同志社大学全学部文系数学講評| 2023年大学入試数学

2023/02/07 2024/01/05

●２０２３年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は同志社大学(全学部文系)です。

２０２３年大学入試（私大）シリーズ。

同志社大学(全学部文系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

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同志社大学（全学部文系）
（試験時間75分、3問、ハイブリッド型）

※ハイブリッド型とは、穴埋め型と記述式の混合型のことです。

１．全体総評～比較的穏やか～

昨年比では易化です。2021年ぐらいに戻りました。問題構成としては第１問の小問が4つ→3つに戻り、1問1問も軽めになりました。ここ最近ではかなり穏やかな印象。それでも第1問(2)、第２問の最後、第3問の(3)など、いずれも経験がなければ差がつく問題で、試験としては適切な難易度でしょう。

分野的には、微分は出ましたが積分は出ず。整数問題が出ました。

試験時間75分に対し、標準解答時間は70分【62分】（←穴埋め考慮）　

2022年は85分【71分】（←穴埋め考慮）

2021年は74分【67分】（←穴埋め考慮）

2020年は80分【64分】（←穴埋め考慮）

2019年は90分【75分】（←穴埋め考慮）

2018年は103分【90分】（←穴埋め考慮）

2017年は113分【98分】（←穴埋め考慮）

2016年は110分【91分】（←穴埋め考慮）

2015年は101分【85分】（←穴埋め考慮）

２．合格ライン

第１問は小問集合。(1)(3)は確実におさえたい。(2)の最後は文系だと差が付きそうでキー問題。

第２問は(4)で差が付きそう。(1)～(3)はただの教科書の例題レベルで落とせない。

第３問も(1)(2)は迷わず正解したい。(3)は、この解き方を見たことがないと意味がつかめず、差がつくかも。それでも、サイアク普段の方法でｓ、ｔさえ出せばいけるはず。計算はやや煩雑なので(3)(4)は差はつきそう。なお、(4)も別の方法で解ける。誘導に乗れなくても柔軟にいけたかどうか。

キー問題以外は教科書+αのレベルなので、キー問題をどこまで取れたか。70％ぐらいか。

３．各問の難易度

緑色の部分は、数学の問題を解く上での原則を示しています。

第１問（１）・・・【三角関数】合成（A、1分【1分】、Lv.1）

最初は三角関数の合成ですが、ただ合成するだけです。sinｘとcosｘの順番が逆なところでミスを誘っていますが、それ以外はただの合成。さすがに簡単すぎでは＾＾；　(ー√３、3)を座標にとって長さと角度を見ましょう。

本問合成の３条件を一応おさらいしておきましょう。本問からは特に何も学べませんが、少しでも付随事項を確認します。

Principle Piece

合成の3条件「角度が同じ」「種類が違う」「1次」

（詳細は拙著シリーズ数学II 三角関数 p.69 参照）

☆第１問（２）・・・【数列】数列の和（B、12分【8分】、Lv.2）

数列の和の問題で、いろいろな和の計算をさせますが、最後以外は教科書レベルです。

最初はただの公式、次は部分分数分解で望遠鏡型計算のパターン。頭、お尻ともに１つずつ残ります。

最後は文系だと差が付きそう。２つずつ見ていくと、セットでS(2k)－S(2k-1)と出来ますので、これをｋ＝１～ｎまで足します。このように、項の規則に周期がある場合は、(今回はプラス、マイナスの変化)、その周期で１セットとしまて和をとりましょう。

数列ですから、ｎ＝１，２あたりを入れて確認すれば検算も簡単です。必ず確認して安心して次に進みましょう。

第１問（３）・・・【整数】条件下における１次不定方程式の整数解（B、12分【8分】、Lv.1）

整数の１次不定方程式からで、こちらもほとんど教科書＋αの問題で落せません。ただ、同志社文系はあまり整数問題を出さないため、虚を突かれたかも。

最初はｘ＝１と与えられているので瞬殺。一般解は、見つけた解の式を元の方程式から辺々引きましょう。

Principle Piece

1次不定方程式の解→1組見つけて元の式と辺々引く

（詳細は拙著シリーズ数学A 整数 p.37 参照）

後半は「＝１」のときに見つけた解を148倍すればあとは同じです。こちらも典型パターン。

Principle Piece

1次不定方程式 ax+by=k の整数解 =1の解を見つけてk倍

（詳細は拙著シリーズ数学A 整数 p.40 参照）

同じように一般解を出すとｘ＝－148＋３ｋ、y=740－14kなので足せば592-11kです。ｋは小さい方が値は大きくなりますが、ｘが自然数であることから、最低でもｋ＝50です。これで両方自然数になることを確認してOKという流れが速いでしょう。

※KATSUYAの解答時間は合計で6：０８です。今年の小問は量も減って簡単になったかな。

☆第２問・・・【微分法】3次方程式が解を持つ条件、解の範囲（B、20分、Lv.２）

3次方程式が解を持つ条件と、その解の範囲を求める問題です。(3)まではただの教科書レベルで、教科書でもいきなり(3)が出ると思います。かなり誘導過剰な印象です。(4)は経験がないと少し時間がかかるかもですが、出来なくはないかと。

方程式の解の個数は、定数ｍが定数項にしかないので、(1)(2)のようにグラフで視覚化して範囲を求めます。

Principle Piece

文字定数入りの方程式の解の個数は定数分離で視覚化

（詳細は拙著シリーズ数学II 微分法 p.42、数学I ２次関数 p.82 参照）

(4)は、共有点のうち一番右にあるもののｘ座標の範囲ですが、極値10/3を取る値がｘ＝－２以外にもう一つあります。その値ぎりぎりまでということです。y=10/3は3次曲線の接線になっているので、接点(x=-2)以外の交点ですから、原則を用いて解と係数の関係でサボれます。今回は因数分解するだけなので、そんなことも書かずにさくっと因数分解すればOKです。

Principle Piece

3次関数の接点以外の交点→解と係数の関係でサボる

（詳細は拙著シリーズ数学II 微分法 p.60 参照）

－２、－２、ｃと置いて解と係数の関係です。最高次の係数が１ではないので、そこだけ注意しましょう。

※KATSUYAの解答時間は9：54です。これは典型パターン。かなり重い理系数学のあとなので余計にラクに見える＾＾；

☆第３問・・・【ベクトル】外心ベクトル、外心が内部にある条件（B、25分、Lv.２）

最後は平面ベクトルからです。外心のベクトルに関する問題。今外心ベクトル自体はチャートなどにもあるようなパターン問題ですが、誘導の意味が分からないと少し戸惑うかもしれません。サイアク、誘導無視で自分の知っているやり方でやるのもありでしょう。そこらへんは柔軟に。試験の75分間においては、１点でも点数をもぎ取ることが至上命題です。

（１）はいいでしょう。2辺の和が他の1辺より長いという式を3つ立てますが、最大辺ではない１については立てる必要はありませんので2式でＯＫ。なお、1式で書くと|AB－AC|<ａ<AB+ACとなります。

（２）は内積です。3辺から内積を求める場合は、余弦定理そのものだと思っていけば迷うことはないでしょう。余弦定理でa^2=・・・の式を作れば、求めたい内積が出てきます。

（３）は意味がよくわからなったかもですが、多く見られる解法としては、

・ABの中点をＭとして、OM⊥ABで内積ゼロの式を立てる

というものです(青チャートもこの方法のはず)。ただ、この解法では、先にAOベクトルをｓAB＋ｔACと代入することが多いです。問題文の式は、代入する前に少し式変形をするというものです。

OM⊥ABなので、AB→・AO→＝AB→(AM→+MO→)=AB→・AM→＋AB→・MO→　で第2項がゼロになります。AM→はAB→の半分なので、これで示せました。これを利用すると、少し計算がラクになります。私もこれを使うことが多いです。

あるいは、内積の図形的意味を考えて、BAO＝θとでもおいても導けます。私は個人的にはこの証明が好きです。

パターン問題ですが、問題集が変われば違う解法が記載されていたりもします。1つの本の定着度を高めるのはもちろん大切ですが、ある程度こなしたら、本を変えて勉強することも大切です。

ｓ、ｔは問題文の条件式を素直に作れば、連立すれば解けます。ａが入っていることで係数はまあまあうざいですが、ａ＝１，３のとき(三角形が出来ないとき)に分母がゼロになることなどで検算すれば、正しい可能性は高いと安心できるでしょう。

(４)は内部にある条件で、これはもちろんs>0、t>0、s+t<1です。ああ(3)の答えに従って計算していきましょう。なお、分母を払うときには分母の符号に注意してください。三角形の辺の条件から、符号はちゃんと決まります。

Principle Piece

文字式で割る際には0(または符号)に注意