立命館大学全学方式理系 (2/2) 数学講評| 2023年大学入試数学

2023/02/04 2024/01/05

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●２０２３年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は立命館大学(全学方式理系：2/2)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２３年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２３年大学入試（私大）シリーズ。

立命館大学(全学方式理系:2/2)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

★お知らせ★

Principle Pieceシリーズの販売を再開しました＾＾　原則習得のための参考書です。

YouTube開設しました。　個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。

Twitter始めました　こちらもよろしくお願いいたします＾＾

立命館大学（全学方式理系:2/2）
（試験時間100分、４問、穴埋め型）

１．全体総評～計算量は減ってやや易化～

昨年より計算量は減少し、やや易化です。例年並みに戻りました。数IIIの微積総合問題は今年は出題されましたが、そこまでキツイ問題ではありませんでした。それでも、第2問、第3問はうまく計算しないと時間を持っていかれるので、全体としては十分差のつくセットだと思います。今年は数IIIの割合は比較的低めでした。

出題範囲に三角関数系統が多い(第1問、第3問)印象は今年も変わらずです。

試験時間100分に対し、標準回答時間は100分【65分】（←穴埋め考慮）

2022年は115分【78分】（←穴埋め考慮）

2021年は75分【51分】（←穴埋め考慮）

2020年は105分【72分】（←穴埋め考慮）

2019年は125分【81分】（←穴埋め考慮）

2018年は125分【84分】（←穴埋め考慮）

2017年は115分【79分】（←穴埋め考慮）

2016年は107分【70分】（←穴埋め考慮）

2015年は125分【81分】（←穴埋め考慮）

２．合格ライン~うまく捨てて7割を~

第１問は順々に求めていけばよい。最後の大小のところは慌てると落とすかも。8割欲しい。

第２問は空間ベクトル。文字ｋが最後まで絡むので、計算は繁雑になりがち。最後2問ぐらいは差がつきそう。

第３問は今年はがっつり微積総合。計算はそこまで面倒ではないので、最後以外は欲しい。最後はキー問題。

第４問はキー問題。規則に気づかないと「カ」あたりから厳しい。問題文全体から流れをつかみたい。最後は難しい。

キー問題を全て落とすと厳しい。70％強ぐらい欲しいところ。

３．各問の難易度

第１問・・・【2次関数+三角関数+微積】2次関数の最小値、面積、3次方程式の解、三角不等式（B、20分【13分】、Lv.2）

三角関数を係数とする2次式について、解やら頂点の最小値やら面積やら聞いてきます。１つの式をテーマにしていますが、１つ１つはほぼ典型パターンです。

[1]最初の解は瞬殺でしょう。平方完成も落ち着いてやればOK。sin2θー１の最小値も簡単にわかります。また、面積も放物線とｘ軸ですから、ただの6分の公式です。単問が並びますね。

Principle Piece

6分の公式が使えるパターン

[1]放物線とx軸(直線)　[2]放物線と放物線

（詳細は拙著シリーズ数学II 積分法 p.30 参照）

[2]は3次方程式になっていますが、f(x)を因数に持つことは問題文から分かりますので、cosθ、sinθは解です。解と係数の関係を用いれば、残りがsinθ＋cosθだと分かるでしょう。わざわざg(x)をf(x)で割る必要はないですね。

最後の不等式は真面目に解いてもそこまで大変ではありませんが、グラフの利用も早いと思います。sinθ、cosθ、sinθ+cosθのグラフを書いて視覚化すれば分かりやすいです。

※KATSUYAの解答時間は6:12です。ここはうまく時短して貯金したいところ。

第２問・・・【空間ベクトル+式と証明】四面体の体積の最大値など（B、25分【16分】、Lv.２）

空間座標上に点をいろいろ取り、四面体の体積を2つ求める問題です。片方は最大値を聞いてきます。ただ文章に素直に従って埋めていくだけですが、最後までｋが絡むので計算は繁雑になりがち。これを最後まで合わせられる計算力は合否を分けそう。

前半。JはOGとAHの共有点です。Oが入っているOGは実数倍で、AHは１－ｔ、ｔの係数を用いて連立すればOK。xy平面上の話なので、直線の式を出して連立しても出ます。Jの座標が出れば面積、体積までは出ます。

体積は1次／2次の形をしています。理系なので微分でももちろん出ますが、この形は相加相乗が早いでしょう。

Principle Piece

不等式証明４：相加・相乗が使えるパターンの把握を

（詳細は拙著シリーズ数学II 式と証明 p.44,47,59,61 参照　例題とともに網羅的に紹介しています）

後半。対称な点K、Lは落ち着いて正解しましょう。ｚ＝1/2に関して対称なら、ｘ、ｙ座標は変えません。空間上での三角形の面積は、KC,KLベクトルを出してベクトルでの面積公式ですね。

両方に垂直なベクトルは、すなおに「ス」「セ」を2文字未知数で置いて、内積ゼロの式を2つ作って連立でもいいですが、ＫＬ→=(０，０，－１)と(１、ス、セ)が垂直なので、「セ」＝０とすぐわかりますね。ここも穴埋めなので出来るだけ素早く出したい。

「ソ」は垂線の足の座標。パターン問題ですが、文字ｋが絡むのでちょっとメンドウ。それでも、普段と同じように解くだけ。

OBからCKLに垂直なベクトルの実数ｕ倍伸ばした点でもあり、CKL上なので１－ｓ－ｔ、ｓ、ｔの係数で連立すればOK。最後の体積はキレイに一定値になります。

なお、４点座標型の四面体の体積において、文字が入っていようがいまいが、４点の座標にルートがどこにも入っていないのであれば、体積にもルートが入ることはありません。このことを知っているとミス発見に役立ちます。

面積に√k^2+1があるので、距離はこれが分母に来るような式であれば正解を確信できますね。

※KATSUYAの解答時間10:38。最後は上記の事実で検算して安心。体積が一定値なるのもなんとなく正しそうなので終了。

☆第３問・・・【微積総合】導関数、媒介変数表示曲線の弧長（Ｂ、25分【16分】、Lv.２）

２年連続でここは複素数平面でしたが、第３問は今年は複素数平面ではなく、微積総合問題になりました。計算はそこまでしんどくはないですが、置換積分したＬの式は再度置換する必要はありますので、そこに気づけるかどうか。

[1]はただ微分するだけ。ｆ’(ｔ)はあまりに頻出なので結果を知っている人もいるかと。(２)もキレイになりますし、演習経験がある人は積分結果として有名な式だと気づけるはず。下の積分でこれを使うと予想できます。

[2]ですが、最初は真ん中のθ＝π/4でしょう。曲線は明らかにｙ＝ｘに対称ですので(θ→90°－θにすればｘ，ｙがひっくり返る)、それ以外の場所が答えになるなら、2点存在しますので問題文に合いません。ここは穴埋めを利用して瞬殺したい。気づかなくてもx^-2+y^2を微分するだけ。

弧長については、少し誘導がやさしいですね。dx/dθとかを穴埋めにさせて、Lの式は書いてあるという＾＾；

置換積分の方法も書いてありますので、落ち着いて置換しましょう。第2置換積分(本サイトの呼び名：短くなるタイプ)になります。

最後の積分計算はもう一回置換する必要があります。√の中が●^2+1になるように、係数を適当にルートの外に追い出します。あとは●の部分をｘと置けばOKですね。偶関数で積分区間がー１~１に代わるので、ここもウマく計算したいです。

※KATSUYAの解答時間7:08。これは全体的にうまくサボれたかと。

☆第４問・・・【場合の数＋数列＋極限】場合の数と漸化式、極限（Ｂ、30分【20分】、Lv.2）

最後は場合の数で、自然数ｎを和の形で表す方法に関する問題。

[1]の前半はただ書き並べるだけ。後半はどんな順番で書き出しているんだ、という感じですが、n=3の場合に２を加えたものが上の３つ、ｎ＝４の場合に１を加えたものが下の５つです。「ア」「イ」の部分からも分かりますね。

ここから、フィボナッチの予想がついてほしいところ。「階段を１段、または２段で上がる方法」というタイプの問題は見たことがあると思います。あれと全く同じです。ここで予想がつかないとこれ以降が結構キツイ。

ｋ＝３の場合も同じ。前３つの場合を足して次の項にします。ですので、ｎ＝３，４，５のときさえ慎重に数えればＯＫ。数え方ですが、足す数字の個数で分けるとミスしにくいと思います。

過不足が起きないように、書き出すルールを決めましょう。場合の数の超基本原則です。

ULTIMATE Principle Piece

書き並べは「モレ」「ダブリ」なく→書き出すルールを決める

（詳細は拙著シリーズ数学A 集合と場合の数 p.7 参照）

[3]はｋ＝２に話が戻るので、フィボナッチ数列の３項間漸化式なので、特性方程式で等比数列を２つ作りましょう。次の極限はうまくさぼらないと時間を持ってかれます。まともに一般項を出してもいいですが、解がキタナイので計算がメンドウ。

この漸化式の場合、特性方程式をｐ、ｑ(p≠q)とでも置けば、一般項はA・p^n+B・q^nの形になります。従ってｎが大きくなれば、p,qのうち影響力の大きい方(絶対値が大きい方)が残るだけですので、比の極限はp,qのうち絶対値の大きい方です。本来は最初の2項でA,Bを特定して一般項は求めますが、「ケ」を求めるのにA、Bは関係ないってことです。

この事実を知っていると極限は瞬殺出来ます。

[4]は難しかったと思います。ｎ絡みでよくわからないときは実験ですよね。整数の分野の原則ですが、ｎが絡む分野であれば使えます。

ULTIMATE Principle Piece

整数問題では多少の調査は覚悟する

（詳細は拙著シリーズ数学A 整数 p.15 参照）

あたり調査をして規則性に気づき、確信はないけど答えを書くという流れが現実的でしょう。n=1,2,3,4ぐらいまで試してみると気づいたと思います。(たいして数もないので)

結果は2の累乗となります。足す数字の個数で場合分けすると、重複組み合わせの考え方が使えます。あとは2項係数の和なので2項定理でいけます。(※いつか動画でも紹介しようと思います⇒UPしました！！)

Principle Piece

二項係数の和は二項定理と結びつける

（詳細は拙著シリーズ数学II 式と証明 p.11 参照）

[4]に関しては動画で解説しています(解法3通り)。