北海道大学 文系数学 講評 | 2023年度大学入試数学

      2024/01/18

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●2023度大学入試数学評価を書いていきます。今回は北海道大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2023年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2023年大学入試(国公立)シリーズ。
北海道大学(文系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

 

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北海道大学(文系)
(試験時間90分、4問、記述式)

1.全体総評~文系には厳しめの問題が随所に~

昨年は易しめですが、今年は難化です。文理共通の確率は理系でもかなり難しく、文系もコアの部分が共通なのでキツイ。他にも、文系での出題だと処理が難しい問題がありますので、点数を取りにくいかもです。

分野的にはIIから2題でうち1題微積、確率、ベクトルという感じでバランスはいいですね。


試験時間90分に対し、標準回答時間は93分。

2022年:63分

2021年:75分

2020年:85分

2019年:90分

2018年:85分

2017年:80分

2016年:90分

2015年:95分

2014年:100分

2.合格ライン

第1問は本セットであれば取りたい。答えも多いので答案量は多いが、なんとか完答したい。

第2問はキー問題。(2)の傍心ベクトルはパターンだが、原則を忘れていると処理が出来ないかも。

第3問はキツイ。(1)のK2は取りたい。(2)のK3まで出来れば十分。

第4問は原則習得系の参考書にもありそうな問題なので押さえたい。

第1問と第4問を何とかおさえる。第2問の(2)が無理なら、第3問の(1)(2)を確保。これで3完弱を。

今年は65%ぐらいでしょうか。

 

3.各問の難易度

第1問 【式と証明+複素数と方程式】関数の決定(B,20分、Lv.1)

整式に関する条件式が恒等式となるような関数を決定する問題。誘導が丁寧なので、それを利用すれば最後まで出来るでしょう。今年のセットを考えるとここは落とせません。

(1)はx=0を入れるだけです。

(2)も、因数定理・剰余の定理を利用が思い浮かぶでしょう。言い方が少し遠回しですが、P(1)=0またはP(-1)=1を示せと言うことです。これも、x=1を入れればいいと分かるでしょう。

(3)は2次式に限定して実際にP(x)を求めます。(1)(2)をうまく利用すると少しラクになります。さらに、両辺の最高次の係数から、簡単に2次の係数が1であると分かります。

これで、x^2+bxまたはx^2+bx+1とおけます。さらに(2)を利用すればbも決まりますね。

 

 

※KATSUYAの解答時間は13:38です。2次の係数をaとおいて毎回解いていたので、先に2次の係数1を示しておけばもう少し短くて済んだかも。


☆第2問 【平面ベクトル】内角、外角の2等分線のベクトル(AB、20分、Lv.1)

平面ベクトルからで、角の2等分線のベクトルを求める問題。(1)はともかくとして、(2)の位置(傍心になります)のベクトルは経験がないと難しいでしょう。

(1)は簡単に出せるかと思います。角の二等分線の交点なので、比を出せばOK。

(2)はきついかも。原則習得系の参考書であれば載っているはずですが、角の二等分線と言われたら、長さの等しいベクトルの和の実数倍を設定します。

 Principle Piece 

 角の二等分線のベクトル → 単位ベクトルの和の方向

(詳細は拙著シリーズ 数学BC 平面ベクトル p.75 参照)

たとえば∠AOBの二等分線の方向は、長さ1のOA方向のベクトルと、長さ1のOB方向のベクトルの和の方向です。すなわち、OA→/3+OB→/5の実数倍ということです。(1)もこれで解けます。

この要領で、Bの外角の二等分線は、長さ1のOB方向のベクトルと、長さ1のBA方向のベクトルの和ですから、OB→/5+BA→/7の実数倍です。あとはBAをO始点にするだけです。

※長さは等しければ何でもOK。1である必要はありませんが、よく用いるのは長さが1の単位ベクトルになります。

これを利用し、Qが両方の直線上にあることを利用して係数比較ですね。

なお、数Aの平面図形の知識で、外角の二等分線は外分点になることを利用するともっと簡単に出ますが、文系の人がどれくらい知っているか。単位ベクトルの和の実数倍が正攻法かと。

 

※KATSUYAの解答時間は9:28です。これはパターン。でも傍心は経験がないとキツイか。

 

☆第3問【確率+数列 or式と証明】サイコロの目に応じた式の値の最小値と確率(C、35分、Lv.3)

理系とほぼ共通問題です。理系(第4問)のエントリーをご覧ください。文系の(2)(3)が理系の(1)(2)になります。理系でもかなり厳しく、(3)はほぼ捨て問でしょう。

(1)だけやります。1ーa1とa2-6は絶対値が外せますので、|a1-a2|だけ絶対値が残ります。場合分けして求めましょう。サイコロは2回しか投げてないので、書き出してもいけますね。

ただ、書き出しだと(2)がちょっと厳しいかも。

本問は解説動画があります。理系の問題がベースです。

※KATSUYAの解答時間は2:11です。(1)だけやりました。

 

第4問 【微積分】円と放物線で囲まれる部分の面積(AB、18分、Lv.1)

最後は微積分総合で、円と放物線絡みです。式は極めてシンプルですので、演習経験のある人が多数のはずです。

拙著『Principle Piece』シリーズの「数学II Chapter7~積分法~」にも類題があります↓↓

無題

聞き方は違いますが、やることは(1)も(2)もほぼ同じです。

(1)は、放物線と円が接するような場合を求めなさいと言うことですので、x^2を消去してyの2次方程式の重解条件に持ち込むのが、思いつきやすいでしょう。重解がー1<y<1にあることをきちんと確認することに注意。

 Principle Piece 

 円と放物線の共有点の個数では解の範囲に注意

(詳細は拙著シリーズ 数学II 図形と方程式 p.84 参照 本書ではより具体的に紹介しています)

(2)は、円と放物線で囲まれた部分を求めますが、こちらも原則です。拙著でも、上の例題43で紹介しています。

 Principle Piece 

 円弧を含む部分の面積 → 中心と結んでおうぎ形を見つけよ

(詳細は拙著シリーズ 数学II 積分法 p.62 参照)

円弧の部分をy=・・・の式で表しても、数IIの範囲では積分できませんので、おうぎ形として求めましょう。

 


※KATSUYAの解答時間は15:29です。これもパターン。文理共通の確率だけずば抜けてムズいのでは。

 

4.対策

微積分、数列、ベクトルを中心に、Bレベルの問題を演習しましょう。融合問題は出ますが、考え込むような問題はありませんので、あまり難しいものにこだわらず、効率的な演習をしましょう。

チャートは青チャートまたは黄チャートでも大丈夫でしょう。その後、入試基礎演習レベルまで一通り行った後は、過去問に接続しましょう。

 

量をこなす演習:じっくり演習=10:0でOK。

以上です^^
■関連する拙著『Principle Pieceシリーズ』(リニューアル版!)

数学A Chapter1~集合と場合の数~ (第3問)

数学A Chapter2~確率~ (第3問)

数学I・A ~原則のみ~

 

数学II Chapter1~式と証明~ (第1問)

数学II Chapter2~複素数と方程式~ (第1問)

数学II Chapter3~図形と方程式~ (第4問)

数学II Chapter6~積分法~ (第4問)

数学II~原則のみ~

 

数学B・C Chapter3A~平面ベクトル~ (第2問)(ほぼそのままの類題あり)

 

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