同志社大学 全学部文系 数学 講評| 2023年大学入試数学

      2024/01/05

●2023年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は同志社大学(全学部文系)です。


2023年大学入試(私大)シリーズ。

同志社大学(全学部文系)です。



問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

 

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同志社大学(全学部文系)
(試験時間75分、3問、ハイブリッド型)

※ハイブリッド型とは、穴埋め型と記述式の混合型のことです。

1.全体総評~比較的穏やか~

昨年比では易化です。2021年ぐらいに戻りました。問題構成としては第1問の小問が4つ→3つに戻り、1問1問も軽めになりました。ここ最近ではかなり穏やかな印象。それでも第1問(2)、第2問の最後、第3問の(3)など、いずれも経験がなければ差がつく問題で、試験としては適切な難易度でしょう。

分野的には、微分は出ましたが積分は出ず。整数問題が出ました。


試験時間75分に対し、標準解答時間は70分【62分】(←穴埋め考慮) 

2022年は85分【71分】(←穴埋め考慮)

2021年は74分【67分】(←穴埋め考慮)

2020年は80分【64分】(←穴埋め考慮)

2019年は90分【75分】(←穴埋め考慮)

2018年は103分【90分】(←穴埋め考慮)

2017年は113分【98分】(←穴埋め考慮)

2016年は110分【91分】(←穴埋め考慮)

2015年は101分【85分】(←穴埋め考慮)

2.合格ライン

第1問は小問集合。(1)(3)は確実におさえたい。(2)の最後は文系だと差が付きそうでキー問題。

第2問は(4)で差が付きそう。(1)~(3)はただの教科書の例題レベルで落とせない。

第3問も(1)(2)は迷わず正解したい。(3)は、この解き方を見たことがないと意味がつかめず、差がつくかも。それでも、サイアク普段の方法でs、tさえ出せばいけるはず。計算はやや煩雑なので(3)(4)は差はつきそう。なお、(4)も別の方法で解ける。誘導に乗れなくても柔軟にいけたかどうか。

キー問題以外は教科書+αのレベルなので、キー問題をどこまで取れたか。70%ぐらいか。

3.各問の難易度

緑色の部分は、数学の問題を解く上での原則を示しています。

第1問(1)・・・【三角関数】合成(A、1分【1分】、Lv.1)

最初は三角関数の合成ですが、ただ合成するだけです。sinxとcosxの順番が逆なところでミスを誘っていますが、それ以外はただの合成。さすがに簡単すぎでは^^; (ー√3、3)を座標にとって長さと角度を見ましょう。

本問合成の3条件を一応おさらいしておきましょう。本問からは特に何も学べませんが、少しでも付随事項を確認します。

 Principle Piece 

 合成の3条件 「角度が同じ」「種類が違う」「1次」

(詳細は拙著シリーズ 数学II 三角関数 p.69 参照)

 

 

☆第1問(2)・・・【数列】数列の和(B、12分【8分】、Lv.2)

数列の和の問題で、いろいろな和の計算をさせますが、最後以外は教科書レベルです。

最初はただの公式、次は部分分数分解で望遠鏡型計算のパターン。頭、お尻ともに1つずつ残ります。

最後は文系だと差が付きそう。2つずつ見ていくと、セットでS(2k)-S(2k-1)と出来ますので、これをk=1~nまで足します。このように、項の規則に周期がある場合は、(今回はプラス、マイナスの変化)、その周期で1セットとしまて和をとりましょう。

 

数列ですから、n=1,2あたりを入れて確認すれば検算も簡単です。必ず確認して安心して次に進みましょう。

 

第1問(3)・・・【整数】条件下における1次不定方程式の整数解(B、12分【8分】、Lv.1)

整数の1次不定方程式からで、こちらもほとんど教科書+αの問題で落せません。ただ、同志社文系はあまり整数問題を出さないため、虚を突かれたかも。

最初はx=1と与えられているので瞬殺。一般解は、見つけた解の式を元の方程式から辺々引きましょう。

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 1次不定方程式の解→1組見つけて元の式と辺々引く

(詳細は拙著シリーズ 数学A 整数 p.37 参照)

 

後半は「=1」のときに見つけた解を148倍すればあとは同じです。こちらも典型パターン。

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 1次不定方程式 ax+by=k の整数解 =1の解を見つけてk倍

(詳細は拙著シリーズ 数学A 整数 p.40 参照)

 

同じように一般解を出すとx=-148+3k、y=740-14kなので足せば592-11kです。kは小さい方が値は大きくなりますが、xが自然数であることから、最低でもk=50です。これで両方自然数になることを確認してOKという流れが速いでしょう。

 

 

※KATSUYAの解答時間は合計で6:08です。今年の小問は量も減って簡単になったかな。

 

☆第2問・・・【微分法】3次方程式が解を持つ条件、解の範囲(B、20分、Lv.2)

3次方程式が解を持つ条件と、その解の範囲を求める問題です。(3)まではただの教科書レベルで、教科書でもいきなり(3)が出ると思います。かなり誘導過剰な印象です。(4)は経験がないと少し時間がかかるかもですが、出来なくはないかと。

方程式の解の個数は、定数mが定数項にしかないので、(1)(2)のようにグラフで視覚化して範囲を求めます。

 

 Principle Piece 

 文字定数入りの方程式の解の個数は定数分離で視覚化

(詳細は拙著シリーズ 数学II 微分法 p.42、数学I 2次関数 p.82 参照)

(4)は、共有点のうち一番右にあるもののx座標の範囲ですが、極値10/3を取る値がx=-2以外にもう一つあります。その値ぎりぎりまでということです。y=10/3は3次曲線の接線になっているので、接点(x=-2)以外の交点ですから、原則を用いて解と係数の関係でサボれます。今回は因数分解するだけなので、そんなことも書かずにさくっと因数分解すればOKです。

 Principle Piece 

 3次関数の接点以外の交点→解と係数の関係でサボる

(詳細は拙著シリーズ 数学II 微分法 p.60 参照)

-2、-2、cと置いて解と係数の関係です。最高次の係数が1ではないので、そこだけ注意しましょう。

 

※KATSUYAの解答時間は9:54です。これは典型パターン。かなり重い理系数学のあとなので余計にラクに見える^^;

 

☆第3問・・・【ベクトル】外心ベクトル、外心が内部にある条件(B、25分、Lv.2)

最後は平面ベクトルからです。外心のベクトルに関する問題。今外心ベクトル自体はチャートなどにもあるようなパターン問題ですが、誘導の意味が分からないと少し戸惑うかもしれません。サイアク、誘導無視で自分の知っているやり方でやるのもありでしょう。そこらへんは柔軟に。試験の75分間においては、1点でも点数をもぎ取ることが至上命題です。

(1)はいいでしょう。2辺の和が他の1辺より長いという式を3つ立てますが、最大辺ではない1については立てる必要はありませんので2式でOK。なお、1式で書くと|AB-AC|<a<AB+ACとなります。

(2)は内積です。3辺から内積を求める場合は、余弦定理そのものだと思っていけば迷うことはないでしょう。余弦定理でa^2=・・・の式を作れば、求めたい内積が出てきます。

(3)は意味がよくわからなったかもですが、多く見られる解法としては、

ABの中点をMとして、OM⊥ABで内積ゼロの式を立てる

というものです(青チャートもこの方法のはず)。ただ、この解法では、先にAOベクトルをsAB+tACと代入することが多いです。問題文の式は、代入する前に少し式変形をするというものです。

OM⊥ABなので、AB→・AO→=AB→(AM→+MO→)=AB→・AM→+AB→・MO→ で第2項がゼロになります。AM→はAB→の半分なので、これで示せました。これを利用すると、少し計算がラクになります。私もこれを使うことが多いです。

あるいは、内積の図形的意味を考えて、BAO=θとでもおいても導けます。私は個人的にはこの証明が好きです。

パターン問題ですが、問題集が変われば違う解法が記載されていたりもします。1つの本の定着度を高めるのはもちろん大切ですが、ある程度こなしたら、本を変えて勉強することも大切です。

s、tは問題文の条件式を素直に作れば、連立すれば解けます。aが入っていることで係数はまあまあうざいですが、a=1,3のとき(三角形が出来ないとき)に分母がゼロになることなどで検算すれば、正しい可能性は高いと安心できるでしょう。

(4)は内部にある条件で、これはもちろんs>0、t>0、s+t<1です。ああ(3)の答えに従って計算していきましょう。なお、分母を払うときには分母の符号に注意してください。三角形の辺の条件から、符号はちゃんと決まります。

 

 Principle Piece 

 文字式で割る際には0(または符号)に注意

(詳細は拙著シリーズ 数学I 数と式 p.56 参照)

なお、外心が内部にある条件は、ABC鋭角三角形である条件と同値です。2が最大辺の場合、aが最大辺の場合で場合分けすればOK。こっちの方が早いです。万が一誘導の意図が分からない場合は、これで解けばOK。

※KATSUYAの解答時間は18:40です。係数がメンドウだったので慎重にやりました。

 

4.対策~微積+(旧)数学Bを中心にまんべんなく対策を~

分野はまんべんなく、幅広くです。あまり絞らないほうがいいでしょう。数B(数列とベクトル)が両方出て、微積は最低片方が、あとは数IIと数Aという印象です。

問題のレベルは標準~応用といったところですが、文系だからといって舐めていると痛い目に合うタイプの問題です。パターン問題が単問で解けるレベルでは少し足りません。融合された模試タイプの問題に対応できるようになっておきましょう。

段階としては、学校による教科章やワークレベルの学習は終えた上で、原則習得入試基礎演習用の問題集をこなします。

これである程度取れますが、本学は難しい問題も出ますので、さらに点数を確保したいのであれば、入試標準演習の段階までやったほうがいいでしょう。過去問を通して、難しいタイプのものを、誘導できざんで解いていく練習をする必要があります。

なお、拙著「Principle Pieceシリーズ」であれば「原則習得」「入試基礎演習」の両方の段階を兼ねていますので、この後にもう入試標準演習の問題集に接続可能です^^

 

量をこなす演習:じっくり演習=8:2ぐらいですね。

以上です^^

 

■関連する拙著『Principle Pieceシリーズ』(リニューアル版!)

数学A Chapter3~整数~ (第1問(3))

数学II Chapter4~三角関数~ (第1問(1))

数学II Chapter6~微分法~ (第2問)

数学B・C Chapter1~数列~ (第1問(2))

数学B・C Chapter3A~平面ベクトル~ (第3問)

すでに原則系の参考書を持っている方にはこちらがおススメ!!

数学I・A ~原則のみ~

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