東京大学文系数学講評| 2023年大学入試数学

2023/02/28 2024/01/17

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●２０２３年度大学入試数学評価を書いていきます。今回東京大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２３年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２３年大学入試（国公立）シリーズ。
東京大学(文系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。

また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

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YouTubeチャンネルです　個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。

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※動画でも講評をUPしていますので、お好みでどうぞ＾＾　第4問は動画の方がいいかもです。

東京大学（文系）
（試験時間100分、4問、記述式）

１．全体総評～厳しい問題は減った～

昨年比では易化で、これで易しめの年の例年並みといったところでしょうか。

昨年は文理共通問題を中心に厳しい問題がありましたが、今年はどの問題も手が付くと思われます。特に前半２つはほぼ典型問題でとりやすかったです。後半もある程度は手が付くでしょう。

分野的には、微積分と確率がいつも通りで、あとは複素数と方程式、そして空間図形でした。空間図形は久々ですね。整数が理系同様に出題されず。また、数Bからも一切出ませんでした。

試験時間100分に対し、標準解答時間は90分

2022年：125分

2021年：140分

2020年：140分（４番を捨てれば８０分）

2019年：105分

2018年：95分

2017年：90分

2016年：100分

2015年：130分

2014年：95分

2013年：120分

2012年：100分

2011年：95分

2010年：95分

２．合格ライン

前半の２問はほぼ典型問題なので東大受験生なら取りたい。後半２問はキー問題。確率も数え方をミスれば差がつき、立体は文系だと演習量次第では苦しいかも。

前半で２完し、残りで合わせて1完出来る部分点があればOK。70点ぐらいかと。

３．各問の難易度

☆第１問　【複素数と方程式+式と証明】2次方程式の解の対称式の最小値（AB,16分、Lv.2）

タイトル通りで、定数ｋを含む2次方程式の解の対称式の取りうる値の最小値です。

ほぼ典型問題そのままです。誰でも知っている手法とまでは言いませんが、東大受験生なら知っていないとマズイ手法しか使っていませんので、おさえたい問題。

まず、２解の対称式の値は解と係数の関係を用いて基本対称式の値を用意します。

Principle Piece

2次、3次方程式の解の対称式の値

→ 解と係数の関係の利用で基本対称式を準備

（詳細は拙著シリーズ数学II 複素数と方程式 p.12 参照）

当たり前すぎますが＾＾；

式の値を計算すると、分母がｋの1次式、分子がｋの2次式となります。この形は相加・相乗平均の関係の利用が可能なパターンです。

Principle Piece

不等式証明４：相加・相乗が使えるパターンの把握を

（詳細は拙著シリーズ数学II 式と証明 p.44,47,59,61 参照　例題とともに網羅的に紹介しています）

レベル高めのパターンもありますが、本問のタイプは難関大受験生なら必須です。

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★　数学II 式と証明

※解説動画もUPしています。

※KATSUYAの解答時間は12:26です。途中で１回計算ミスして、最小値ないんですけど＾＾；ってなってました。

第２問　【微積分総合(数式)】絶対値付き定積分関数の最大・最小（B、24分、Lv.2）

微積分総合問題です。問題文の条件は少し遠回しですが、ただの絶対値付き関数の積分で、後半はそれを微分する問題。

（１）は点と直線の距離としてf(t)さえ求めれば、放物線も直線もおさらばです。あとは数式の問題。絶対値付き関数となります。絶対値付き定積分関数は、区間の両端と絶対値の中身＝０を比較して場合分けです。

Principle Piece

積分するなら「絶対値」は「絶対外す」→中身＝０と積分区間を比較

（詳細は拙著シリーズ数学II 積分法 p.42,49 参照）

－１≦ａ≦２だけで考えればいいので、場合分けは2つで済みます。

（２）は０≦ａ≦２の範囲ではg(a)もf(a)も場合分けなく、決まりますので、3次関数として微分して最大・最小を求めるだけ。最小値の方は極小値になります。値がキタナイので、次数下げがいいでしょう。

Principle Piece

f'(x)=０が汚いなら文字で→計算は割り算で次数下げ

（詳細は拙著シリーズ数学II 微分法 p.68 参照）

第1問以上に典型問題です。係数がちょっといやですが、計算を慎重に行っておさえたいですね。

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★　数学II 積分法

★　数学II 微分法

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※KATSUYAの解答時間は11:30です。また(2)の途中で1回ミスって単調増加とかになり、怪しいと思って符号ミス発見。あの理系を解いたあとで疲れたか、油断してるか＾＾；

☆第３問　【確率】同色の玉が隣り合わない、条件付確率（B、25分、Lv.2）

理系第2問と共通なので、そちらをご覧ください。

※解説動画もUPしています。

☆第４問　【三角比or三角関数】半径１の円に内接する四面体の体積（BC、25分、Lv.2）

最後は球面上の４点からなるABCDの体積を求める問題。図形と計量と呼ばれる単元の問題で、三角比よりの空間図形です。

（１）はさすがに簡単でしょう。特に誘導にもなっていないので、実質(2)メインの大問と言えます。

（２）は差がつくでしょう。この四面体ABCDは、(私の呼び名ですが)パタパタ四面体です。パタパタ四面体は対称面に着目するのが原則です。

Principle Piece

パタパタ四面体は対称面に着目する

（詳細は拙著シリーズ数学I 三角比 p.86 参照）

対称面とは、ABの中点をMとしたときのCMDのことです。この部分に着目すると、外接球の中心もこのCMD上にあることが分かりますし、CMDの面積が出れば、それを底面、ABを高さとみなすことが出来ます。

ABCとABDの合同な三角形を2枚重ねてパタパタさせるイメージですが、CとDの距離はこのままだと決まりません。そこで外接球の半径が１である条件を用いたいわけです。CMDのどこかを未知数で置き、それが満たす方程式を立てましょう。

私はCDの中点をNとおき、NMDの三角比を求めることを目標に式を立てていきました。詳しくは動画をご覧になってもらえればと思います。

※解説動画もUPしています。

■関連する拙著『Principle Piece』シリーズ■(大幅にリニューアルしました！！)

★　数学I 三角比

※KATSUYAの解答時間は15:38です。これは途中でミスらずにいけたが、記述だと点の説明など、分かり切っている性質をちゃんと述べないとダメなのでメンドウ。

４．対策

出題分野は、確率(漸化式と絡むことが多い)、図形、微積分です。４題中３題は傾向が固定されていると言えますので、比較的対策は行い易いと思います。

東大の問題はどれも質が非常に高く、かつよく考えられた創作問題といえます。パターンにはまった学習だけでなく、数学を本質から理解している人ほど点数が高くなるような試験になってます。標準問題のマスターは前提で、加えて質の高い問題、かつ、さまざまな方面から解説を行っている問題集でじっくり考える演習も必要です。

原則習得段階を確実に、かつ素早く行えるようになったら、入試基礎演習になるべく早い段階で入っていきましょう。多くの問題に触れることで様々な表現に慣れていくべきです。最終段階は入試標準演習で大丈夫だと思います。

なお、拙著『Principle Piece』シリーズであれば「原則習得」「入試基礎演習」の両方の段階を兼ねていますので、この後にもう入試標準演習の問題集に接続可能です＾＾