同志社大学 全学部理系 数学 講評| 2023年大学入試数学

      2024/01/05

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●2023年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は同志社大学(全学部理系)です。



2023年大学入試(私大)シリーズ。

同志社大学(全学部理系)です。



問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。



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同志社大学(全学部理系)

(試験時間100分、4問、ハイブリッド型)

※ハイブリッド型とは、穴埋め型と記述式の混合型のことです。

1.全体総評~昨年並みで計算量は高止まり傾向に~

2021年から量が増えその傾向が昨年、今年と続いて高止まり傾向です。誘導が比較的親切な問題構成ですが、その分やることも多いですし、計算量も多いです。時間内に終わらせるのはかなり厳しいでしょう。(120分でも厳しいのに、100分ですからね^^;)

分野としては今年も確率+BⅢ(ビーサン)出題です。

 

試験時間100分に対し、標準回答時間は170分【154分】(←穴埋め考慮)

2022年:170分【155分】(←穴埋め考慮)

2021年:178分【162分】(←穴埋め考慮)

2020年:135分【121分】(←穴埋め考慮)

2019年:152分【137分】(←穴埋め考慮)

2018年:142分【126分】(穴埋め考慮)

2017年:166分【152分】(穴埋め考慮)

2016年:157分【133分】(穴埋め考慮)

2015年:120分【108分】(←穴埋め考慮)

2.合格ライン~時間のかかる小問をいくつ取れるか~

第1問(1)は確率と漸化式。一番マシですが、それでもキー問題。(2)も、典型題ですがキー問題。式変形に慣れていないと係数が少しややこしく、「カ」のみで終わる可能性も。なんとか10問中6問欲しい。

第2問以降は(3)の計算が遂行できるかどうかだが、かなり長いのでなかなか難しい。とりあえず(2)までは必須。

第3問はキー問題。(1)と(2)が出来れば誘導の意図がつかめて最後まで出来るはず。(1)が出来ないとほぼ全滅で、(2)も(4)にもろに影響する。ここは大きく合否を分けそう。

第4問は残った時間でどこまで出来るか。(2)ぐらいまではそこまで重くない。(4)は独立しているので、それに気づいて(4)も欲しい。

とりあえず確実に取れるところを取る→第2問の(3)の計算をゆっくりやり切るか、第4問の残りに取り掛かるか、という流れになるかと。第1問、第3問が確実に取れれば第2問、第4問はそこそこでもOK。

55~60%ぐらいでしょうか。

 

3.各問の難易度

数学を解く上での原則は、緑色(この色)で表記しています。

☆第1問(1)・・・【確率+数列】サイコロと得点(B、25分【18分】、Lv.2)

確率と漸化式からで、サイコロの目に応じて1点か2点をもらい、n点となる確率です。

サイコロなどはおまけで、数直線で1または2進むときにnに止まるかどうかという問題です。本学の確率と漸化式の中ではマシな方で、本セットの中で一番マシ。(これで一番マシなんだからシャレにならない^^;)

 

確率と漸化式は。3つの原則をセットでしっかり意識しましょう。

①n回目からn+1回目への遷移を詳しく見る ②求める確率以外の確率も考える ③確率は足すと1になることを忘れずに

今回は漸化式から、n+2に来る場合を、n+1とnの場合で表します。nに来て2進むか、n+1に来て1進むかです。問題文からも、特性方程式の解の1つは1だと分かります。

漸化式は3項間なので、特性方程式を利用して等比数列を2つ作ればOKですね。あるいは、「ア」が出ているので階差数列から元の数列でもOK。

「ア」は具体的に調べるだけです。「イ」は調べてもいいですが、「エ」で一般項を聞いているので、そこまで出してから出すのがいいかと。最後の「オ」は、「n-1点取って(p(n-1))、2点とり(1/3)、それから4点とる(p(4))」とすればOK。

 

※なお、2項間漸化式でも出来ます。n点にこない確率1-p(n)は、n-1に止まって2進めばOKです。一般項を出すだけならこのほうがラク。このタイプはよく見かけるので、こちらの方法も知っておきましょう。

 

 

※KATSUYAの解答時間は7:34です。題材は典型的なので例年比ではマシな方かな。

 

☆第1問(2)・・・【複素数平面】(B、25分【18分】、Lv.2)

今年で、4年連続でここに複素数平面です。三角形の決定問題で典型的ですが、条件式の係数が少し繁雑で、この手の問題の式変形のコツをつかんでいないとキツイ。偏角も15°系統なので、知っていないとすんなりと答えまではたどり着きにくい。

最初はー8の3乗根の問題です。ドモアブルでもいいでですし、-8なので3乗の因数分解でもOK。これはいいでしょう。この後も特に使わないので、10問にするためのおまけですかね^^;

後半はABCの形状問題。長さも与えられているので大きさも決まります。γ-α/β-αを極形式にすることで偏角(ついでに絶対値)が分かります。これで2辺の比となす角(相似条件)が分かるので、形状が決まるという流れを原則としておさえておきましょう。

ただ今回は、係数のせいでなかなかγ-α/β-αの式変形できなかった人も多いと思います。αの係数をうまく左辺と右辺に配分しますが、変形する形からみて、左辺にはβの係数のマイナスを、右辺にはγの係数のマイナスを配分すればうまくいくはずです。このあたりが演習量が確保されていないと難しい。

値は分母からiをなくせば純虚数になることは分かりますが、長さ(の比)を見て15°系だと気づけるかどうか。tan15°=2-√3だと知っていれば、穴埋めなので比較的あとはカンタンです。これに気づかないともう少し計算を強いられます。

※KATSUYAの解答時間は5:31です。2+√3+iは偏角15°、-2+√3+iは偏角105°だと係数的に分かるので、ほぼ変形せず時短できました。やっぱり15°系は知っておかないとこういうときに時間を持ってかれる。

 

第2問・・・【積分法(応用)】面積、回転体の体積(B、40分、Lv.2)

放物線と直線で囲まれた部分の面積や回転体の体積に関する問題。設定もやることも極めてシンプルで難しくはないのですが、とにかく計算量が多い。(3)はマラソン級の長さで、いったん飛ばすのが正解でしょう。

(1)はいいでしょう。x^2-(ax+b)=(x-α)(x-β)として比較するのが一番スッキリするかと。

(2)は放物線と直線なのでただの6分の公式の利用ですね。

(3)は回転体の体積です。積分式は極めて単純ですが、cという文字も導入され、式変形はうまくやらないとかなり係数的にもキツイ。(2)の結果と連立すればα=c-3、β=c+3と出ますので、先に全部代入して計算をしていくのが早かったと思います。5乗の差は2の項定理で展開します。

 

あるいは、式の形からβ-α(=6)でくくれます。残った部分はα+βとαβになりますので、これをcの式に変えます。どちらにしてもα、βはcで表す必要はあります。

計算結果は想像よりキレイで、4次の係数もなくなります。最小値は予想通り?c=0のときですね。

 

※KATSUYAの解答時間は21:39です。(1)(2)はいいとして(3)は計算キツイな。4次の係数なくなったけど。合ってるかこれ?1944/5πはなんとなくあってそうなので大丈夫だとは思うが・・・後で見直そう。(←結局見直してません^^;)

 

☆第3問・・・【ベクトル】直線と平面の交点の軌跡(BC、35分、Lv.2)

空間ベクトルからで、球面に接するように直線を動かしたときのxy平面との交点の軌跡がメインです。あとは誘導に従っていけば最後まで行ける問題ですが、最初がメインで誘導があまりないため、全滅か最後まで行けるかになりそうで、差がつくでしょう。

※軌跡は楕円ですが、それが分からなくても解けるので「式と曲線」はタイトルに入れていません。

 

(1)は軌跡の問題です。求めたい点の軌跡の(x座標とy座標の)関係式を求めることが目標ですから、Pの座標をおきます。

 Principle Piece 

 軌跡を求める → 求める点(x,y)として関係式を

(詳細は拙著シリーズ 数学II 図形と方程式 p.47 参照)

今回はu,vと指定されています。これを利用して、AP上の点を出します。こちらも問題文の式で始点をOに合わせればOKです。

ここからどうするかが本問の一番のメイン。Mは直線上の点です。もしSと接するなら、OM=1となるような「t」が1つしかないということです。従って、長さの2乗=1として重解条件に持ち込むということです。これだけなのですが、ここが思いつかないとほぼ全滅でしょう。(この手のタイプは苦手な人が多いので、出来ればかなり有利かと。)

(2)も少し発想が必要ですが、図を書いてみると、Aとxy平面に関して対称な点(-1,0,-2)であれば対称性から同じだと分かるでしょう。答案としては、同じようにBQ上の点Kの成分を表して、OK=1の式が(1)と同じになることぐらいまで示せばOKでしょう。z座標の符号だけが違うので、2乗した段階で全く同じになります。

(3)は(1)が出来れば、その方程式の整数解を求める問題です。こんな小問にさらっと整数解問題を入れてきました。2次以上の方程式なら、まず因数分解できるかどうかでしょう。

 ULTIMATE Principle Piece 

 方程式の整数解全般:因数分解して約数候補

(詳細は拙著シリーズ 数学A 整数 p.44 参照)

今回は軌跡が楕円になりますので因数分解出来ませんが、同時に2乗の和=定数と出来るということでもありますので、2乗は0以上の実数条件に持ち込めます。

 Principle Piece 

 方程式の整数解6:因数分解出来ないなら実数条件から絞る

(詳細は拙著シリーズ 数学A 整数 p.86 参照)

4v^2≦5だと分かればvの候補は絞れ、uも求められます。

(4)は(1)(2)(3)をすべて使ったうえで、ぼんやりと立体の状況がつかめれば、条件を満たしそうな4点の予想がつくでしょう。A、(2)の対称点、(3)のうちv=±1の点であればすべて球に接しますし、残りの条件も満たすことはすぐに確認できます。

 

整数解を求める問題については、こちらの動画などでコツを紹介しています^^

せっかくこのブログをご覧になっているのなら、今見ましょう。「後で見よう」では見ることはありませんので^^;

 

※KATSUYAの解答時間は17:03です。第2問がメンドウすぎて、これがメンドウに見えないのがえぐい^^; よくこんなきれいな数値になるように見つかったなぁ。設定がうまいな。

 

☆第4問・・・【微分法の応用】方程式の解の個数、導関数計算、変曲点条件(BC、45分、Lv.2)

第4問は、微分法の応用からです。今第2問が積分法で第4問が微分法なので、今年は数IIIの微積が別々に出た感じです。こちらも第2問に負けず劣らず重い。

(1)は導関数を出すだけ。(2)は=0にするだけですが、tで割り、さらにcostでも割ると(←0でないことは確認すること)、-2t=3tant となります。tanのグラフは単調でシンプルなので、グラフで視覚化するのがいいでしょう。

(3)は差がつくかと。(2)を利用して増減表を書きますが、かなり要領よく計算しないと符号判定がメンドウです。(2)で視覚化すれば、最初の解が90°と180°の間にあることや、次の解が270°~360°にあることなども用いると、g(α)やg(β)をまともにやらなくても、g(90°)などの符号を判定すると分かります。g(α)などを計算するとかなりメンドウです。

(4)は独立していて、ただf(x)を2階微分するだけです。ここまでふるわない場合は、まあまあメンドウですが、ここだけでも合わせたい。

(5)は(3)(4)により、変曲点の数がg(t)=0の解の数に一致することが分かりますので、最初の解だけが入るように範囲を調整できる自然数nを求めるだけです。ここまで出来ればn=2だけだろうと予想はつきますが、答案にするのはかなりメンドウです。

 

※KATSUYAの解答時間は28:55です。(3)と(5)の記述がとにかくメンドウでしんどかった。これを100分で解かせるのはキツすぎるやろ。

4.対策~数IIIの微積分は質の高い演習を~

微積分は必ず1題以上(1題+小問、or2題)の割合で出題され、中に極限が混じっています。実質、IIIはほぼ全分野から出題されると思った方がいいです(今年も複素数平面は登場しました)。残りは確率、ベクトル、数列であることが多いです。数学A、数学B、数学III という感じですね。

とにかく全体的に計算量が多いので、解答する途中で多少ややこしい計算が入ったとしても、折れずに答案を書きながら計算をしていく訓練をする必要があります。

段階としては、青チャートなどでまずは原則をマスターし、次に入試基礎演習レベルの問題に取り組みましょう。

その後、入試標準演習の段階に入ります。最近は難しめなので、高得点を狙うなら仕上げ段階にも手をつけたいです。

拙著「Principle Pieceシリーズ」は「原則習得」「入試基礎演習」の両方の段階を一気に学習できますので、この後に入試標準演習に入れます。

 

数学IIIは、計算過程がメンドくさいものでもサクサク手が動くように、メンドウかつ頻出のパターンは繰り返し手を動かしておきましょう。

量:質=7:3 → 入試近くなったら4:6ぐらいがいいでしょう。

以上です^^

 

■関連する拙著『Principle Pieceシリーズ』(リニューアル版!)

数学A Chapter1~集合と場合の数~ (第1問(1))

数学A Chapter2~確率~ (第1問(1))

数学A Chapter3~整数~ (第3問)

数学II Chapter3~図形と式~ (第3問)

数学B・C Chapter1~数列~ (第1問(1))(確率と漸化式も多めに収録!!)

数学B・C Chapter3B~空間ベクトル~ (第3問)

数学B・C Chapter4~複素数平面~ (第1問(2))

数学III Chapter4~微分法2~ (第4問)

数学III Chapter6~積分法(グラフ編)~ (第6問)

 

すでに原則習得系の参考書(チャート、フォーカスなど)を持っている方にはこちらがおススメ!!

数学I・A ~原則のみ~

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数学B・C~原則のみ~

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