早稲田大学 人間科学部(文系) 講評| 2022年大学入試数学

      2022/05/29

●2022年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は早稲田大学(人間科学部A:文系)です。


2022年大学入試(私大)シリーズ。

早稲田大学(人間科学部A:文系)です。




問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

 

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早稲田大学(人間科学部A:文系)
(試験時間60分、5問、穴埋め型)

1.全体総評~計算量が減少しやや易化~

今年は計算量が少しだけ落ち着きました。方針が思いついて計算をスピーディに行えば、時間内に終わる可能性もありますが、1つでも考え込んでしまうと一気に時間が来てしまいますので、忙しいセットであることには変わりません。

分野的には、2年連続でなかった微分が文系問題で復活。積分も文系問題にあました。共通問題は空間ベクトルが2年連続で出題。


試験時間60分に対し、
標準回答時間は90分【62分】(←穴埋め考慮)

2021年:106分【71分】(←穴埋め考慮)

2020年:101分【67分】(←穴埋め考慮)

2019年:87分【55分】(←穴埋め考慮)

2018年:61分【40分】(←穴埋め考慮)

2017年:83分【53分】(←穴埋め考慮) 

2016年:99分【63分】(←穴埋め考慮)

2015年:107分【67分】(←穴埋め考慮)

2.合格ライン

第1問は(2)は調査するだけ。(1)(3)は理系でも差が付きそうでうまく設定されています。

第2問は和積を使うが、ここを受験するなら正解したい。

第3問~第4問は同程度の難易度。自分の得意な分野な方から手をつけて稼ぎたい。

第5問はやることは多いが、典型的。時間さえあればできるはず。

人科の普段の数学(文系)の平均点を考えても、3完あれば十分でしょう。

 

3.各問の難易度

☆第1問(1) [共]・・・【論証】命題の真偽(B、10分【6分】、Lv.2)

命題の真偽に関する問題ですが、設定が見慣れない問題ですし、付け焼刃な理解では正解できない設定になっており、非常にいい問題です。差がついたと思います。

P→素数の真偽を確かめたい=表がPなのに裏が素数でないものがあるかどうかを確かめたいと言い換えられたかどうかです。1枚でも該当するものがあれば偽、1枚もなければ真です。

なので、Pのカードは当然裏返す必要があります。次のQは別にいいです。問題は右3枚の数字です。

まず1ですが、裏返してPなら偽と分かります。なので、1は裏返します。

次の3ですが、3の裏がQだからと言って、真偽に影響はありません。「Pならば裏」の真偽であって、「裏ならばP」ではありませんので。なので、3は裏返す必要はありません。

最後の6は1と同様、素数ではないので裏返してPだと偽が確定しますので、裏返す必要があります。

結構慎重にやらないと間違えそうですね。「ア」みたいな式の聞き方をしているのは、過不足なく裏返すカードを特定しないと、正しい値にならないように設定された式だからです。(0~31までの32通りの値をとります。)

※なお、1は素数ではありません。そこもひっかけですかね?

 

第1問(2) [共]・・・【2次関数+場合の数】条件を満たす整数の組(AB、9分【6分】、Lv.1)

基本的な組み合わせの問題で、2次関数が絡んでいます。

最初の条件でc=0は確定します。あとは頂点が第1象限、第3象限になるような放物線を書いてみれば、a,bの符号はすぐに分かると思います。(記述だとちゃんと頂点を出して書く必要がありますが)

a=bのときの(1,1)~(1,1)は除かれるので注意。ちょいちょいひっかけありますので、気をつけましょう。

第1問(3) [共]・・・【三角比+三角関数】三角関数の式の値(B、10分【7分】、Lv.2)

今年は小問が3つです。三角比と三角関数が組み合わさった問題で、辺の長さに関する条件から∠Aに関する条件を探れ、という問題。

条件式から、余弦定理の式っぽいと思えればこちらの勝ち。∠Aに関する情報が欲しい事からも、a^2=・・・に直して、cosAに該当する部分を特定できればOKです。cosA=3/5と分かれば、あとはただの計算です。

ちょっと発想よりの問題ですね。

※KATSUYAの解答時間は計5:21です。今年はここは去年より倍ぐらいかかった。

 

第2問[共]・・・【三角関数】三角不等式(B、18分【12分】、Lv.2)

三角不等式に関する問題。第1問(3)に引き続き三角から。こっちは数式主体です。

第1項と第3項を和積で式変形できれば、第4項と同類項で整理でき、sin2θでくくれます。あとは因数がともに正、そもに負となる値を求めればOKですね。

文系の人も、数学を受験するなら和積は覚えておきましょう。

 

※KATSUYAの解答時間は6:07です。最初の式を勘違いしてまったく答えの形にならず(そもそも角度でない)、かなりのロス。これは3分ぐらいでいけたかな。

 

☆第3問・・・【空間ベクトル】平面に関する対称点、折れ線の最小値(B、18分【12分】、Lv.2)

正四面体を題材とした空間ベクトルの問題です。平面に関する対称な点、それを利用して折れ線の最小値を求める問題です。

数IIの図形と式でも折れ線の最小値の問題はありますが、その際にも使う手法を使います。折れ線は折り返して伸ばしましょう。

まずは、平面OABに関する対称点ですが、NからOABに下した垂線をHとおくと、求めるベクトルはON→+2NH→となります。

点から平面に下した垂線ベクトルは、平面上OAB上にあることからs、tの係数設定をし、NHがOAとOBの両方に垂直であることを式にし、s,tの連立方程式を解きます。

計算はメンドウですが、時間を掛ければ取れるのでここは押さえていきたいですね。

後半は、折れ線なので先ほど求めた対称点の出番です。伸ばしたときに一直線上にあるときが最小で、直線PMとOABの交点上にQがあるときになります。

PM上にあることを1-t、tの係数で設定し、OAB上にあることは、OC→の係数=0と読み取ればtだけの設定ですみます。

なお、垂線Hの位置は、OABの重心をGとおくと、OH→=1/3OG→です。Cから下した垂線も引いてみると、相似ができるので、こちらで求めると速いです。

 

※KATSUYAの解答時間は3:39です。Hは相似利用で出しました。

 

☆第4問[文]・・・【微分法】3文字の対称式、文字の取りうる値(B、15分【10分】、Lv.2)

3文字の基本対称式の値が2つ与えられており、残りの基本対称式の値の範囲などを求める問題。3次関数に帰着できるかどうかがカギとなります。経験済みであれば簡単。

対称式は基本的に解と係数の関係と結びつきます。今回は3文字なので、3次方程式です。abc=kとでもおけば、x^3ー3x-k=0となります。定数分離して視覚化ですね。

後半のa,b,cの範囲を求めるには、極値と同じ値を取るxの値が必要です。これも、極値付近の3次関数の性質をがっつり利用すれば、穴埋めならほぼ計算ゼロで正解できます。(記述の場合でも検算で使えます)

 

※KATSUYAの解答時間は1:00です。がっつり性質を使えるし、関数も頻出度No.1のx^3ー3xなので、最初から最後までほぼ計算ゼロ。

 

☆第5問[文]・・・【2次関数+積分】最大値・最小値(軸分け)、面積(B、20分【13分】、Lv.1)

最後は2次関数と積分問題です。軸分けで最大値と最小値を定数aの関数として求め、そのグラフに関する面積を求めます。やることは超基本なので、時間さえ確保できていれば解ける問題です。

まず、放物線は上に凸なので、最大値の場合分けは軸が定義域内かどうか、最小値の場合分けは定義域の真ん中と軸の大小で決まります。定義域にaが入ってようが、軸にaが入ってようが、やることはまったく同じ。

これで最大値、最小値ともにグラフかけます。面積ですが、最大値の方は真ん中に長方形があります。端っこは2つ合わせると6分の公式が使える形になっていますので、これに気づけばこちらの計算は瞬殺。

最小値の方はすなおに積分で計算します。こちらもx=4で対称であることを利用すると、積分計算は1回ですみます。4~6のf(x)の定積分を2倍すればOK。

 

なお、こちらも穴埋めなら最大値と最小値のグラフは一瞬で書けると非常にラクです。以下の性質を利用します。

最大値や最小値の候補は、定義域の端っこか極値(今回は頂点のこと)である

 

とりあえず定義域の端っこの値であるf(a)、f(a-2)を書き、3≦a≦5のときだけは極値9が最大であることに注意します。あとは、グラフのうち最も上の部分をたどれば最大値g(a)に、最も下の部分をたどれば最小値h(a)となります。

 

※KATSUYAの解答時間は3:03です。グラフは、がっつり穴埋めであることを利用しました。

 

4.対策~確率+IIBを中心に典型パターンを反復練習~

内容的には、1歩進んだ典型パターンが多めです。青チャートのコンパス3~5ぐらいがそのまま出る感じ。制限時間との勝負になりますので、今年であれば数列の周期発見など、穴埋めならではの飛ばし方も練習しましょう。

文系はIIの微積がほぼ必須で、その他は三角、指数、対数、数列、ベクトル、確率あたりがよく出ます。

量をこなす演習:じっくり演習=10:0でOK。入試基礎演習レベルまでやれば、過去問はなんとか手がつきます。安定させたければ入試標準演習までやりましょう。

以上です^^

 


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