、(1)のa=9/4も境目になります。この境目が非常に際どく、(73/32と72/32)この間だけは右側のx=ー1のくぼみで最小値になります。((1)の結果から、左側のくぼみは正なので)このあたりの考察が難しく、これは捨て問でしょう。

 

※KATSUYAの解答時間は35:21です。(2)は計算で、(3)は思考で時間を取られました。

 

第3問 【微積分総合+極限】不等式の証明、和の極限(BC、30分、Lv.2)

和の求まらない数列の極限を、不等式ではさんで証明するタイプ。両辺は区分求積によって求められます。微積分と極限の絡んだ、典型的な数IIIの融合問題です。

(1)は差を取って微分しましょう。どちらも、微分すれば単調増加がえます。左側はうまく式変形をしないとすぐは言えませんが、=0を解いてみると存在しないことが分かりますので、時間はかかりますが気付きはするでしょう。

(2)は(1)の利用です。こちらも右側はすぐに区分求積だと分かると思いますが、問題は左側です。右側と同じ極限になるはずだという意識を強く持ってムリヤリ式変形をしないと、こちらは意外と思った形にならなかったのではないかと思います。

区分求積では、まずシグマの前に1/nを出し、Σの中はk/nが出るようにします。これに全力を注ぎましょう。

 

※KATSUYAの解答時間は22:45です。(2)の左側で苦労しました。答えは1/4のはずなので、ムリヤリです。

 

☆第4問 【極限】図形と極限(B、20分、Lv.2)

極限からの問題で、文章題(図形)タイプです。図形は単純で分かりやすいで、これは押さえたいですね。

(1)は2倍角を用いるのがラクでしょう。傾きと角度はtanで結びつきます。m=tan2θとおけばt=tanθですから、倍角の公式からtanθ=・・・で解けばOK。正の方を取りましょう。

 

(2)は角度が与えられているとよくある問題です。円を次々と書いていく場合、半径は等比数列になることは経験的にも知っているでしょう。このときの要領で、一般的に出してくれということ。中心と中心、中心と接点を結び、台形から直角三角形を取り出しましょう。

(a+b)sinθ=a-bとなります。あとはsinθをtで表せばOK。きれいになるので、分母の有理化はしておいたほうがいいでしょう。

(3)ですが、mをtに直す方がラクなのと((1)の逆)、b/aがそもそもtで表されているので、tで表すのが早いです。テクニカルな式変形もとくになく、t→+0としてそのまま代入すれば極限値も出せます。

 

※KATSUYAの解答時間14:22です。

 

☆第5問 【ベクトル+極限】直線に下した垂線、漸化式と極限(B、23分、Lv.2)

ベクトルと数列の極限が絡んだ問題で、BIIIの融合ですが、同じような作業を繰り返すだけので、計算が正確にできれば難しくはないです。

(1)は、座標が設定されているので、そのままAnBn⊥l' とAn+1Bn⊥lで内積ゼロの式を作ればOK。tnを消去すれば漸化式が得られます。

(2)は漸化式から一般項を出します。4型なので特性方程式cを求めて等比型に帰着です。tnは漸化式は不要。snから出せます。

(3)は感覚的にもそうなりそうな気がします。試験としてはただの計算の確認です。(2)検算にもなるので、(3)がなくてもやっておきたいですね。


※KATSUYAの解答時間は16:49です。

 

☆第6問 【積分法】円柱と半球の共通部分の体積(BC、40分、Lv.2)

最後は本格的な数IIIの積分法からで、体積の求積問題です。第2問ほどの分かりにくさはないですが場合分けも多く、完答するには長い道のりです。

円柱は大きさ固定です。球は小さい間はまるまる入ります。半径1を超えると周りがはみ出始めます。さらに√3を超えると上もはみ出します。2を超えれば今度は円柱がまるまる入ります。この4通りについて把握するのが最初のステップ。

ここから求積に入ります。まるまる入るときは先に出しておき、ちょっとでも部分点を稼ぐといいでしょう^^

後は間の2つ。形からどの平面で切断するのかを考えたくなりますが、今回はそれだと(どの平面で切っても)かなり苦しいです。今回は、共通部分が回転体であることを見抜ければ求積がラクになります。

底面の中心と球の中心が一致しており、この中心を通る線で回転するとで、円柱も半球も作ることができます。したがって、共通部分も同じ性質を持っているはずです。なので、回転する前の図形が分かればあとはπx^2の積分です。

円や楕円などの2次曲線が入る場合は、回転体の積分には強いです。2乗が保たれるからです。ただの面積だと、角度が絡むため変数変換も必要で、かなり苦しくなります。

 

 

※KATSUYAの解答時間は24:58です。最初切断面を考えて出そうとしましたが、苦しそうだったので方針転換し、回転体であることを利用しました。これは先に回転体が思いつきたいですね。

 

4.対策

たまに非常に難しいセットになることが多いですが。例年は標準レベルの問題が出題されます。2020年はちょっと易しい気がしますので、このレベルの対策はちょっとあぶないです。

ひとひねり加えられたり、融合的なものが多いですが、やることは典型的なものが多いです。

頻出分野は微積分、確率、整数問題、図形です。さらに複素数平面が2年連像出題。計算量が多いものも出ますので、素早く確実に解けるようにしましょう。

パターン問題を習得したあと、入試問題の表現に数多く触れることが大事ですね。最終段階は入試標準レベルでも大丈夫ですが、不安な場合は仕上げ段階まで行いましょう。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^

東北大は単科長年タイプのものもありますので、過去問対策はこちらでもいいでしょう。

 

 

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